ПРИБАВЛЕНИЕ С. ЗАДАЧА О КАСАНИИ ОКРУЖНОСТЕЙ.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
ЗАДАЧА О КАСАНИИ ОКРУЖНОСТЕЙ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
КАСАНИЕ ОКРУЖНОСТЕЙ.
309. Как было указано в п. 236, метод Жергонна построения окружности,
касательной к трём данным окружностям, применим не во всех
случаях: он не приводит ни к какому результату в том случае, когда
центры трёх окружностей лежат на одной прямой. Мы добавили при
этом, что это затруднение можно было бы устранить, представив решение
в такой форме, чтобы в него входили только свойства, не изменяющиеся
при любой инверсии. Это мы и собираемся сейчас сделать.
Пусть, как и ранее, А, В и С — три данные окружности. Возьмём
точку b, антигомологичную какой-либо точке а окружности А относительно
одного из центров подобия Sn окружностей А и В; а также
точку с, антигомологичную точке b относительно одного из центров
подобия Sn окружностей В и С. Окружность о, проходящая через
точки а, Ъ и с, пересекает три данные окружности в трёх новых
точках a’, b\ d и притом под одним и тем же углом (п. 227), так
что точки а! и Ьг антигомологичны относительно центра S12, а точки
V и сг ■—относительно центра S23; кроме того, точки а и с\ а также
а* и с будут попарно антигомологичны *) относительно одного
из центров подобия SiB окружйостей Л и С.
Заменяя точку а другой точкой ах окружйести Л, мы получим другую
окружность о1? аналогичную о. Точка S12 имеет одну и ту же
степень относительно окружностей о и (равную степени той инверсии,
которая преобразует окружность Л в окружность В); то же
самое относится и к точке S23. Следовательно, радикальная ось XY
окружностей о и будет осью подобия данных окружностей; отсюда
ясно, что центр подобия 513, о котором мы только что упоминали,
будет тем из центров подобия окружностей Л и С, который лежит
с центрами подобия S12, S23 на одной оси подобия2).
*) Что точка а антигомологична точке с\ а не точке с, легко доказать,
заметив, что (п. 227) углы, которые окружность <х образует с окружностями
Л и С соответственно в точках л и с , будут иметь одно и то же направление
(в то время как в двух антигомологичных точка!: эти углы долэкны-
иметь противоположные направления).
2) Это рассуждение, правда, предполагает, что точка Sn будет одна и
та же для обеих окружностей с и сь Но в противном случае, по крайней
мере одна из точек S18, которые соответствуют окружностям а и напри-
272 КАСАНИЕ ОКРУЖНОСТЕЙ.
310. Мы видим, таким образом, что существуют четыре семейства
окружностей о (соответственно четырём осям подобгя) ч что окружности
каждого из этих семейств имеют общую радикальную ось.
Обратно, любая окружность, имеющая общую радикальную ось с двумя
окружностями о одного семейства, сама принадлежит к этому семейству
(так как она сама себе соответствует, в двух инвбрсиях с полюсами S12
и $и); таким образом, это семейство определяйся заданием двух его
окружностей или оси XYи одной из его окружностей. За эту окружность
можно, вообще говоря, принять окружность а0, ортогональную
‘ к трём данным окружностям,
которая принадлежит ко
всем четырём семействам
(п. 227а).
Геометрически^ местом
центров окружностей каж-
догоиз этих семейств служит
перпендикуляр, опущенный
из радикального центра
трёх окружностей Л, В и С
на одну из их осей подобия.
311. Окружности, касательные
к данным окружностям,
принадлежат, очевидна,
к тем семействам, о которых
мы говорили; и обратно,
любая окружность о,
касательная к одной из дан- Y
ных окружностей, будет Черт. 237.
касаться и двух других.
Задача о касании окружностей сведена, таким образом, к следующей:
Найти окружность, имеющую с двумя данными окружностями
о и Oj общую радикальнуюосьи касающуюся данной окружности А
(черт. 237).
Решение этой последней задачи не представляет трудности: если
а —точка касания искомой окружности с окружностью Л, то окружность,
проходящая через эту точку и пересекающая окружности а и
под прямым углом, будет ортогональна и к искомой окружности, а следовательно,
и к окружности А; эти условия её определяют (п. 158,
построение 13). Иначе говоря, достаточно из радикального центра а
окружностей а, аг и А провести касательные к окружности А, чтобы
мер та, которая соответствует alt лежала бы на одной прямой с точками
S12 и 523; она имела бы, следовательно, относительно окружности at ту же
степень, как и относительно а, т. е. степень, равную степени инверсии,
преобразующей окружность А в окружность С. Следовательно, окружность
ал пересекала бы и окружности А п С в точках, попарно соответствующих
друг другу в этой инверсии.
273 КАСАНИЕ ОКРУЖНОСТЕЙ.
полученные таким образом точки дают решения поставленной задачи.
Как мы уже отмечали, одну из окружностей о и ал можно заменить
их радикальной осью ХУ, так что решение задачи о касании окружностей
принимает следующий вид:
Через одну из точек окружности’А и две точки, ей антигомо-
логичные, проводим окружность о. Общая хорда этой окружности
и окружности А пересекает ось подобия XY в точке а, через которую
достаточно провести касательные к окружности А, чтобы
получить точки касания этой окружности с искомыми окружностями.
311а. Если за окружность о принять окружность а0, имеющую своим
центром радикальный центр / трёх данных окружностей и пересекающую
их под прямым углом, то мы вернёмся к решению Жергонна.
Действительно, общие точки окружностей А и а0 будут точками прикосновения
касательных, проведённых из точки / к окружности А, так
что общая хорда обеих окружностей будет полярой точки / относительно
окружности А. Следовательно, точка а пересечения этой прямой
с прямой XY будет, действительно, иметь своей полярой прямую,
соединяющую точку / с полюсом прямой XY.
Отсюда становится понятным, почему это решение неприменимо,
когда центры трёх данных окружностей лежат на одной прямой. Дело
в том, что в этом случае и окружность о0 и прямая XY обращаются
в линию центров. Чтобы избежать затруднения, достаточно, как мы
сказали, воспользоваться окружностью о, отличной от о0.
Рассматриваемое решение имеет, по сравнению с решением Жергонна,
ещё и то преимущество, что оно применимо и в тех случаях,
когда одна или несколько из данных окружностей заменяются точками
или прямыми, и непосредственно даёт точки касания искомой окружности
с каждой из данных прямых; эти точки лежат на окружности,
имеющей своим центром точку пересечения данной прямой с осью подобия
XY и пересекающей под прямым углом, окружность о1: это
построение, очевидно, обобщает построение 14 (п. 159). Оно приложимо
и тогда* когда в числе данных нет ни одной окружности,
что не имеет места для решения Жергонна. Оно теряет силу только
в том случае, когда все три данные окружности обращаются в точки.
312. Из сказанного в п. 309 следует, что общая хорда окружностей
а и А представляет собой не что иное, как ту прямую, которая
в п. 309 была обозначена через аа\ где аг — точка, антигомоло-
гичная точке с.
В силу этого можно сказать, что указанное выше построение состоит:
. в определении точки Ъ, антигомологичной точке а (т. е. произвольной
точке окружности А) относительно центра подобия- S12, затем
точки с, антигомологичной точке b относительно центра подобия S23,
и точки а\ антигомологичной точке с относительно центра подобия 513;
в соединении а с а’;
274 КАСАНИЕ ОКРУЖНОСТЕЙ.
в повторении того же построения с заменой точки а другой
точкой ах окружности Л.
Точка пересечения обеих хорд аа! и ахах\ построенных таким
образом, будет той точкой а, из которой надо провести касательные
к окружности Л, чтобы получить точки касания искомых окружностей
с окружностью Л.
И с с л е д о в а н и е . Та форма, кЪторую мы сейчас придали нашему
— решению, позволяет (в противоположность первоначальному решению
Жергонна) очень просто исследовать число действительных окружностей,
отвечающих условию задачи.
Заметим прежде всего, что предыдущее построение оказывается
возможным или невозможным, смотря по тому, лежит ли точка а вне
окружности Л или внутри её. ‘ # •
Примем за произвольную точку ах точку, близкую к а. Очевидно,
что точка а будет лежать внутри окружности Л, если малые дугиш^
и cia{ будут иметь одно и то же направление, и Бне её, если эти
дуги будут иметь противоположное направление.
Мы должны таким образом, исследовать, перемещается ли точка
а! при перемещении точки а в одном с ней направлении или в противоположном.
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим сначала, в каком направлении
перемещается при этом точка Ь.
Так как точка, гомотетичная точке а относительно центра подобия
Sn, движется по окружности Л, очевидно, в том же направлении,
как точка а по окружности Л, то непосредственно очевидно (п. 223),
что точка b движется в том же направлении, как и точка а, если
центр подобия Sn лежит внутри окружности В, и в противоположном
направлении, если он лежит вне окружности В.
Условимся называть центр подобия Sn двух окружностей А и В
положительным, если он лежит вне этих окружностей, и отрицательным,
если он лежит внутри их; другими словами, центр подобия
считается положительным или отрицательным, смотря по тому, проходят
ли через него действительные общие касательные или нет.
Если две окружности расположены одна вне другой, то их оба
центра подобия положительны. Если они пересекаются, то внешний
центр подобия будет положительным, а внутренний — отрицательным.
Если одна окружность лежит внутри другой, то оба центра родобия
отрицательны.
При этом условии относительно знаков, направления движения точек
а и Ъ будут одинаковы или противоположны, в зависимости от
того, будет ли центр подобия отрицательным или положительным.
Точно так же точка с перемещается по окружности С в том же
направлении, как точка b по окружности В, или в противоположном,
смотря по тому, будет ли центр подобия S23 отрицательным или положительным;
точка аг перемещается в том же направлении, как с, или
в противоположном, смотря по тому, будет ли центр подобия Su
отрицательным или положительным.
275 КАСАНИЕ ОКРУЖНОСТЕЙ.
Сопоставляя эти замечания с тем, что было сказано выше, мы видим,
что точка л лежит вне окружности Л, другими словами, что
имеются две действительные точки касания, если среди центров
подобия, расположенных на рассматриваемой оси подобия XY,
положительных будет один или три. «
Чтобы получить общее число действительных окружностей, достаточно
применить это рассуждение последовательно к каждой из
четырёх групп центров подобия, лежащих на одной прямой.
Мы будем в дальнейшем обозначать цифрой 0 группу трёх внешних
центров подобия, цифрой 1 — группу, состоящую из внешнего
центра подобия окружностей В и С и внутренних центров подобия
окружностей А и В и окружностей Л и С; цифрами 2 и 3—аналогичные
группы центров подобия, получаемые заменой окружности
А через В или через С.
312а. Принимая теперь во внимание взаимное расположение данных
окружностей, мы замечаем, что (если исключить из рассмотрения
случай, когда две из данных окружностей касаются друг друга)1)
имеется одиннадцать различных возможностей 2); эти возможные
случаи обозначены на чертеже 239 цифрами от I до XI. * —
В каждом из этих случаев предыдущие рассуждения непосредственно
приводят к-результату. Например, в случае I все центры подобия
положительны, так что имеется восемь решений, в то время как
в случае V имеется только четыре решения, так как оба центра подобия
окружностей А и В, г также оба центра подобия окружностей А и
С отрицательны, и потому приходится пользоваться положительным
центром подобия окружностей В и С, т. е. их внешним центром подобия.
Таким образом, мы без затруднения приходим к следующей таблице,
в которой для каждого из одиннадцати случаев указаны положительные
и отрицательные центры подобия (буквы 5 обозначают внешние,
*) Случаи касания должны рассматриваться как предельные для тех случаев
пересечения или непересечения окружностей, по отношению к которым
данный случай касания является промежуточным. Если две из данных
окружностей касаются одна другой, то два из решений
задачи сливаются в одно.
2) В каждом из одиннадцати случаев, изображённых
на чертеже 239, можно переставить между
собой буквы Л, В и С. Так как различные рас*
положения, получаемые в каждом случае такого рода
перестановками, соответствуют одному и тому
же числу решений, то мы сохранили на чертеже
лишь по одной перестановке 0укв для каждого из
одиннадцати случаев.
Черт. 238. в случае XI возможны и другие расположения
окружностей (черт. 23В): точки пересечения окружностей
Л и В могут лежать обе внутри или обе вне окружности С (в то
время как на чертеже 239 одна точка лежит вне окружности, другая внутри
её). Однако это ничего не меняет в наших рассуждениях по поводу
исследуемой задачи. Если рассматривать другие задачи, например задачу
об окружности, ортогональной к окружностям Л, В и С, то это различие
может оказаться существенным.
276 КАСАНИЕ ОКРУЖНОСТЕЙ.
буквы S’— внутренние центры подобия), число решений и те группы
центров подобия (обозначенные цифрами 0, 1, 2, 3 в п. 312), которые
дают эти решения.
Заметим, что число подлежащих исследованию возможностей
легко было бы значительно уменьшить, приняв во внимание, что
,случаи I и II приводятся один к другому с помощью инверсии; то’
же самое относится к случаям III и IV, к случаям V, VI, VII, VIII
и к случаям IX и X.
277 КАСАНИЕ ОКРУЖНОСТЕЙ.
Околоadmin
