Home » МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ » Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. VII. УПРАЖНЕНИЯ С КУСКОМ БУМАГИ

Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. VII. УПРАЖНЕНИЯ С КУСКОМ БУМАГИ


Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ.
Для младших классов.
VII. УПРАЖНЕНИЯ С КУСКОМ БУМАГИ (часть 1).
Скачать бесплатно Ё. И. ИГНАТЬЕВ «В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ» в формате PDF в хорошем качестве. Вся книга.

Скачать бесплатно Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. Для младших классов. (стр. 9-42)

Текст для быстрого ознакомления:

VII. УПРАЖНЕНИЯ С КУСКОМ БУМАГИ

Вряд ли кто из наших читателей не умеет сам из
квадратного куска бумаги сделать «петушка», лодочку,
кораблик, коробочку и т. д. Достигается это
путем разнообразного перегибания и складывания
бумажного квадрата. Полученные при этом сгибы
(складки) позволяют придавать взятому куску бумаги
ту или иную желаемую форму. Сейчас мы убедимся,
что с помощью перегибания бумаги можно не
только делать забавные или интересные игрушки, но
и получить наглядное представление о многих фигурах
на плоскости, а также об их свойствах. Кусок
обыкновенной белой (а еще лучше — цветной) бумаги
и перочинный ножик для разглаживания или удаления
ненужных частей могут оказаться прекрасным
пособием для усвоения начал геометрии.
Сгибая кусок бумаги, совместим какие-либо две
точки, затем, прижав их друг к другу пальцем, разгладим
ножом сгиб. Каждый, наверное, не один раз
проделывал это. Но задумывались ли вы когда-нибудь,
почему линия сгиба обязательно получается
прямой? Если подумать, то легко увидеть в этом
проявление одной из геометрических теорем, а именно
теоремы о том, что совокупность точек плоскости,
равноудаленных от двух фиксированных, есть прямая
линия.
Очень полезно подыскивать геометрические обоснования
и в последующих задачах.

37 Для младших классов.  УПРАЖНЕНИЯ С КУСКОМ БУМАГИ


77. Прямоугольник
Имеется кусок бумаги неправильной формы. Как*
пользуясь только перочинным ножом, вырезать из
него прямоугольник?

78. Квадрат
Как из бумажного прямоугольника получить
квадрат?
Исследуем теперь некоторые свойства получившегося
квадрата. Линия сгиба, проходящая через
два противоположных угла квадрата, есть диагональ
этого квадрата. Другая диагональ получается перегибом
квадрата через другую пару противоположных
углов, как это видно на рис. 30. Непосредственным
наложением убеждаемся, что диагонали квадрата
пересекаются друг с другом под прямыми углами и
что в точке пересечения они взаимно делятся пополам.
Эта точка пересечения диагоналей квадрата
называется центром квадрата.
Каждая диагональ делит квадрат на два совпадающих
при наложении треугольника, вершины которых
находятся в противоположных углах квадрата.
Каждый из этих треугольников имеет, очевидно, по
две равные стороны, т. е. эти треугольники равнобедренные.
Кроме того, эти треугольники и прямоуголь-
ные, так как каждый из них имеет по прямому
углу.
Две диагонали, как легко видеть, разделяют
квадрат на 4 совпадающих при наложении прямоугольных
и равнобедренных треугольника, общая
вершина которых находится в центре квадрата.
Перегнем теперь наш бумажный квадрат пополам
так, чтобы одна сторона совпадала с противоположною
ей. Получаем сгиб, проходящий через центр
квадрата (рис. 31). Линия этого сгиба обладает, как
легко убедиться, следующими свойствами: 1) она
перпендикулярна двум другим сторонам квадрата,
2) делит эти стороны пополам, 3) параллельна двум
первым сторонам квадрата, 4) сама делится в цент-

38  Для младших классов.  УПРАЖНЕНИЯ С КУСКОМ БУМАГИ

ре квадрата пополам, 5) делит квадрат на два совпадающих
при наложении прямоугольника, 6) каждый
из этих прямоугольников равновелик (т, е. ра-

Рис. 30. Рис» 8-Г.

Рис. 30. Рис» 8-Г.

вен по площади) одному из треугольников, на которые
квадрат делится диагональю. Перегнем квадрат
еще раз так, чтобы совпадали две другие стороны.
Полученный сгиб и сделанный раньше делят квадрат

Рис. 32. Рис. 33.

Рис. 32. Рис. 33.

на 4 совпадающих при наложении квадрата
(рис. 31).
Перегнем эти 4 меньших квадрата через их
углы, лежащие посередине сторон большего квадрата
(по диагоналям), и получим квадрат (рис. 32),
вписанный в наш начальный квадрат. Этот вписанный
квадрат, как легко убедиться, имеет площадь,

39 Для младших классов.  УПРАЖНЕНИЯ С КУСКОМ БУМАГИ

равную половине площади большого квадрата и имеет
тот же центр. Соединяя середины сторон этого
внутреннего, вписанного, квадрата, получим квадрат,
площадь которого равна 1/4 площади первоначального
(рис. 33). Есди в этот последний квадрат по
предыдущему опять впишем квадрат, то его площадь
будет равна 1/8 площади первоначального. В этот,
в свою очередь, можем вписать квадрат, площадь
которого равна 1/16 площади первоначального,*
и т. д.
Если перегнуть наш квадрат как угодно, но так,
чтобы сгиб проходил через центр, то квадрат разделится
на две совпадающие при наложении трапеции.
79. Равнобедренный треугольник
Из бумажного квадрата сгибанием подучить равнобедренный
треугольник.
80. Равносторонний треугольник
Как из бумажного* квадрата сгибанием получить
равносторонний треугольник?
Исследуем некоторые свойства получившегося
равностороннего треугольника. Сложим его, накладывая
каждую из сторон на
основание. Мы получим’ таким
образом три высоты
этого треугольника: АА\
ВВ\ СС (рис. 34).

 

Вот некоторые свойства
равностороннего треугольника,
которые можно вывести
из рассмотрения полученной
нами фигуры на
рис. 34.

Рис 34.

Рис 34.

Каждая из высот разделяет
треугольник на два
совпадающих при наложении
прямоугольных треугольника.
ини делят стороны пополам и перпендикулярны
к ним. Они проходят через одну общую точку.
Пусть высоты АА’ и СС’ встречаются в О. Проведем
ВО и продолжим ее до встречи с АС в В\

40 Для младших классов.  УПРАЖНЕНИЯ С КУСКОМ БУМАГИ

Теперь докажем, что ВВ’ есть третья высота. Из
треугольников СОВ и ВО А’ находим, что \ОС\ =
= |ОЛ’|, и убеждаемся, что углы О ВС и А’ВО
равны. Затем, из треугольников АВ’В и СВ’В следует,
что углы АВ’В и ВВ’С равны, т. е. каждый
из них есть прямой угол. Значит, ВВ’ есть высота
равностороннего треугольника ABC. Она.также делиг
АС пополам в В’.
Можно, аналогично предыдущему, показать, что
ОА, ОВ и ОС равны и что также равны ОА\ OB’
и ОС’.
Поэтому из О, как центра, можно описать окружности,
которые пройдут соответственно через Л, В
и С и через А\ В’ и С’. Последний круг касается
сторон треугольника.
Равносторонний треугольник ABC делится на
шесть совпадающих при наложении прямоугольных
треугольников, углы которых при точке О равны, и
на три таких совпадающих при наложении симметричных
четырехугольника, что около них можно
описать окружности.
Площадь треугольника АОС равна удвоенной
площади треугольника А’ОС\ отсюда \АО\ = 2\ОА’\.
Аналогично, \ВО | = 21 ОВ’ |
и \СО\ =2\ОС’\. Значит,
радиус круга, описанного
около треугольника ABC,
вдвое больше радиуса вписанного
круга.
Прямой угол А квадрата
делится прямыми АО и А С
на три равные части. Угол
ВАС равен 2/3 прямого
угла. Углы С’АО и ОАВ’
равны 1/3 прямого угла
каждый. То же относится
к углам при В и С.
Шесть углов при О рав- Рис. 35.
ны 2/3 прямого каждый.
Перегните бумагу по линиям А’В\ В’С и
С’А’ (рис. 35).

Рис. 35.

Рис. 35.

В таком случае А’В’С’ есть равносторонний
треугольник. Его площадь равна 1/4 площади
треугольника ABC. Отрезки А’В\ В’С’У С’А’ параллельны
соответственно АВ> ВС, СА и равны поло

41  Для младших классов.  УПРАЖНЕНИЯ С КУСКОМ БУМАГИ

винам их. АС’А’В’ есть ромб, С’ВА’В’ и СВ’С’А’ —*
также, Л’В’, S’C’, С’Л’ делят соответственные высоты
пополам.
81. Правильный шестиугольник
Как из квадрата получить правильный шестиугольник?
На рис. 36 представлен образец орнамента из
равносторонних треугольников и правильных шестиугольников,
который вы теперь легка можете построить
сами.
Можно, в свою очередь, разделить шестиугольник
на равные правильные шестиугольники и равносторонние
треугольники (рис. 37), делая перегибы через

Рис. 36. Рис. 37.

Рис. 36. Рис. 37.

точки, делящие его стороны на три равные части,
Получается красивый симметричный орнамент.
Можно получить шестиугольник еще и следующим
путем. Возьмем равносторонний треугольник и
перегнем его так, чтобы все его вершины сошлись в
центре. Из того, что мы уже знаем о равностороннем
треугольнике, нетрудно вывести, что сторона
полученного шестиугольника равна 1/3 стороны взятого
равностороннего треугольника. Площадь же
этого шестиугольника равна 2/3 площади взятого
треугольника.

42  Для младших классов.  УПРАЖНЕНИЯ С КУСКОМ БУМАГИ

Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ. Математика школьные знания. РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ. VII. УПРАЖНЕНИЯ С КУСКОМ БУМАГИ

На главную страницу Ё. И. ИГНАТЬЕВ В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ.

About

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Статистика


Яндекс.Метрика