Неравенство Бернулли | Показательная, логарифмическая
И ОБЩАЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ
Неравенство Бернулли
Считаете статью полезной? Поделитесь им в соц. сетях одним нажатием кнопки сверху.
Возможно она нужна кому то ещё!
Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.
Скачать только ГЛАВА 4: Показательная, логарифмическая И ОБЩАЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ.
Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.
ГЛАВА 4. Показательная, логарифмическая
И ОБЩАЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ
§ 4.4. Неравенство Бернулли
Рассмотрим функцию ах на отрезке [с, d]. Положим
М = аа. Справедливо неравенство ( а > 1)
\ау — a * j < 2M ( a— 1) J л:—у\, с < х , t /< d , \ х— у \ < \ ,
(10)
называемое неравенством Бернулли.
Это неравенство показывает, что если приращение
у —л: аргумента л; мало, то соответствующее ему приращение
показательной функции ау—а* тоже мало, т. е.
функция ах непрерывна.
Пр и м е р . Вычислить приближенно 3V 2. Определить
абсолютную погрешность.
Р еше н и е . На микрокалькуляторе получаем
К 2 д а 1,4142136,
3V1 ^ 31,4142 136 = 4,728817 да 4,72882.
Абсолютная погрешность не превышает (а = 3, \ х— у | <
< 10-7, | / ”2 < 2 = d, М < 3»)!
2М(а— 1)• Ю-J < 2 -З3-2-10″! = 36-10“ * < ю-».
Поэтому результат естественно округлить до пятого знака
после запятой:
3V1 да 4,72882.
Дадим обоснование неравенства (10). Отметим прежде всего
неравенство
( l + a ^ g s 1+УУа (a > 0, N = 1, 2, 3, . . . ) . (11)
При N = 1 оно тривиально. Допустим теперь, что оно верно при
N — 1:
( l+ a ) » — 1^ l + (W—l)a.
Тогда оно верно и при N:
( ! + a ) Af = (4 + a )A ‘ — i (l + a) s» [1 + (N — 1) a] ( l + a ) = *
= i + Na + (N — 1) a? i s 1 + Na.
Мы доказали неравенство (11) по индукции (см. далее § 11.2).
90
Пусть теперь а > 1 и N — натуральное число, тогда al ^N > 1 и
a xlN — 1 + а (а > 0), а = ( 1 + 0 0 ^ 2 5 l + A’a,
а — 1 ^ А’а, о—— pj1- а .
Следовательно, aVN— 1 < а .
Пусть теперь h—произвольное рациональное число, удовлетворяющее
неравенствам 0 < h < 1. Подберем натуральное N так,
чтобы
1 1
N- \ — \ N ‘
Тогда
ал _ ! (12)
потому что
1 , N + 1 1 . 1
N + l < ’ N + N <
Пусть теперь х и у — рациональные числа, удовлетворяющие
неравенствам \ х—у\ < 1, с ^ х , y < d и М — аа\ тогда на основании
неравенства (12), считая, что у > х и у— x = h, получаем
| ах — ау | = аУ — ах = ах (a,J~x — 1) <
М -2 (a — 1) (у— х) — 2М (а — 1) | х— у |.
Мы доказали неравенство Бернулли для рациональных чисел
х, у (М = ал , c s s x , y ^ d , 0 < у — х < 1):
I а х — а у I (а — 1) \ х — у |.
Если х—рациональное число и переменная уь (k— l, 2, . . . ) ,
пробегающая рациональные числа, стремится к х, то имеет место
неравенство \ах — аУк\ ^ 2 М { а — 1 ) |*—уь\ . Правая его часть при
k —»оо стремится к нулю (х— >-0), следовательно, и левая.
Откуда для рациональных х
ах = lim a k .
TtTx
Если теперь х — произвольное иррациональное число, то для
него тоже можно подобрать стремящуюся к нему переменную
Ук (Ук— > х) и доказать, что переменная а‘у* имеет предел. Естественно
его обозначить через ах . Этим дается определение показательной
функции для иррационального х. Доказательство существования
предела основано на уже выведенном неравенстве Бернулли
для рациональных х, у. При этом приходится обращаться к более
развитой теории пределов чем та, которую мы получили в этой
книжке. Переход в (10) от рациональных х, у к действительным
нетруден.
П р и м е р 1. Вычислить 21’3 с помощью микрокалькулятора.
91
Р еше н и е .
0 Ш □ Ш 0 3 ,2 4 9 0 0 9 6 ,
результат выписан с точностью до единицы седьмого разряда
после запятой, т. е. абсолютная погрешность не превышает
1 0 -7 .
П р и м е р 2. Вычислить на микрокалькуляторе 71/11.
Р еш е н и е .
77- Ш E D Ш О Н Е П 0,0909091 (записываем),
* * г
7 » й у 0,0909091 —
= Ш И Э Щ Ш Ш Ш Ш С Ж Ю Ш Н и ш з ! .
В оценке Бернулли приближения 7 1 /1 1 ^ 70.0909091 имеем
М = 2 1/1 1 ^ 2 , а = 7, |л:—г/1 < 10—7, следовательно, абсолютная
погрешность этого приближения не больше
2М(а— 1 )|*—у \ < 2-2(7— I ) — Ю» 7 = 24• 1 0 ‘ 7< 10~5.
Поэтому мы оставили только 5 цифр у окончательного
результата.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для какого числа а определяется показательная
функция а т?
2. Определите ах для х натуральных, целых отрицательных,
рациональных.
3. Дайте определение функции ах для любого действительного
числа.
4. Сформулируйте неравенство Бернулли.
5. Вычислите на микрокалькуляторе числа 23’7, 22’1,
З0’23, 4а’27. Оцените погрешность приближения.
6. Вычислить на микрокалькуляторе числа 2V 3, ,
Зл , 5 1/7.
92
ОБЩАЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
#ОБЩАЯ_СТЕПЕННАЯ_ФУНКЦИЯ #математика #анализ #математический_анализ
Школьная математика
Математика в школе
Околоadmin
