а* для действительных х| Показательная, логарифмическая
И ОБЩАЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ
а* для действительных х
Считаете статью полезной? Поделитесь им в соц. сетях одним нажатием кнопки сверху.
Возможно она нужна кому то ещё!
Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.
Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.
Скачать только ГЛАВА 4: Показательная, логарифмическая И ОБЩАЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ.
Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.
ГЛАВА 4. Показательная, логарифмическая
И ОБЩАЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ
§ 4.3. а* для действительных х
Показательной функцией ах называется непрерывная
функция, определенная на действительной оси х, вычисляемая
для рациональных значений х = ~- по формуле
ах = 1 /аР .
Из этого определения следует, что если х есть иррациональное
число, то для того чтобы вычислить ах, надо
взять любую последовательность рациональных чисел rk,
стремящуюся к х (rft—* л:), и по-
ложить ах равным пределу переменной
а г*, когда rk—*х, т. е.
lim ar* = a x. (9)
rk-+x
В системе координат хОу мыс- — ———
ленно отметим все точки (х , ах) для рис 77 ®
рациональных значений (рис. 77).
График изображен пунктирной линией, чтобы подчеркнуть,
что он состоит из точек, соответствующих только рациональным
значениям х. Это точки в и д а ^ , { / ap ^j, где р, q —
целые и q=£0.
Оказывается, этот график можно продолжить для любых
иррациональных х единственным образом, так что
пунктирная линия превращается в непрерывную линию,
в график непрерывной функции ах.
Доказательство свойств (1)—(7) п. 4.1 для действительных
х, у может быть получено на основании того,
что эти свойства верны для рациональных х, у, применением
метода пределов.
Например, пусть х и у—данные действительные числа;
вводим две последовательности рациональных чисел гк
и pk, для которых
г* — X, pk -+ у.
Тогда
ахау = lim аг ь lim ар* = lim (а г*ар*) = lim аг* + р* = а*+ь,
k — > оо & — » со k — > оо & -> со
и мы получим свойство (3) для действительных х, у.
З а м е ч а н и е . Сформулированное выше определение
показательной функции требует обоснования. Именно,
89
требуется доказать, что существует, и притом единственная,
функция, указанная в определении.
Ниже выводится неравенство (неравенство Бернулли),
на основе которого возможно провести это доказательство.
90
ОБЩАЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
#ОБЩАЯ_СТЕПЕННАЯ_ФУНКЦИЯ #математика #анализ #математический_анализ