Предел функции

| ПРЕДЕЛ

Предел функции.

Считаете статью полезной? Поделитесь им в соц. сетях одним нажатием кнопки сверху.
Возможно она нужна кому то ещё!
Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

Скачать только ГЛАВА 3: ПРЕДЕЛ.

Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛ

§ 3.5. Предел функции

Рассмотрим произвольную функцию y = f(x). Пусть она
определена в некоторой правой окрестности точки a, »а
исключением, быть может, самой точки а. Это значит, что
она определена для значений х, удовлетворяющих неравенствам
а < х < а + 6, где б—некоторое положительное
число.

72

Говорят, что функция у — f (х) имеет правый предел
в точке а, равный А, если из того, что х приближается
(стремится) к а, оставаясь в правой окрестности точки а,
следует, что / (х) приближается к Л. Это записывают так:
lim f(x) = А.
х -*■ а
х > а
Аналогично, если функция у = /(* ) определена в левой
окрестности точки а, за исключением, быть может, точки а,
т. е. она задана для значений х, удовлетворяющих неравенствам
а — б < х < а (6 > 0) при некотором б > 0, то
говорят, что она имеет левый предел в точке а, равный
числу В, если из того, что х приближается к а, оставаясь
в левой окрестности а, следует, что f (х) приближается
(стремится) к В. Этот факт записывают так:
lim f (x) = B.
х -* а
х < а
Если существуют левый и правый пределы функции
y = f(x) в точке а и они равны одному и тому же ЧМслу А,
то говорят, что функция имеет предел в точке а, равный А ,
и пишут
lim / (х ) = А.
х -> а
В этом случае само собой разумеется, что функция /
определена в некоторой полной окрестности а—б < я <
< а + 8 точки а за исключением, быть может, самой точки а.
Функция у = , которую мы рассмотрели выше, определена
для всех значений х, за исключением х = 0. Мы
уже знаем, что эта функция имеет предел при X—+Q,
равный 1.
Формально выражение «при х, стремящемся к а, функция / (х)
стремится к Л» надо понимать следующим образом: для любого
положительного числа s > 0 найдется такое б > 0, что
lf(x) — A\ < 8
для всех х, удовлетворяющих неравенствам
0 < \х — а\ < S.
О функции f (х) говорят, что она стремится к оо при
х —>■ а, если для значений х, достаточно близких к а, она
может сделаться по абсолютный величине больше как

73

угодно большого числа М > 0. В этом случае пишут
lim f(x) = оо.
х-±а
Можно при этом говорить о правом и левом пределе в
точке а и заменять символ оо на + о о или —оо, функция вблизи а положительна или, соответственно, отрицательна.
Например, мы знаем, что
lim tg х — оо (7)
х-* л/2
и, что точнее (см. рис. 42),
lim tg * = -f-oo, lim tg x = —оо. (7′)
х-»-л/2 х-+п/2
х < я /2 * > я /2
Заметим, наконец, что в этих определениях конечное
число а (точку числовой прямой) можно заменить на символ
оо, или + о о , или —оо.
Вспомним, что функция у — arctgx задана для всех
аначений х, т. е. на интервале —о о < х < о о . Для нее
справедливы равенства (см. § 2.11 рис. 61)
lim a rc tg * = n/2, lim arctg x — — я/2.

74

#ПРЕДЕЛ #математика #анализ #математический_анализ

Тригонометрические функции

Школьная математика
Математика в школе

Околоadmin