Действия с пределами функций

| ПРЕДЕЛ

Действия с пределами функций.

Считаете статью полезной? Поделитесь им в соц. сетях одним нажатием кнопки сверху.
Возможно она нужна кому то ещё!
Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

Скачать только ГЛАВА 3: ПРЕДЕЛ.

Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛ

§ 3.6. Действия с пределами функций

Так же как для пределов переменных, пробегающих
последовательности, для пределов функций имеют место
аналогичные свойства;
lim [/ (дг) ± ф (*)] = lim f {х) ± lim ф (л:), (8)
х-*а х-+а х-*а
lim [f (х) • ф (*)] = lim / (х) lim ф (х), (9)
х->а х-±а х->а
lim / (х)
l i m — ^ — = ^ ° . . /’Нтф(дг)^=0’\. (10) х_>а <р (х) lim Ф (х) ^ / к ‘
х-+а
В частности, если f(x) есть постоянная (f (х) «= с), и,
следовательно, lim / (х) = с, то
х-+а
Н т [сф (д ;)]= сН тф (х ). ( 11)
х-±а х-+а
©та свойства снова надо понимать в том смысле, что если
существуют конечные пределы в правых частях равенств

74

(8) — (11), то автоматически существуют пределы в левых
частях этих равенств и выполняются сами равенства.
Верны также свойства (/ (х ) Ф 0):
если l im/(x) = oo, то l i n i y ^ — = 0;
х-+а х-+а ‘ W
если lim / (лг) = 0, то lim у т у ~ 00 •
х->а х-*а * W
З а м е ч а н и е . В приведенных равенствах а может быть
не только конечным, но и бесконечным, т. е. может быть
X —►+оо, х —* —оо или X—>оо.
П р и м е р 1.
lim (ах2 + Ьх-\-с) = lim (ах2) + lim (bx) + lim с =
Х-*-Х0 X->Xq х-+х0 X-*Xq
= а / НтлЛа + &lim x -\-c = a xl-\-bx0JrC
\х -+ х 0 J x-+x0
при х0 конечном.
П р и м е р 2.
2 , , lim (*2+ 4 )
lim £-±1 = J L ll_____ = 1+ 4. = 2
‘“ з * + 2 Hm (*+2) 2 + 2
*->2
В этих примерах, чтобы вычислить предел функции
при x —f а, достаточно подставить в нее х — а .В частности,
в примере 2 это можно сделать потому, что как числитель,
так и знаменатель стремятся к конечным пределам
и при этом предел знаменателя не равен нулю.
П р и м е р 3. lim—х Ч1 25=оо.
х -+ З х ~
Здесь нельзя применить свойство (10), выражающее,
что предел частного равен частному пределов, потому что
предел знаменателя равен нулю. С другой стороны, надо
считать очевидным, что если числитель дроби стремится
к конечному числу, не равному нулю, а знаменатель стремится
к нулю, то дробь стремится к бесконечности.
П р и м е р 4. Требуется вычислить предел
*2—4 lim тг.
х->2 х 2
Р е ше н и е . В данном случае числитель и знаменатель
дроби стремятся к нулю и соображения, приведенные
в примере 3, тоже неприменимы. Но вот как можно по-
^2 4
ступить. Для любого х Ф 2 имеем ; к- = х+ 2 , атак как X £
при определении предела при х —* 2 совсем не прини

75

мается во внимание значение / в точке х — 2, то
х2- 4 lim
Х -+ 2
■ lim (х-\-2).
Х -+ 2
Таким образом, вместо того чтобы вычислять предел более
( v2 _ 4)
сложной функции , достаточно вычислить предел
2, оче-
( х — 2 ) *
более простой функции х + 2 . Последний при х-
видно, равен 4. Ведь
lim ( * + 2) = lim * + lim 2 = 2 + 2 = 4,
х-*2 х->2 х-*-2
Вычисления, связанные с нахождением данного предела,
обычно располагают следующим образом-
lim ■
*-»-2
• = lim ( х + 2) = lim х + 2 — 4.
х-*2 х-+2
X ■‘т
Подчеркнем, что функции f (х) — — и Ф (*) = * + 2
являются разными функциями. Первая из них определена

76

для х Ф 2, в т о время как вторая определена для всех х.
Однако при вычислении предела функции при х —+2 нас
совершенно не интересует, определены или не определены
эти функции в самой точке х = 2, и так как / (х) = <р (х)
для х ф 2 , то (рис. 68 и 69)
lim f (х) = lim <p (х) = <p (2).
Х — + 2 х-у2
Пр и ме р 5. Функция у = s i n (график ее изображен на
рис. 70) определена для всех значений х Ф 0. Она определена,
таким образом, в окрестности точки * = 0 за исключением самом
точки * = 0. Эта функция не имеет предела при х —>-0, потому
2 что последовательность отличных от нуля значении лг*=—Я —р 1)
ik = 0, 1. 2, . . . ) стремится к нулю, и в то же время / ( * ft) = (— 1)*
не стремится при k — *00 ни к какому пределу.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Сформулируйте утверждения о пределе суммы; разности,
произведения и частного функций.
2. Что значит, что функция стремится
а) к оо, б) к 4 -°°, в) к — оо
при х —* а?
3. Вычислить пределы:
и , sin kx П\ I- 1) l im—— ; 2) I atg хn 3о)\ li-i m —1—-cjo—s 2х ;
x-*0 x x-*0 л X-+0 л
4) lim ctg x; 5) lim c tg x ; 6) lim xs—, 1 ,
X-+0 x-+0 x-+0 x
7) Tim (x3— 20x*+ 1); 8) lim (x3 — 20*2 + 1);
X-*■ + ОС JC-> — oo
9) lim ^ = y — ; 10) lim Ц / 7 + 1 — У x — \ ) .

77

#ПРЕДЕЛ #математика #анализ #математический_анализ

Тригонометрические функции

Школьная математика
Математика в школе

Действия с пределами функций