§ 6. Свойства логарифмов чисел

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 7
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ЛОГАРИФМЫ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Свойства логарифмов чисел

Свойства логарифмов чисел при основании, большем единицы:
1. Всякое положительное число имеет логарифм и притом только
один, Это свойство вытекает из свойства 6 показательной функции,
2. Отрицательные числа и число 0 не имеют логарифмов. Это свой*
ство вытекает из свойства 2 показательной функции.
3. Логарифм единицы равен нулю. Это вытекает из того, что при
любом положительном а а ° = 1.
4. Если N i^> N ^ то и loga Ni^>loga N& т.е. ббльшее число имеет
и бблц^ий логарифм. Это вытекает из свойства 3 показательной
функции.»
5. Логарифмы чисел, ббльших единицы, положительны; логарифмы
чисел, меньших единицы, отрицательны. Это вытекает из свойств 3 и 4.
.6 , Если число растет неограниченно, то и логарифм его растет
неограниченно. Если число, оставаясь положительным, стремится к
нулю, логарифм его становится отрицательным и сколь угодно большим
по абсолютной величине.

395 Свойства логарифмов чисел. Кабинет Математики.

Это свойство вытекает из свойства б показательной функции и
условно записывается так:
7. Логарифм основания равен единице.
Свойства логарифмов чисел при положительном основании, меньшем
единицы:
1. Всякое положительное число имеет логарифм и притом только
один.
2. Отрицательные числа и число 0 не имеют логарифмов.
3. Логарифм единицы равен нулю.
4. Ббльшее число имеет меньший логарифм.
5. Логарифмы чисел, ббльших единицы, отрицательны; логарифмы
чисел, меньших единицы, положительны.
6. loga + oo = — оо (условная запись); lo g a 0 = — j — o o (условная
запись).
7. Логарифм основания равен единице.

§ 7. Теоремы о логарифмах

Те о р ема 1. Логарифм произведения двух или нескольких
чисел равен сумме логарифмов сомножителей.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть N3, …, Nk — произвольные положительные
числа. По определению логарифма, имеем
Из равенств (1) и (2) имеем
logaNiNi . . .N k==\ogaNi -\-logaN b -\-…-\-lo g aNk. .
Те о р ема 2. Логарифм частного равен разности логарифмов
делимого и делителя.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть N\ и N% — произвольные положительные
числа. По определению логарифма,
log Ni

396 Свойства логарифмов чисел. Кабинет Математики.

I 7| ТЕОРЕМЫ -О ЛОГАРИФМАХ 897
Из равенств (3) и (4) имеем:
(4)
(3)
l0g« Ж •
Те о р ема 3. Логарифм степени равен произведению показа•
/яеля степени на логарифм основания.
До к а з а т е л ь с т в о . Пусть JV— произвольное положительное
число и а — любое вещественное число. По определению логарифма,
N — а 10*а Р .
Возведя обе части равенства в” степень а, получим
Т е о р ема 4. Логарифм корня равен логарифму подкоренного
выражения, деленному на показатель корня.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть N — произвольное положительное
число, п — натуральное. Тогда, используя теорему 3, получим
Теорема доказана.
Доказанные теоремы служат основой для вычислений при Помощи
логарифмов.
Пусть требуется найти произведение двух чисел Nx и N2. Пользуясь
графиком логарифмической функции или таблицей ее значений,
определяют log^Nx и logaN2. Далее, сложением логарифмов
определяют логарифм искомого произведения (теорема 1)
Остается по графику логарифмической функции или по таблице ее
значений по loga N1A/Pa найти число
Точно так же при делении, возведении в степень и извлечении
корня используются теоремы 2, 3, 4 соответственно.
N a — a*loeaN. (5)
С другой стороны, по определению логарифма,
Из равенств (5) и (б) имеем
logaA/“ = aloga№
(6)
loga n/ N = logaN n = -j- loga/V.
loga Nt -f- loga Ni = loga N ^ .
Упражнения
1. Доказать, что log$«‘loga& = 1.

397 Свойства логарифмов чисел. Кабинет Математики.

Околоadmin