Бесконечно большая величина

| ПРЕДЕЛ

Предел последовательности.

Считаете статью полезной? Поделитесь им в соц. сетях одним нажатием кнопки сверху.
Возможно она нужна кому то ещё!
Арксинус: Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

Скачать только ГЛАВА 3: ПРЕДЕЛ.

Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛ

§ 3.2. Бесконечно большая величина

Антиподами бесконечно малых величин являются бесконечно
большие величины.
Переменная х п называется бесконечно большой, если,
как бы ни было велико число М > О, найдется такое N,
что | х п | > М для всех п > N.
Если х п бесконечно большая, то пишут
lim х п — оо или хп —► оо (п —* оо).
П —> СО
Может случиться, что бесконечно большая величина х п
начиная с некоторого п становится положительной; тогда
пишут
lim х п = + оо,
п -*■ 00
или отрицательной, тогда пишут
lim х п = — оо.
П — СО
Вот примеры бесконечно больших величин:
х„ = п, у п = — п, гп — (—1)» п, и п = п \
lim я„ = -|-оо, lim и п = + оо, lim у п — — оо.
п -+ оо /2 —>■ со П —> СО
Что же касается величины гп, то про нее можно написать
lim z n — оо,
П —> сс
но здесь нельзя символ оо заменить ни символом + 00,
ни символом — оо. Впрочем, мы часто будем писать оо
вместо + 00, если нет опасности недоразумений.
§ 3.3. Действия с пределами
Переменные х п и у п можно складывать, вычитать, умножать
и делить, образуя величины
* п + У « ‘ * п — У п, Х пУп, “ •
В случае частного надо предполагать, что у п ф 0 для любых
п = 1, 2, 3, . . .
Справедливы следующие, в сущности очевидные, свойства
пределов:
Нт (хп ± у п) = lim х п ± lim у п,
Я -* CO tl —>■ СО П — > <Х
lim (хпу п) =* lim х а lim у п, (2)

66

в частности, если х п—с постоянная, то
lira (схп) = lim с lim х п = с lim х п,
f t — > СП п —► со п —>■ со П —► со
lim
П~l>im- <Х > У?п = iiIT1 Уп f l^ i m00« / „ ^ = 0/y Л -> 00
Эти свойства надо понимать в том смысле, что если существуют
пределы, фигурирующие в правых частях равенств
(2), то автоматически существуют пределы в левых частях
соответствующих равенств и справедливы сами равенства.
Добавим еще, что
lim — = 0,
хп -*■ ® Х п
lim {хпу п) = оо, lim -i-= o o . (3)
Х п — * А ф 0 х п -у 0
Уп-* & Хп Ф О
Более сложный вопрос возникает при вычислении предела
частного —У,п когда и х п —► 0 и у п —*- 0 или если
х п —* о о и г/„ —*■ оо. В таких случаях заранее невозможно
сказать, чему равен предел. В зависимости от индивидуальных
свойств переменных х п и у п предел может быть
любым конечным или бесконечным числом *). Может также
случиться, что отношение — не имеет никакого предела,
У п
даже бесконечного.
Например, пусть х п = ~ , у п = — ^ ) тогда, очевидно,
•*„ — О, у п —*■ О,
^ = ^ 1 = „ — > + оо, & = — i — * 0 .
Уп п Хп п
/ П» 1 х
Если же х„ = -— , у п = — , то отношение — ==(—1)» » п ’ • ‘« п Уп
ни к какому пределу не стремится.
Мы рассматривали переменные х п, зависящие от натурального
п (п = 1, 2, 3, . . . ) . Такие переменные называют
последовательностями.
§ 3.3. ДЕЙСТВИЯ С ПРЕДЕЛАМИ 07
*) Символы + о о , — оо, оо удобно называть бесконечными числами,
хотя это вовсе не числа, и тогда обычные числа называют
конечными числами

67

П р и м е р 1.
1 + 1
lim ^-Фт= lim ——— = —=1 .
П -*■ СП П Г i п “> сю | 1
П
По я с н е н и е . У дроби как числитель, так и
знаменатель стремится к бесконечности, и непосредственно
нельзя сказать, к какому пределу она стремится. Однако
после деления числителя и знаменателя на п обнаружилось,
что числитель стремится к 1 и знаменатель стремится
к 1. Это дает возможность воспользоваться формулой о пределе
частного.
П р и м е р 2.
■lim (n4— lOOn3— 2га2 + 1) = ‘
L \ Я п 2 п Я* Л
П о я с н е н и е . Сразу неясно, к чему стремится исходное
выражение: первый член п4 стремится к + оо, а член
— 100л3 —2/г2 стремится к — оо. Но после вынесения
за скобки я4 все проясняется: множитель л4—>-+оо, а
/^,1 ——ю-о— 2 — +. — 1^ \) —* 1, =,^ 0п. тН,о тогда произведение
стремится к оо и даже к + оо (см. (3)).
П р и м е р 3.
lim ( j / n + 2— l / n ) —
( l / K + 2 y — ( y i y
lim
оо ( j / n + 2)2+ з / я + 2 з / n + ( з / n)2
_ 2 „
ra+2) 2+ ^ / n + 2 ^ / n + ( v / « )й
потому что знаменатель последней дроби стремится к оо.
Нет общего способа вычисления предела разности двух
переменных, каждая из которых стремится к + оо. В каждом
конкретном случае приходится придумывать свой
способ.
П р и м е р 4. Сумма первых п членов геометрической
прогрессии со знаменателем q и первым членом 1

68

равна
5 » ^ 1 + <7+42+ . . . + Г ‘ 1= т ^ = т~ —qn T = j- (4)
Если прогрессия убывающая, т. е. если | g | < 1, то
второй член правой части (4) стремится к нулю при п —► оо:
— q n _± _ _+ о (Я _+о&).
Поэтому существует предел
lim = ( к К 1),
П -> » 4
который называют суммой ряда
1 + q + q %+ . . . (5)
(состоящего из бесконечного числа членов!), и при этом
пишут
У _ =з 1 -f q -f q* — f . . . ,
т. e. приписывают выражению (б) число, равное сумме
ряда. В этом случае говорят, что ряд (5) сходится.
Если | <7 1 > 1, то
я» 00 (rt- +o°);
при <7 = 1
S „ = l + c? + (?2 + . . . + ^ » 1= 1 + . . . + 1 = « — сх>.
Если же q = — 1, то
S 2 = 0, 53 = 1, S 4 = 0, S 5= l , . . .
и S n не стремится к пределу.
Из сказанного следует, что если условие | q | < 1 не
выполняется, то S n не стремится к конечному пределу
при п —*• оо. В этом случае говорят, что ряд (5) расходится.
Ему не приписывают никакого числа.
З а м е ч а н и е . Следует обратить внимание на свойства,
переменных, имеющих предел (конечный и бесконечный),
выраженные формулами (2). Надо знать также, что переменная,
имеющая предел, равный а, есть сумма а -\-а п,
где а„ — бесконечно малая. О самом же понятии бесконечно
малой для наших целей достаточно иметь чисто
интуитивное представление, выясненное на примерах.

69

УПРАЖНЕНИЯ

1. Приведите примеры бесконечно малых хп, зависящих
от натурального п — 1,2, . . .
2. Что значит, что переменная х п ( я = 1 , 2, . . . ) имеет
предел, равный числу а? Приведите примеры.
3. Каким свойством обладает переменная х п, называемая
бесконечно большой? Приведите примеры.
4. Что значит lim лгп = + оо и lim х п = — оо? При-
п ->■ 00 п 00
ведите примеры.
5. По каким правилам вычисляют пределы суммы, разности,
произведения и частного переменных х п и у п?
6. Что называется суммой убывающей геометрической
прогрессии?
7. Вычислить пределы:
.. 1) li m —2п~^\—1г ; 2оч) hm п„ 3—З,л2+ 1 я — * « — 1 «->оо«6-Ю 0 п — 5
оч I- Я3 + П пг— 1 3) 11 гп — 2— Г; 4) lim
7 0 ГЛ. 3. ПРЕДЕЛ
«2__ 11 » */ П ,-Л>1 “о о «3_
5) Hm (я3—10п2+ 2 л—1); 6) lim (я3—10я2+ 2 я—1);
П 4- 00 П
7) lim ( К п + 1 — 8) lim
П-+ — 0D
1
п3— 10я2+ Г

66

#ПРЕДЕЛ #математика #анализ #математический_анализ

Тригонометрические функции

Школьная математика
Математика в школе

Бесконечно большая величина