§ 1. Определения
ГЛАВА VI. ПРОПОРЦИИ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА
Школьная газета по математике
1. Отношением числа а к числу Ь называется частное у , а называется
предыдущим, 6 — последующим членом отношения.
2. Пропорцией называется равенство, каждая часть которого
является отношением двух чисел. В пропорции
ЧП в семье Порошенко — сын попал в ДТП
члены a n d называются крайними, а Ъ и с средними.
При изложении свойств пропорций будем считать, что ни один
из членов пропорции не равен нулю.
7
Пример, — отношение числа 7 к числу 2. Предыдущий член
, ~>
здесь 7, последующей 2.
Пр име р . — пропорция. Крайние члены здесь 10 и 2,
средние— 4 и 5.
§ 2. Главное свойство пропорции
Те о р ема 1. Во всякой пропорции произведение крайних членов
равно призведению средних.
До к а з а т е л ь с т в о , Дана пропорция
Умножим обе части равенства (1) на bd, получим
a d= b c . (2)
Теорема доказана.
Те о р ема 2 ( о б р а т н а я ) . Если произведение двух чисел
равно произведению двух других чисел, то из этих четырех чисел
можно составить пропорцию, крайними членами которой являются
135 Школьная газета по математике Определения, ПРОПОРЦИИ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
сомножители одного из двух произведений, а средними—сомножители
другого.
При этом предполагается, что ни один из сомножителей не равен
нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть
ad = be,
а, b, с, d все отличны от нуля. Разделим обе части равенства на bd,
получим
jfl с
Ъ » d ‘
Теорема доказана.
10 4 Пример. = y — пропорция. Произведение крайних ее членов
равно 20, произведение средних ее членов также равно 20.
Пример. 8*9 = 3* 24 — равенство двух произведений. Разделим
обе части этого равенства на 9 * 24, получим пропорцию
§ 3. Определение неизвестного члена пропорции
Те о р ема 3. Средний член пропорции равен произведению
крайних, деленному на другой средний. Крайний член пропорции
равен произведению средних, деленному на другой крайний.
Пусть
i — i — < »
Покажем, что
ь = ^ ~ , (2)
а = 4 г * (3>
На основании теоремы 1 имеем
ad — be. (4)
Разделим обе части равенства (4) на с, получим равенство {2). Разделим
обе части равенства (4) на d, получим равенство (3). Теорема
доказана.
Пр им е р . Найти х , если -х= — ^4
136 Школьная газета по математике Определения, ПРОПОРЦИИ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
§ 4. Перестановка членов пропорции
Те о р ема 4. Во всякой пропорции можно переставить сред-
ние члены, переставить крайние члены, переставить и средние
члены и крайние, средние поставить на место крайних, а крайние
на место средних.
Иными словами, если
то
т = т * О)
т = 4 <2>
(переставлены средние члены),
Т — Т <3>
(в (1) переставлены крайние члены),
-с = -а w(4)
(в (1) переставлены и средние и крайние члены),
а с * v( 5)’
(средние поставлены на место крайних, крайние — на место средних).
Д о к а а а т е л ь с т в о . В пропорции (1)
ad = be. (6)
Разделим обе части равенства (6) на cd, получим равенство (2).
Точно так же, разделив обе части равенства (6) на ab, а затем
на ас, получим равенства (3) и (4). Равенство (5) получается из
равенства (4) посредством перестановки отношений. Теорема доказана.
С
л е д с т в и е . Переставим отношения в равенствах (1), (2), (3),
получим еще три пропорции
JL — 1L
d ~ J *
b_ jz
d ~ J 9
d_
a b m
Таким образом, всякую пропорцию посредством перестановки
ее членов можно представить в восьми различных видах.
137 Школьная газета по математике Определения, ПРОПОРЦИИ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
§ 6. Производные пропорции
Те о р ема 5. 1) Во всякой пропорции сумма членов первого
отношения так относится к последующему члену этого отношения,
как сумма членов второго отношения относится к своему
последующему.
2) Во всякой пропорции разность членов первого отношения
так относится к последующему члену этого отношения, как
разность членов второго отношения относится к своему последующему.
Иными словами, если
1 3 8 ПРОПОРЦИИ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ [ г л . VI
то
а 4- b с + d
Ъ ~ d ~ ‘
a — b с — d
Ъ ~~ d ‘
Д о к а з а т е л ь с т в о . Прибавим к каждой части равенства (1)
по 1, получим равенство (2). Вычтем из каждой части равенства (1)
по 1, получим равенство (3). Теорема доказана.
Те о р ема 6. 1) Во всякой пропорции сумма членов первого
отношения так относится к предыдущему члену этого отношения,
как сумма членов второго отношения относится к своему
предыдущему,
2) Во всякой пропорции разность членов первого отношения
так относится к предыдущему члену этого отношения, как
разность членов второго отношения относится к своему предыдущему.
Иными словами, если
а с
1 = 7 *
то
в -j- b с -{- d
а с *
a — b , c — d
а ~~ с 9
До к а з а т е л ь с т в о . Разделим равенство (2) почленно на равенство
(1), т. е ., левую часть равенства (2) разделим на левую часть
равенства (1), а правую часть равенства (2) на правую часть равенства
(1). Получим равенство (4). Разделив равенство (3) почленно
на равенство (1), получим равенство {5). Теорема доказана.
Те орема 7 .Во всякой пропорции сумма ^членов первого отношения
так относится к и х разности, как сумма членов второго
138 Школьная газета по математике Определения, ПРОПОРЦИИ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
отношения относится к и х разности, если только эти разности
отличны от нуля.
Иными словами, если
До к а з а т е л ь с т в о . Разделив почленно равенство (4) на равенство
(5), получим равенство (6).
6. Ряд равных отношений
Тео рема 8. Если дана несколько равных отношений\ то
сумма всех предыдущих членов отношений относится к сумме
всех последующих как любой из предыдущих к своему последующему.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть имеется несколько равных отношений
Обозначим результат деденйя at на bt буквой q. Так как все отношения
ряда (1> равны между’ собой, каждое из них также равно q.
Таким образом, . ‘
Теорема доказана.
Задача. Дано, что
а% Д»
h ~ bt *
Доказать, что при любых mlt mt, т%, отличных от нуля,
139
Р еше н и е . Умножим каждый, член первого отношения на щ ,
получим пропорцию
gj __
bx Ьхтх *
Точно так же
02 ___л2702 . 0 « йьть
Ь2 Ъ%т% * ^ 2 *
Значит,
d\Ttl\ 02/02 02^2 ‘
^1^1 ^2^2 Ь%Шъ *
На основании теоремы 8 имеем
fliЩ + 0smfl + ___ Qiffli ____ _0i^___ а*____
bitni + Ъ’ътг + Ъъть Ъхт\ Ьх Ъ%~ Ъь ‘
Зо а д а ч а . пР ешить уравнение- -ф -хр- =\-2 — ^5-.
Реше н и е . Пользуясь теоремой 7 § 5, имеем
—2лг +р -3 = у9, т. е. 2дг = 6; х — 3.
Упражнения
2лг + 5 5
1. Решить уравнение f = ~з •
0 _ 01 02 02 0? 0| 0? 2. Доказать, что из ТГ «?Г следУет» что ““gr ~Ь\*
140
§ 7. Пропорциональная зависимость
Мы много раз составляли уравнения, выражающие зависимость
между величинами, и могли наблюдать, что. зависимости эти бывают
весьма разнообразны.
При решении многих задач мы встречаемся с двумя величинами,
зависимость между которыми такова, что при изменении этих величин
их отношение остается неизменным. Такие величины называются пря&о
пропорциональными, а зависимость между ними — пропорциональной
зависимостью.
Для примера приведем несколько задач, в которых мы встретимся
с величинами, находящимися в пропорциональной зависимости.
З а д а ч а . Скорость течения реки 3 км в час. Плот за t часов
прошел вниз по реке S км. Составить уравнение, выражающее зависимость
между S и /.
Ответ. S = %t.
За дач а . С каждого гектара собрано 30 ц ржи и, таким образом,
с k га собрано А ц. Составить уравнение, выражающее зависимость
между А и k.
Ответ, А = 3QA,
З а д а ч а . Основание прямоугольника 2 см, высота h см, “площадь
Q см*. Составить уравнение, выражающее зависимость между Q и А.
> Ответ. Q = 2h.
З а д а ч а . 1 м материи стоит 20 руб. За т м этой материи уплатили
iVpy6. Составить уравнение, выражающее зависимость между
N u m .
Ответ. N = 20т.
Мы рассмотрели четыре задачи, которые по своему содержанию
относятся к различным областям практической деятельности. Нетрудно
убедиться, что в каждой из этих задач мы ^
действительно имеем дело с прямо пропорциональными
величинами.
Так, в первой задаче отношение расстояния
(в км), пройденного плотом, к
времени (в часах), в течение которого
плот находился в пути, всегда одно и
то же и равно 3. Поэтому расстояние, которое
проходит плот вниз по реке, пропорционально
времени, в течение которого
плот находится в пути, при условии,
что скорость течения реки повсюду одна и
та же.
Точно так же во второй задаче количество
ржи, собранной с нескольких гектаров,
пропорционально количеству ржи,
собранной с одного гектара, при условии,
что с каждого гектара собрано по одному
и тому же количеству ржи и т. д.
Заметим, что уравнения, к которым мы-
пришли в рассмотренных задачах, имеют
один и тот же вид. В этих уравнениях
одна, из величин равна произведению некоторого
числового множителя на другую
величину. Этот множитель называется коэффициентом
пропорциональности. В первой задаче коэффициент
пропорциональности равен 3, во второй задаче он равен 30, в третьей
задаче он равен 2, в четвертой задаче он равен 20.
Таким образом, пропорциональная зави£имость между величинами
всегда выражается уравнением y = k x , где k — коэффициент пропорциональности.
Известно, что зависимость между двумя величинами
может быть наглядно представлена таблицей, а затем» и графиком.
Для примера представим таблицей зависимость, выражаемую уравнением
5 = 3/ (первая задача):
141
Построим график зависимости 5 = 3/ (рис. 19). Обратим внимание
на следующие обстоятельства:
1. Отношение чисел, находящихся в одном столбце таблицы, повсюду
одно и то же и равно коэффициенту пропорциональности:
JL 1 5 _ 2 4 _ 3 0
1 = 5 8 10
и т. д. (для первого столбца это отношение не имеет смысла; так
как на нуль делить нельзя).
2, График представляет собой луч, выходящий из начала координат
(при / = О, S = 0). (Доказательство этого утверждения здесь провести
нельзя, так как для этого требуются некоторые сведения из
геометрии.)
То же самое можно наблюдать и при графическом^представлении
любой другой пропорциональной зависимости между двумя величинами.
Упражнения
1. Представить таблицей и графиком зависимость Q = 2k.
Указать, какие из следующих утверждений справедлива
2. Рост человека пропорционален его возрасту.
3. Площадь квадрата пропорциональна его стороне.
4. Длина окружности пропорциональна ее радиусу.,
5. Длина окружности пропорциональна ее Диаметру.
6. Длина солнечной тени, отбрасываемой деревом, пропорциональна высоте
дерева.
7. Площадь круга пропорциональна его радиусу.
8. Площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса
142 Школьная газета по математике Определения, ПРОПОРЦИИ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
Околоadmin
Comments