Предел sin x/x

| ПРЕДЕЛ

Предел sin x/x.

Считаете статью полезной? Поделитесь им в соц. сетях одним нажатием кнопки сверху.
Возможно она нужна кому то ещё!
Арксинус: Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

Скачать только ГЛАВА 3: ПРЕДЕЛ.

Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛ

§ 3.4. Предел sin x/x

Рассмотрим функцию (рис. 66)
sin X
Она определена для всех значений х, за исключением
х — 0. Посмотрим, как изменяется эта функция, когда х
приближается к нулю все ближе и ближе, оставаясь отличным
от нуля. Вот таблица:

70

Таблица наводит на мысль, что когда независимая переменная
х приближается к 0, оставаясь положительной,
функция приближается к 1. Этот факт можно получить
из геометрических соображений. На рис. 67 изображена
окружность радиуса 1 с центром в начале координат.
Пусть ^ЛС = а . Тогда ^4B = s i n a , /lD = tg a ,
Но тогда, как видно из рисунка (длина дуги окружности
больше стягиваемой ею хорды и меньше объемлющей
ее ломаной),
2АВ < 2 С’АС) < 2AD.
Поэтому
2 sin а < 2 а < 2 tg а ,
1 < -sАin -а < —cos а ,
COS а <. -s-i-n- -а— <, 1, . а
Если теперь а приближать Рис. 67
(стремить) к 0, то функция
cos а , как это видно из графика (см. рис. 67), будет приближаться
к 1. Но функция находится все время
между c o s а и 1. Это показывает, что она стремится к 1,
когда а стремится к нулю, оставаясь положительной. Этот
факт записывают так:
« • Si n o&i / п г \
lim —— = 1 , (6 )
а -> 0 а
а > О
и говорят, что предел функции «когда а стремится
к нулю, принимая положительные значения, равен 1.
Но если а —► 0, принимая отрицательные значения, то
указанный предел все равно существует и равен 1. Это
получается из (6′) посредством замены переменной а = — t.

71

в силу которой, если а —*- 0, а < 0, то t —»■ 0, t > Oi
Hm = Hm = Um = 1. (6″)
а-»- 0 “ а -* 0 ~ ~ а 1-+ 0 ‘
а < 0 а < 0 1> О
Равенства (6′) и (6») объединяют в одно;
l im!%2 = l , (6)
а — > 0 а
и говорят, что предел при а —>0 равен 1.
П р и м е р 1.
П т ^ = l i m ^ f = lim ( 2 ^ ) = 2 — 1 = 2 .
* _ > о * * / — * 0 у !2 у — * о V г/ У
Чтобы свести вычисление этого предела к пределу (6),
делаем замену переменной х на у при помощи равенства
# = 2х. Очевидно, у —>0 при х —*-0.
П р и м е р 2.
,, 1 — c o s * ,. 2 sin2 (*/2) sin2 (лг/2) Hm ■- — ! ■- = h m lim
x-*- 0 x * -*- 0 * x~ * 0
1 / s in (x/2) \ a 1 / s i n y \ 2 1 1
— T , 1™, ( — V ) = T „ ‘i ” ( — )
Здесь сделана замена -§ = У, где у —* 0 при я —>• 0,

УПРАЖНЕНИЯ

1. Вычислить пределы!
. sin Ал: ,,, sin 2* . „ sin хг . a) hm —— ; б) lim — г -* -; в) lim — j
х-+ 0 х * -> 0 sm х -> 0 ■*
ч sin2 * ч sin * г) lim ——- ; д) lim —г
х — > 0 х х -> 0
2. Повторите вывод формулы (6) и запомните эту формулу.

72

#ПРЕДЕЛ #математика #анализ #математический_анализ

Тригонометрические функции

Школьная математика
Математика в школе

Околоadmin