дома » МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ » ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ

ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ


А. Б. Василевский
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
9—11 КЛАССЫ КНИГА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

Задание 2. ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ

Скачать бесплатно в формате PDF с хорошим качеством: А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ «Задание 1,2».

Смотреть онлайн:

Текст для быстрого ознакомления . Возможны неточности по формулам.  Рекомендуем скачать книгу выше.

Задание 2. ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ

При решении задач на делимость чисел часто находят
применение формуле:
an_ bn = ^ a _ b) ( ап -1 + ап-2 Ь +
+ an-3b2 + … + b n~{), (1)
где п — натуральное число;
а
п + Ь п = (а + Ь) (а п~ л — а п~ 2Ь +… +
+ ( _ 1 у-‘Ь п -‘\ (2)
где п = 2k + 1, k — любое натуральное число.
Для того чтобы убедиться в справедливости
формул (1) и (2), достаточно перемножить выражения,
стоящие в скобках.
З а д а ч а 1. Докажите, что число \7 п — 1 \ п делится
на 6 при любом натуральном значении п.
Р е ш е н и е . По формуле (1)
17″— 11″ = (17— 11).(17л-г’+ 17п-2 • 11 + . . . +
+ 1Г-1).
Утверждение задачи доказано.
29

———-

З а д а ч а 2. Доказать, что 2 • 7″ + 1 делится на 3 при
любом натуральном п.
Так как 2 • 7″ + 1 = 2(7″ — 1) + 3 и делимость
7″ — 1 на 3 следует из формулы (1), то утверждение
задачи доказано.
З а д а ч а 3. Доказать, что 32″ + 1 + 2″ + 2 делится на
7 при любом натуральном значении п.
Р е ш е н и е . Очевидно,
32„ +1 + 2, + 2 = 9„ . з + 2
п. 4 = 3(9″ — 2″) +
+ 3 • 2я + 4 . 2″ = 3(9″ — 2″) + 7 • 2″.
Число 9″ —2″ делится на 7 в силу формулы (1).
Число 7 • 2″ также делится на 7. Задача решена.
Математическая индукция — метод доказательства, основанный
на следующем принципе:
1) Некоторое свойство X верно при k — \ .
2) Из предположения, что свойством X обладает какое-либо
натуральное число /г^1, следует, что этим свойством обладает
число k 1.
Тогда свойство X имеет всякое натуральное число.
З а д а ч а 4. Доказать, что число 8″ + 6 кратно 7
при любом целом 1.
Р е ш е н и е . При п= 1 утверждение задачи верно.
Допустим, что оно верно при n = k т. е.
8* + 6 = 7m, (1)
где т — натуральное число.
Проверим теперь, что утверждение задачи верно и
при ti = k + 1, т. е. верно
8* + ‘ +6 = 7/, (2)
где t — натуральное число.
Из равенства (1) получаем 8 k = 7m — 6. Поэтому
8* + 1 + 6 = 8 — 8 * + 6 =
= 8(7m — 6) + 6 = 7 • 8m — 42 — 7(8m — 6),
т. е. t = 8m — 6.
Таким образом, t — натуральное число, и, следовательно,
в силу равенства (2) утверждение задачи доказано.
З а д а ч а 5. Доказать, что при любом натуральном
п выражение 32″ + 2+ 26″+1 делится на 11.
Р е ш е н и е . При п= 1 утверждение задачи верно.
Допустим, что это утверждение верно при п = k(k > 1),
т. е.
32& + 2 _|_ 2+1 = l l m j ( ! )
где m — натуральное число.
30

———

Докажем, что утверждение задачи верно и при
п = к + 1, т. е.
32(А+1)+2+2#*+1Н.»= П р’ (2)
где р — натуральное число.
Из равенства (1) имеем
3 2 k + 2= Пт — 2“+| (3)
С учетом равенства (3) сумма
^2(6 + 1) + 2 _|_ 2б)& + 1)+ 1 __ ^2 в ^2(6 -f 1) _|_ 0+ 1 _
= 32(11 т — 2 6 k + l) + 26(* + ,)+l = З2 • 1 lm — З2 • 2 X
X 26* + 27 • 2“ = З2 • 11т + 26*(27 — 2 X 32) = З2-11т +
+ 26*- 110= 11(9т+ 10-2м).
Итак, доказана справедливость равенства (2):
р = 9т + 10-2“
З а д а ч а 6. Могут ли числа я2 + Зп + 39 и п 2 + п +
+ 37 (п — натуральное число) одновременно делиться
на 49?
П е р в о е р е ш е н и е . Если при некотором значении
п выражения п 2 + Зп + 39 и /г + п + 37 делятся на
49, то на 49 должна делиться и их разность:
(.п 2 + Зп + 39) — {п 2 + п + 37) = 2(п + 1).
Выражение 2(ti + 1) делится на 49, если п + 1 = 49&
(k — натуральное число). Отсюда п = 49к— 1.
Подставив я = 49/г—1 в выражение п 2 + Зп + 39,
получаем
(49/г- I)2 + 3(49& — I) + 39 =
= 492Аг — 2 • 496 + 3 • 49/г + 37.
Последнее выражение на 49 не делится. Следовательно,
данные выражения одновременно делиться на 49 не
могут.
В т о р о е р е ш е н и е . Так как п 2 + Зп + 39 =
= (п + 5) • (п — 2) + 49, то п 2 + Зп + 39 делится на 49 в
том и только в том случае, когда произведение
(п + 5) • (п — 2) делится на 49. Но оба множителя в
этом произведении отличаются на 7, и поэтому либо
одновременно делятся на 7, либо одновременно не делятся
на 7. Первый случай имеет место при п = 7k + 2.
Аналогично получаем, что выражение
п 2 + п + 37 = (п + 4). (п — 3) + 49
делится на 49 при п — 7& + 3, и, следовательно, дан31

31

———-

ные в условии задачи выражения одновременно делиться
на 49 не могут.
З а д а ч а 7. Рассматриваются всевозможные семизначные
числа /(, записанные цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
расположенными в произвольном порядке. Существуют
ли среди этих чисел два таких числа М и N, что М делится
на /V?
Р е ш е н и е . Во-первых, сумма цифр числа К равна
28. Поэтому М и N не делятся на 3 и 6.
Во-вторых, 7654321 является наибольшим из чисел
К , а 1234567 — наименьшим. Так как 7654321:
: 1234567 ^ 6,3, то ясно, что при делении М на N может
получиться только 2, 4 или 5.
Если число М делится на 5, то оно должно оканчиваться
цифрой 5. Ясно, что первой цифрой числа М может
быть только 6 или 7. Рассмотрим несколько примеров
(вычисления ведутся при помощи микрокалькулятора)
:
7643215:5 = 1528643, 7436125:5= 1487225,
7432165:5 = 1486433, 6374125:5 = 1274825,
6142375:5= 1228475, 6137245:5= 1227449.
Замечаем, что все частные содержат цифру 8 или 9.
Но почему? Да потому, что при делении на 5 всегда
приходится делить число 41, 42, 43 или 45 на 5.
Таким образом, осталось выяснить, существует ли
равенство 2N = М или 4N = М.
Рассмотрим несколько примеров:
3765421 • 2 = 7530842, 3765412 • 2 = 7530824,
2563714 • 2 = 5127428, 1654372 • 2 = 3308744,
2134567 • 2 = 4269134, 1234765 • 2 = 2469530.
После рассмотрения этих примеров становится понятным,
что при умножении любого числа N на 2 получаем
число с цифрой 8, если после 4 в N стоит цифра 1, 2
или 3. Если в N после цифры 4 стоит цифра 5, 6 или 7,
то при его умножении на 2 получаем число с цифрой 9.
Осталось выяснить, существует ли равенство
4А7 = Л1. Рассмотрим несколько примеров:
1765432
1273456
1354627
124.7653
1275643
4 = 7061728, 1276543
4 = 5093824, 1374625
4 = 5418508, 1257346
4 =4990612, 123J654
4 = 5102572, 1526743
4 = 5106172,
4 = 5498500,
4 = 7029384,
4 = 4950616,
4 = 6106972,
32

———-

1567234 4 = 6268936, 1742356 4 = 6969424,
1723654 4 = 6893616, 1243576 4 = 4974304,
1245763 4 =4983052, 1724653 4 = 6898612,
1725364 4 = 6901456, 1254763 4 = 5019052,
1256734 4 = 5026936, 1263754 4 = 5055016,
1526473
1274536
44
= 6105892,
= 5098144.
1726543 4 = 6906172,
Во-первых, ясно, что N может начинаться только
цифрой 1 и не может оканчиваться цифрами 2, 7 или 5.
Во-вторых, М везде содержит цифру 0, 8 или 9.
И это зависит от того, какие две цифры стоят в N
после 2:
34, 35, 36, 37, 43, 45, 46, 47, 53, 54,
56, 57, 63, 64, 65, 67, 73, 74, 75, 76.
Таким образом, доказано, что задача не имеет решения.
З а д а ч а 8. Может ли число 5″ — 1 делиться на
4 п — I, если п — натуральное число?
Р е ш е н и е . Обозначим М(п) = 5п — I, К(п) = 4 п —
— 1. Для поиска гипотезы составим таблицу значений
М(п) и К(п):
п М ( п ) К ( п )
I 4 3
2 24 15
3 124 63
4 624 255
5 30 124 1 023
6 150 624 4 095
7 753 124 16 383
8 3 765 624 65 535
9 18 818 124 262 143
10 94 090 624 1 048 575
11 370 045 124 4 194 303
12 1 852 265 624 16 777215
13 9 261 328 124 67 108 863
14 46 306 640 624 268 435 455
15 231533 203 124 1073 741823
Что дает рассмотрение таблицы?
1) Число М оканчивается цифрой 4.
2) Число К оканчивается цифрой 3 или 5. Причем,
если п — нечетное, то К оканчивается цифрой 3,
а если п — четное, то К оканчивается цифрой 5.
Следовательно, сумма цифр числа К делится на 3,
2 А. Б. Василевский

33

———

Потому что
4п — 1п = (4 — 1) • Р(п)
где Р(п) — многочлен.
Теперь ясно, что число М не делится на число К ,
если п — четное. Суммы цифр числа М (при нечетных /?)
дают основание предположить, что число М при всех
нечетных п не кратно 3. Но как это доказать?
Итак, как доказать, что число Q = 5 2 к +1 — 1
(.к — натуральное число) не делится на 3?
Представить Q так:
Q = ( 6- 1)2*+ 1 — 1.
Если к = 1, то Q = (6 — 1 )3 — 1 = (63 — 3 • 62 • 1 +
+ 3- 6- I2- I3)- 1.
Если к = 2, то Q = (6 — I)5 — 1 = (6 — 1)3(6 — I)2 —t
— 1 = (63 — 3 — 62 • 1-ЬЗ . 6 . 1 — 1). (62 — 2 . 6 . 1 +1) — 1.
Если к = 3, то Q = (6 — I)7 — 1 = (6 — 1 )3(6 —1 )4 —
— 1 — (63 — 3 • 62 • 1 3 • 6 — 1 — 1) • (62 — 2 • 6 • 1 +
+ 1)2-1.
Вообще,1
Q = ( 6- \ f k + ] — 1 = (63 — 3 • 62 — 1 + 3 — 6 . 1 — 1) X
X (62 — 2 • 6 • 1 + I)'»1 — 1.
Теперь ясно, что Q можно представить в следующем
виде:
Q = (6L- 1)- 1 =61-2.
Отсюда понятно, что Q не делится на 3.
Таким образом, ни при каком натуральном значении
п число Ъ п — 1 не делится на число 4П — 1.
Для решения этой задачи можно применить и метод математической
индукции.
З а д а ч а 9. Восстановить числа (х обозначают
цифры от 0 до 9):
(1) ^ 7 ^ ^ ^ ^
(2)
(3) * * 7
(4) * * * * * * *
(5) *7* * * *
(6) *7****
,7) * * * * * * *
(3) * * * *у * *
(9) _ * * * * * *
* * * * * *
(Ю) 0

————

которых записаны числа, получаемые в процессе
деления.
Делитель — шестизначное число. Третья цифра
частного — 7. При умножении шестизначного числа на
7 получили шестизначное число (6-я строчка). Но это
возможно только в том случае, если делитель начинается
цифрой 1. Итак, делитель имеет вид: 1**7*.
Для упрощения рассуждений делитель и частное
запишем соответственно в виде: 1АБВ7Г, ДЕ7ЖК.
Далее, шестизначные числа записаны во 2-й, 6-й,
10-й строчках, семизначные — в 4-й и 8-й строчках.
Поэтому Е-8 или Е-9, Ж-8 или Ж-9, 1 ^ А ^ 4.
Если при умножении числа 1АБВ7Г на 8 или 9 получается
семизначное число, то оно обязательно начинается
цифрой 1.
Допустим А = 4. Тогда число из 6-й строчки начиналось
бы цифрой 9. Но этого не может быть, так как при
вычитании из шестизначного числа (строчка 5) шестизначного
числа (строчка 6) получаем шестизначное
число (строчка 7). Итак, А ф4. По этой же причине
А Ф 3. Следовательно, А = 1 или К —2.
Допустим, что А = 1. Тогда на основании 6-й строчки
получаем, что Б=1 (Б не может быть равно нулю
в силу 4-й и 8-й строчек; Б не может быть больше 1 в силу
6-й строчки).
Итак, допустим, что делитель имеет вид 111В7Г.
В силу 4-й и 8-й строчек В Ф 0. С другой стороны,
В«<4 (в силу 6-й строчки). Если делитель имеет вид
11117Г, 11127Г или 11137Г, то при любом значении Г
в 8-й строчке третья цифра справа не будет равна 7.
Следовательно, А Ф 1 и В >> 3.
Итак, делитель имеет вид 12БВ7Г.
Все, до сих пор установленное, внесем в данный
пример: I 12БВ7Г
I ДЕ7ЖК
******
******
0
35

———

Теперь понятно, что первой цифрой 5-й строчки
является 9, а 7-я и 8-я строчки начинаются цифрами
1 и 0:
**7******* \ 12БВ7Г
***** 7 *
I * * * * * *
97 ****
87****
10*****
10**7**
******
******
ДЕ7ЖК
Так как 120-9 = 1080, 121 -9 = 1089, 122 — 9= 1098,
123 *9=1107, то в силу 8-й строчки третья цифра этой
строчки не может быть больше 2, если Ж = 9. Но
120-7 = 840, 121-7 = 847, 122-7 = 854.
Поэтому в силу 6-й строчки Жф9. Итак, Ж = 8.
Далее 123 — 7 = 861, 124 — 7 = 868, 125-7 = 875,
126 — 7 = 882. Отсюда и в силу 6-й строчки следует, что
Б = 4 или Б = 5. Но Б Ф 4, так как 1249-8 = 9992
(см. 8-ю строчку). Следовательно, Б = 5.
Сравнивая 3-ю и 4-ю строчки, получаем, что 3-я
строчка начинается с 1 (больше единицы первая цифра
3-й строчки не может быть еще и потому, что первая
цифра делителя 1). Кроме того, 125 — 8 = 1000, 126 — 8 =
= 1008. Поэтому третья цифра 8-й строчки 0. Тепепь-
имеем такую картину:
**7******* | 125В7Г
****** | ДЕ78К
I****7*
1 * * * * * *
97****
87****
1Q*****
100*7**
‘i’ *i» ‘f*
ф * :5с :}с $ *
о
36

————-

8771, 1254-7 = 8778, 1255-7 = 8785, 1256-7 = 8792,
1257•7 = 8799, 1258 • 7 = 8806.
Поэтому (см. 6-ю строчку) 1 ^ В ^ 7.
При умножении числа 125В7Г (при любом значении
Г) на 8 третья цифра справа (в 8-й строчке) будет
равна 7 только в том случае, если произведение В-8
оканчивается цифрой 2 (8В — число четное). Это
возможно, если В = 4 или В = 9. Но 1 ^ В ^ 7.
Итак, В = 4.
Так как 7*8 = 56, то Г • 9 < 40, т. е. Г ^ 4. Далее,
125470 • 7 = 878290 и 125474 • 7 = 878318. Поэтому
третья цифра слева в 6-й строчке 6, третья цифра слева
в 5-й строчке 9, тогда
******
1 * * * * 7 *
1 * * * * * *
_____ 979***
878***
101****
100*7**
1 *****
о
Из 9-й строчки следует, что К = 1.
Так как 125471 — 8= 1003768, 125474-8 = 1003792,
то при Г ^ 4 четвертая цифра слева в 7-й строчке 6
(6, а не 5, потому что 7 + 5=12). Теперь получаем
**7******* | 1254 Г
****** 1ДЕ781
1****7*
1 * * * * * *
_ 979***
878***
1016***
10037**
_ 12547*
12547*
0
12547Г
ДЕ78К
37

————-

цифра слева в б-й строчке не должна быть больше 3.
А это возможно, если 2 ^ Г ^ 4.
В 7-й строчке пятая цифра слева может быть равна
2 или 3. Но так как 125472-8=1003776, 125473-8 =
= 1003784, 125474-8= 1003792, то пятая цифра слева
в 7-й строчке может быть только 3 и четвертая цифра
в 6-й строчке 3. С учетом этого получаем:
**7*******
— ******
1 * * * * 7 *
1 ******
9799**
8783**
_ 10163**
10037**
12547*
12547*
0
Сравнивая 3, 4 и 5-ю строчки, получаем, что в 4-й
строчке вторая цифра справа может быть 8 или 7. Но
12547-9=112923 и 1 8 < 9 Г < 40. Поэтому Е Ф 9,
т. е. Е = 8. Но 12547-8=100376 и 16<8Г<32.
Поэтому Г = 2 или Г = 3, и, следовательно, получаем:
**7******* | 12547Г
****** | ДЕ781
1 * * * * 7
j * * * * * *
9799**
8783**
10163**
~10037**
_12547*
12547*
Сравнивая 3, 4 и 5-ю строчки, получаем, что в 4-й
строчке вторая цифра справа может быть 8 или 7.
Но 12547-9= 112923 и 18<9Г<40. Поэтому Е ф9,
т. е. Е = 8. Но 12547-8= 100376 и 16<8Г<32.
Поэтому Г = 2 или Г = 3, и, следовательно, получаем:
12547Г
ДЕ781
38

————

**7******* | 12547Г
****** ] Д8781
_ 110177*
10037**
9799**
8783**
_ 10163**
10037**
_ 12547*
12547*
0
Из первых трех строчек ясно, что в 3-й строчке
третья цифра слева 6 или 7. Непосредственной проверкой
убеждаемся, что это будет только в том случае, если
Д = 3 или Д = 5 соответственно.
Легко проверить, что Д Ф 3. Итак, Д = 5. Теперь
очевидно, что Г = 3.
Окончательно находим: при делении числа
7375428413 на 125473 получаем 58781.

Вернутся на Главную.
А. Б. Василевский
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
9—11 КЛАССЫ КНИГА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

Скачать полную книгу А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ в формате PDF.

Около

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*
*

Статистика


Яндекс.Метрика




Свежие комментарии