Упражнения. Правильные многоугольники. Длина окружности.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Упражнения. Правильные многоугольники. Длина окружности.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
178. Вымостить (т. е. заполнить без пробелов и перекрытий) плоскость
правильными многоугольниками, равными между собой. Показать, что эта
задача возможна только для трёх видов правильных многоугольников.
179. Построить правильный пятиугольник, зная его сторону.
180. В правильном пятиугольнике две диагонали, не проходящие через
одну и ту же вершину, взаимно делятся в среднем и крайнем отношении
(доказать).
181. Прямоугольный треугольник, катеты которого равны сторонам
двух правильных десятиугольников, вписанных в одну и ту же окружность,
имеет своей гипотенузой сторону равностороннего треугольника, вписанного
в ту же окружность (доказать).
182. Доказать то же предложение для выпуклого десятиугольника,
шестиугольника и выпуклого пятиугольника; для звездчатого десятиугольника,
шестиугольника и звездчатого пятиугольника.
183. Если на сторонах правильного шестиугольника построить вне
шестиугольника 6 квадратов, то 12 внешних вершин этих квадратов суть
вершины правильного двенадцатиугольника (доказать).
184. Проверить, что два выражения для стороны си приведённые в
пп. 180 и 181, равны между собой.
Длина окружности
185. Найти радиус окружности, дуга которой в 18° 15′ равна 2 м.
186. На радиусе ОА окружности, как на диаметре, построена вторая
окружность. Пусть В и С — точки, в которых обе окружности пересекаются
с одним и тем же радиусом, выходящим из центра О первой окружности.
Доказать, что дуги АВ и АС имеют одну и ту же длину.
187. Если две окружности внутренним образом касаются одной и той
же третьей окружности и сумма их радиусов равна радиусу третьей окружности,
то дуга последней, заключённая между точками касания, равна
сумме дуг внутренних окружностей, заключённых между их точкой пересечения,
ближайшей к большей окружности, и теми же точками касания
(доказать).
188. Сумма сторон вписанных квадрата и равностороннего треугольника
даёт приближённое значение длины половины окружности (предел
ошибки: одна сотая радиуса) (доказать).
189. Периметр прямоугольного треугольника, катеты которого равны
3 и 6диаметра, даёт приближённо значение длины окружности (предел
О и
ошибки: одна десятитысячная радиуса) (доказать).
*) Например, диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, и тем
не менее очень легко, зная один из этих отрезков, построить другой.
2) Теорема о несоизмеримости к принадлежит Л а м б е р т у (1770). Что
касается невозможности квадратуры круга, то её доказал Л и н д е м а н в
1882 г., обобщая теоремы, принадлежащие французскому математику
Э р м и т у.
175 Упражнения. Правильные многоугольники. Длина окружности.
Околоadmin
