Смешанные задачи часть 5 Ж. Адмар

Смешанные задачи часть 5 Ж. Адмар

стр 551-580

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

Ниже текст просто для быстрого ознакомления. Скачайте книгу по ссылке выше.

дут ийеть в данном случае (в силу нечётности числа вершин) одинаковое
направление.
Следовательно, будут равны и дуги PQ и P’Q’, а значит и хорды
PQ и P’Q. Остаётся провести через точку А хорду, равную
хорде PQ’, чтобы получить сторону PQ искомого многоугольника.
V. Вписать в окружность многоугольник с данным числом
сторон, у которого некоторое число последовательных сторон (в частности,
все стороны) проходят через данные точки, а остальные
параллельны соответственно данным прямым.
В том случае, когда только одна сторона должна проходить через
данную точку, задача уже решена (см. выше, III и IV). Пусть требуется
построить, например,шестиугольник
PMQUVW (черт.
639), у которого стороны РМ
и MQ проходят соответственно
через данные точки А и В, а на
каждую из остальных сторон
наложено определённое условие
— проходить через данную
точку или быть параллельной
данной прямой. Поступая таким
же образом, как при решении
задачи I, сводим нашу задачу к
следующей: вписать шестиугольник
PRQUVW, у которого Черт. 642.
сторона PR параллельна $В,
сторона RQ проходит через данную точку S, а остальные стороны
подчинены первоначально данным условиям. Таким образом, требование,
чтобы две последовательные стороны искомого многоугольника
проходили через данные точки, заменяется требованием, чтобы одна
из сторон некоторого вспомогательного многоугольника (с тем же
числом сторон) была параллельна данной прямой, а другая проходила
через данную точку. При этом требования, наложенные на остальные
стороны, не изменяются.
Так как условие проходить через данную точку наложено на
последовательные стороны искомого многоугольника, то, повторяя
эту замену несколько раз, сведём задачу V к задаче III или IV.
VI. Переходим, наконец, к наиболее общей задаче рассматриваемого
типа:
Вписать в окружность многоугольник с данным числом сторон,
на каждую из сторон которого наложено определённое условие—
проходить через данную точку или быть параллельной данной
прямой. (Обобщение по сравнению с задачей V, состоит в том, что
стороны, на которые наложены условия проходить через данные точки,
не являются обязательно последовательными.)
Пусть требуется построить, например, шестиугольник PQRSTU
(черт. 642), у которого сторона PQ должна быть параллельна данной

стр. 551

прямой KI-, а сторона QR— проходить через данную точку А. Проведём
через точку R хорду RQlt параллельную KL, и обозначим
через At точку пересечения прямой PQv c прямой, проходящей через
точку А и параллельной KL. Так как четырёхугольник PQRQt, а следовательно,
и является равнобедренной трапецией, то точки
А и Ai равноудалены от центра О данной окружности. Это даёт возможность
построить точку Аг. не зная многоугольника PQRSTU
(прямая AAt параллельна KL и ОЛ = СМ1). Для построения многоугольника
PQRSTU, у которого сторона PQ параллельна KL, а сторона
QR проходит через данную точку А, достаточно построить
многоугольник PQiRSTU, у которого сторона PQi проходит через
данную точку А1г а сторона QtR параллельна KL.
Повторяя это рассуждение несколько раз, сведём задачу VI к задаче
V.
Пр име ч а ние . Как искомый многоугольник, так и вспомогательные
многоугольники, о которых идёт речь в настоящей задаче, могут оказаться
и несобственными, т. е. их стороны могут иметь точки пересечения, отличные
от вершин (ср. п. 21). Так, например, вспомогательный многоугольник
PQiRSTU на чертеже 642 — несобственный (его стороны QiR и UP пересекаются).
3 9 2 , Применим к решению этой задачи метод взаимных поляр
(пп. 206 и след.). Если вс ршины искомого треугольника лежат на дан-
тельной в точке Т с касательными АВ и А’В’. Очевидно, IA — IT — 1В
и КА’ = КТ = КВ’. Кроме того, IT— КТ, так как линия центров
есть ось симметрии фигуры.
Отсюда следует, что IK— АВ = const. Геометрическое место Точек
К есть окружность с центром / и радиусом АВ. Окружности,
построенные на отрезках А’В’ как на диаметрах, имеют постоянный
радиус КА’ — КВ’ = 1А = 1В = -^АВ‘, их центры лежат на окружности
с центром/и радиусом IK — АВ- Следовательно, все эти окружности
касаются определённой окружности и даже двух окружностей—
с центром в точке / и радиусами, соответственно равными -у АВ

552

3 9 4 . 1°, Пусть Р — точка пересечения касательных в точках А
и В к -ланной окружности О (черт. 644). Так как прямая РА есть
радикальная ось данной окружности О и окружности С, а прямая
РВ — радикальная ось окружностей О и Си то точка Р есть радикальный
центр окружностей О, С и Ct. Поэтому прямая РМ касается
в точке М окружностей С и Су и РА = РВ — РМ. Геометрическое
место точек М есть окружность с центром Р и радиусом РА.
. 2°. Так как данная окружность О касается в точках А и В окружностей
С и Ci, то центр подобия N окружностей С и Ci лежит на
прямой АВ. Кроме того, линия центров окружностей С и Ct касается
в точке М окружности Р, и потому точка N лежит вне окружности Р,
а следовательно, и вне данной окружности О.
Таким образом, геометрическое место точек N есть часть прямой
АВ, внешняя относительно данной окружности (сравнить еще 3°).
3°. Обратно, каждой точке N прямой АВ, которая лежит вне
данной окружности, соответствуют две точки М и М’—-точки прикосновения
касательных, проведённых из точки N к окружности Р,
и две пары окружностей С, С4 и С’, С’. Центры последних лежат
на пересечении прямых МЫи M’N с ОА и ОВ.
4°. Окружность, описанная около треугольника NMM’, имеет отрезок
NP своим диаметром (так как углы NMP и NM’P— прямые);
ее центром ш служит середина отрезка NP. Но геометрическое место
точек N есть часть прямой АВ, состоящая из обоих продолжений
отрезка АВ, а точка Р неподвижна. Следовательно, геометрическое
место точек ш есть совокупность обоих продолжений отрезка А’В’,
где А’ и В’ — середины отрезков РА и РВ (черт. 645).
5°. Центр / окружности, вписанной в треугольник NMM (черт. 646),
лежит на биссектрисе AJP угла MNM’ и на биссектрисе угла NMM’.
При этом Z PMI— 90° — Z NM I= 90° — Z ‘ШМ’= Z РМ, и,
следовательно, РМ = Р1. Таким образом, все точки /лежат на окружности
Р. Но так как продолжение отрезка PI за точку I проходит

553

внешняя относительно окружности Р, то геометрическое место точек I
есть совокупность двух дуг АС и BD окружности Р (черт. 645).
6°. Так как точка Долежит на прямой АВ, то поляра ММ’ точки N
относительно окружности Р проходит (п. 205) через полюс О прямой
AS относительно той же окружности (черт. 646). Так как, кроме того,
точки О и Р неподвижны, то основание К высотыNK треугольника
NMM’ лежит_ на окружности 2, имеющей отрезок ОР своим диаметром.
Эта окружность проходит, очевидно, через точки Ап В. Геометрическое
место точек К есть дуга’ АРВ окружности 2 (окружность 2
не показана на чертеже).
Так кай точка Р лежит на окружности, описан-ной около треугольника
NMM’, и прямая NP есть одна из его высот, то высоты этого
треугольника пересекаются в точке //^симметричной с Р относительно
прямой ММ’ (упр; 70), т. е. относительно точки К. Поэтому Р Н = 2РК>
и геометрическое место точек Н есть дуга окружности 2 ‘, гомотетичной
окружности 2 относительно точки Р, причём, коэффициент подобия
равен 2 (окружность 2 ‘ не показана на чертеже).
7°. Остаётся ещё показать, что точки пересечения геометрического
места точек со с геометрическим местом точек 1, т. е. точки Е и F
(черт. 645), в которых окружность Р пересекает прямую А’В’, принадлежат
и окружности 2′.
С этой целью рассмотрим те положения точки N, для которых
треугольник NMM’ будет равносторонним; таких точек будет две.
Для этих положений точки N точка о> совпадает с соответствующей
точкой I, а потому точки со и / совпадают обе либо с Е, либо^с F;
но при этом и точка пересечения Н высот треугольника MWTW’Совпадает
с той же точкой (в равностороннем треугольнике точки <о\ /
и // совпадают). Следовательно, окружность 2 ‘ проходит через точки
Е и F.

554

3 9 5 . Пусть 5 — внешний центр подобия окружностей С и С
(черт. 647) и А», А’ — вторые точки пересечения прямой SA с окружно-
стями.СиС’. Треугольники А”РА и АРА’ гомотетичны относительно
центра подобия 5. Далее, /_РАпА = /_АРР, так как оба эти угла
измеряются половиной дуги АР окружности С. Аналогично /_ Р А’ А—
= /_АРР. Следовательно, треугольники А»РА, РАР и АРА’ подобны.
Центры О, О’ и 2 окружностей С, С’ и АРР будут соответственными
точками фигур А’РА, РАР и АР’А’, и потому четырёхугольники
А’РАО, РАР 2 и АРА’О’ также будут подобными.
Из подобия этих четырёхугольников имеем: /_O A P = /_ОРА
и £ (У А Р = /.QPA, откуда A_PQP= 360°— /_&РА — /_РАР^~
— 1& РА -=Ъ№ °~ LO’A P — L P A P — LO A P = /_ОА(У, т. е.
угол, под которым отрезок РР’ виден из т;очки 2 , равен углу
между окружностями С и С’, точнее говоря, между радиусами этих
окружностей, проведёнными в точку их пересечения.
Черт. 647.
Обозначая через г, f и р радиусы окружностей С, С’ и РАР,
мы получим из подобия тех Же фигур г : р = АР: А Р и р :г ’ — АР:АР,
откуда г ;р = р :г ‘ и г :г ’ = А Р : АР*. Таким образом, р есть среднее
пропорциональное между г и г’, и A P :A P ‘= y rr : }/г’.
Если В — вторая точка пересечения окружностей С и С, a Q и
O’-— точки прикосновения второй общей касательной, то из предыдущего
следует, что радиус каждой из окружностей АРР, BPPpAQQ’
и BQQ’ есть среднее пропорциональное между г и г’. Таким образом,
получается предложение, указанное в упражнении 262, 3°.
3 9 6 . 1°. Пусть окружности А а В пересекаются в двух точках.
Чтобы с помощью инверсии их можно было преобразовать в окружности
А’ и В’, образующие, фигуру, равную той, которую о’бразуют
окружности С и D, необходимо, чтобы окружности С и D также
пересекались в двух точках и чтобы угол между окружностями А
и В равнялся углу между С и D.

555

Покажем теперь, что эти условия и достаточны. Инверсия S c полюсом
в одной из точек пересечения Р окружностей Л и В и произвольной
степенью преобразует их в некоторые две прямые-.а я Ь
(черт. 648), угол между которыми равен углу между окружностями
А и В. Точно так же инверсия Т с полюсом в одной из точек пересечения
Q окружностей С и D и произвольной степенью преобразует
их в некоторые две прямые e n d , угол между которыми равен углу
между С и D, т. е. углу между окружностями А к В или между
прямыми а и Ь. Перемещая фигуру, состоящую из окружностей С
и D, можно достичь того, что прямые e n d будут совпадать с а и Ъ,
как на чертеже 648. При этом окружности С и D будут получаться
из А и В с помощью последовательности двух инверсий: первая инверсия
5 с полюсом Р преобразует окружности А и В в прямые а
и Ь, вторая Т с полюсом Q преобразует прямые а и Ъ в окружности
С и D. На степени инверсий S к Т (остававшиеся до сих пор
совершенно произвольными) мы наложим теперь только одно ограничение:
точки Р и Q не должны совпадать между собой.
Так как полюсы Р и Q инверсий S и Т не совпадают, то последовательность
этих двух инверсий можно заменить (упр. 251, 2°)
одной инверсией S’ и одной симметрией относительно прямой. Следовательно,
инверсия S’ преобразует пару окружностей А и В в пару
окружностей, симметричных с С и D относительно некоторой прямой
и потому образующих фигуру, равную фигуре (С, D). Равенство
углов между окружностями А и В и между окружностями С и D
оказывается, таким образом, и достаточным.
Итак, можно сказать, что угол между двумя пересекающимися Окружностями
есть единственный независимый инвариант пары окружностей относительно
группы инверсий (ср. пп. 292 и 294).
Так как угол между пересекающимися окружностями С и С равен
(в обозначениях задачи 395 и черт. 647) углу PQP, то этот’угол
определяется отношением отрезка Р Р общей касательной к отрезку
PQ — среднему пропорциональному их радиусов (см. решение задачи

556

Если бы окружности А и В не пересекались, а касались одна
другой, то мы могли бы повторить предыдущие рассуждения. При
этом две пары пересекающихся прямых (а, Ъ) и (с, d) заменились бы
двумя парами параллельных прямых. Выбрав произвольно степень
инверсии 5, преобразующей окружности А и В в прямые а и Ь, мы
можем подобрать степень инверсии Т, преобразующей окружности
С и О в прямые с и d, так, чтобы расстояние между e n d было
равно расстоянию между а и Ь, и затем совместить обе пары прямых.
Этот случай можно рассматривать как частный случай предыдущего,
когда угол между окружностями равен нулю (или 180°).
2°. Пусть теперь окружности А и В, не имеющие общих точек,
можно преобразовать с помощью некоторой инверсии S в две окружности
А’ и В’ (также без общих точек), образующие фигуру, равную
той, которую образуют окружности С и D. Перемещая окружности
С и D, можно совместить их с окружностями А’ и В’. Итак, пусть
инверсия 5 преобразует пару окружностей (А, В) в пару окружностей
(С, £)).
Преобразуем окружности С и D с помощью инверсии Т с полюсом
в одной из их предельных точек в Две концентрические окружности
e n d (см. решение упр. 248). Так как окружности С и D имеют две
предельные точки, то можно выбрать полюс инверсии Т отличным от
полюса инверсии S. Последовательность инверсий S п Т преобразует
окружности А и В в две концентрические окружности с и d. Но эту
последовательность инверсий можно заменить одной инверсией S ‘ и симметрией
относительно некоторой прямой. Следовательно, инверсия 5 ‘
преобразует окружности А и В в две концентрические окружности,
равные окружностям с и с?, а инверсия Т— окружности С и D в концентрические
окружности с и d. Таким образом, указанное в тексте
условие необходимо для возможности преобразования пары окружностей
А, В в фигуру, равную той, которую образуют С и В .
Покажем теперь, что то же условие и достаточно. Если это уело-
‘ вие выполнено, то окружности А п В преобразуются с помощью некоторой
инверсии в концентрические окружности а и Ъ, а окружности
С в Р — в концентрические окружности e n d, причём радиусы окружностей
с; и d будут пропорциональны радиусам окружностей а и Ь.
Выбрав произвольно степень инверсии, преобразующей окружности
Л и В в окружности а и Ь, мы можем (в силу пропорциональности
радиусов окружностей а и Ь, с и d) подобрать степень инверсии,
преобразующей окружности С и D в окружности с и о?, так, что фигура,
состоящая из окружностей e n d , будет равна фигуре, состоящей
из окружностей а и Ь. Перемещая фигуру, состоящую из окружностей
С и D, можно достичь того, что пара окружностей (а, Ь)
будет совпадать с парой окружностей (с, d). Далее можно рассуждать,
как и в случае пересекающихся окружностей. Окружности-С и D
получаются из А и В с помощью последовательности двух инверсий.
Путём поворота фигуры (С, D) около общего центра окружностей
а и b можно избежать совпадения полюсов обеих инверсий. Эту по

557

следовательность двух инверсий можно заменить одной инверсией 5 ‘
и одной симметрией. Инверсия S’ преобразует фигуру (А, В ) в фигуру,
равную (С, D).
Итак, можно сказать, что единственным независимым инвариантом двух
непересекающихся окружностей относительно группы инверсий является отношение
радиусов тех концентрических окружностей, в которые данные
окружности можно преобразовать одной и той же инверсией.
Переходим далее к рассмотрению сложного отношения X четырёх
точек пересечения двух данных окружностей (или прямых) с ортогональной
к ним окружностью (или прямой). В силу задачи 273 это
сложное отношение сохраняет свою величину при инверсии.
Если даны две окружности и выбрана окружность, к ним ортогональная,
то значение X зависит от порядка, в котором рассматриваются точки
пересечения. Мы можем для определённости принять за первые две точки
точки пересечения ортогональной окружности с одной из данных окружностей,
за вторые — две точки её пересечения с другой данной окружностью.
Пользуясь результатом задачи 274, легко убедиться, что сложное отношение
X будет иметь при этом (в зависимости от выбранного порядка точек)
два значения, произведение которых равно единице. Мы можем поэтому
ограничиться тем значением, которое не превосходит единицы по абсолютной
величине ([ X [ ^ 1).
Начнём со случая двух пересекающихся прямых KL и MN
(черт. 649) и ортогональной к ним окружности KNLM. На основании
задачи 274 сложное отношение (KLMN), где точки К и L лег
жат на различных дугах MN, будет равно (по абсолютной величине
висит от выбора окружности, ортогональной к двум данным прямым,
и определяется, лишь углом между ними.
Так как любые две пересекающиеся окружности можно с помощью
инверсии преобразовать в две пересекающиеся прямые и сложное
отношение X не изменяется при инверсии, то и в случае двух пересекающихся
окружностей величина X не зависит от выбора окружности,
ортогональной к двум данным, и определяется углом между ними.
В случае двух концентрических окружностей (черт. 650) радиусов R
и r(R^>r) сложное отношение равно (по величине и по знаку) Х==

558

~ Т м * и Г ~ \ Я-^’г ) ИП0Т0МУ зависит лишь от отношения радиусов
обеих окружностей. Отсюда следует, что в случае двух непересекающихся
окружностей величина X не зависит от выбора окружности,
ортогональной к двум данным, и выражается через отношение радиусов
тех концентрических окружностей, в которые их можно
преобразовать с помощью инверсии.
Из всего сказанного до сих пор вытекает, что условие возможности
преобразования фигуры (А, В) в фигуру, равную (С, D),
состоит в равенстве значений X для обеих пар окружностей.
Далеевслучае двух концентрических окружностей имеем (черт. 650)
КО: MO = r : R. Так как мы видели выше, что (д — p y j = Х, то отсюда
следует, что КО: МО = (1 — j/T) : (1 -J- :|/Х). Но отношение
КО: МО можно рассматривать как слбжное отношение р четырёх точек
К, М, О и со (п. 199). Точки
О и оо преобразуются, если подвергнуть
концентрические окружности
какой-либо инверсии, в общие
точки всех окружностей, ортогональных
к обеим преобразованным
окружностям, т. е. в предельные
точки преобразованных окружностей.
Итак, если две окружности не имеют общих точек, то сложное отношение
[л двух из точек их пересечения с какой-либо окружностью
(или прямой), к ним ортогональной, и двух их предельных точек не
зависит от выбора ортогональной окружности. Со сложным отношением
X оно связано соотношением |л=(1 — >/Х) : (1 -f- |А).
_ — rf-’ — r 2 —г’-»
Переходим теперь к рассмотрению величин v = ——— и
— j— Рассматривая вместо окружности, ортогональной к двум данным,
у гг’
их линию центров (черт. 651), получим (независимо от того, имеют ли
данные окружности общие точки или нет): X = (KLMN) = —
d ~f-г — vr . rf + r — f — r ‘ __ds — (r— r ‘ f ____d* — r* — r’i -\-2rr[ _ _ v-f_2
d — r — r’ ‘ d — r 4 — r ’ d2 — (r 4 — r ‘f da — r 2 — r 12 — 2rr’ v — 2 ’ rs_ r,2
где v = — — — . ,
Наконец, если две данные окружности имеют общую касательную,
скажем внешнюю, длины t, то B = d ‘2— (г— г’)2= с ?2— г2— r’a-f-2rr’,
откуда t : \frf = j/v -}- 2.
Таким образом, величины p., v и t : У гг’ выражаются определённым
образом через X, и потому в предыдущемусловии возможности

559

преобразования фигуры (А, В) в фигуру (С, D) вместо «к можно
рассматривать любую из этих величин.
3 9 7 . 1°. Выбрав на прямой D произвольную точку Я (черт. 652),
строим окружность РАА’ и в точке Р— касательную к этой окружности.
Обозначим через Р и М точки пересечения этой касательной с прямыми
П и АА’. Имеем:
МА • МА’ — МР3 ( 1)
и МР— М Р (так как прямые D и ГУ равноудалены от А А’), откуда
МА • М А ‘=М Р 3. Последнее равенство показывает, что прямая МР
(т. е. Р Р ) касается и окружности РАА1,
2°. Пусть Я и Я ‘— основания перпендикуляров, опущенных из
точек А и А’ на прямую РР, М’ — основание перпендикуляра из
точки М на прямую D. В силу подобия треугольников МАН, МА’Н’
и РММ’ имеем МА: АН— МА’: А’Н’ = РМ : ММ’. Заменяя в равенстве
(1) отрезки МА,
МА’ и МР пропорциональными
им отрезками
АН, А’Н и ММ’, найдем,
что произведение
АН — Л’Я*равно постоянной
величине ММ’3.
3°. Пусть N — проекция
точки А’ на прямую
АН. Из треугольника
ЛЛ’ЯимеемЛЛ’а==ЛЯ*-|-
-tf-A’H3 — 2 АН- NH (в силу
п. 126). Но NH—A’H,
так что АН3 -f- А’Н3 —
= АА’3 + 2АН • А’Н.
Отсюда видно, что
АН3 -f- А’Н3 равняется постоянной (в силу 2°) величине А А’3 -}-
2АН‘А’Н = АА’3 -|- 2ММ’3. Геометрическое место точек //есть (на
основании упражнения 141) окружность с центром в середине отрезка
АА’. Квадрат радиуса этой окружности равен (сравнить решение
упр. 141) у (Л Я * 4 — А’Н3) — ^АА’3==-^АА’3-\- ММ’3 = АК3, где
К — точка прямой D, равноудалённая от А и А’.
Из рассмотрения треугольника АА’Н следует, что геометрическое
место точек Н есть та же окружность.
4°. Чтобы прямая Р Р проходила через данную точку Q, соответствующая
точка Н должна лежать на окружности, построенной на
отрезке AQ как на диаметре, так как прямая Л Я перпендикулярна
к РР. Кроме того, точка Я лежит на окружности, рассмотренной
в 3°. Если обе окружности пересекутся, то точки их пересечения
определят два возможные положения точки Я , соответствующие данной
точке Q, а следовательно, и два положения точки А

560

5°. Пусть О и О’ — центры окружностей РАА’ и РАА’, К и К’ —
точки пересечения их линии центров с прямыми D и D’. Отложим на
линии центров отрезок КО», равный О’К’. Треугольники А КО» и
АК’О’ будут, очевидно, равны, откуда
£КАО» = £ К ’АО’. . (2 )
Из подобия треугольников ОРК и О’РК’ имеем OPiO’P = ОК’.О’К ’.
Заменяя здесь ОР равным ему отрезком 0 А ,0 ‘Р — отрезком О’А или
О» А и О’К’ — отрезком КО», получим О А : О” А — О К : КО». Это равенство
показывает, что прямая АК есть биссектриса угла А в треугольнике
ОАО». Принимая во внимание равенство
(2), находим £О А К = £КАО» =
— £ О’АК, откуда £ОАО’ = £ КАК’.
Таким образом, угол между двумя окружностями,
равный углу О АС, сохраняет по-
стйяйную величину: он равен углу КАК’.
Так как угол ОАО’ при вершине А треугольника
ОАО’ сохраняет постоянную величину,
то не изменяется и сумма двух других
углов того же треугольника: £АОО’ -\-
£ АО’О ==180° — £ ОАО’ = 180° —
—- £ КАК’., Рассмотрим теперь равнобедренные
треугольники О АР и О’АР*, сумма углов q
при вершинах О и O ‘в этих треугольниках „
постоянна, так как £АОР-\- £АО’Р = ер ’
— \ £ (УО Р — £ О’ОА) -1- { £ 0 0 ‘Р —
— £ 0 0 ‘А) = ( £ О’ОР + £ 0 0 ‘Р ) — ( Z АОО’ — f Z АО’О) =
=г 180°— (1 8 0 °— £КАК’) = /_КАК’. Сумма углов при вершине
А в тех же треугольниках также не изменяется: £ОАР~\-
— f £ 0’AP’—- j (180°— Z АОР)-\- у (180° — £АО ‘Р ) = 180° —
— АОР~\~Z АО’Р’)=180°— у £КАК’. Наконец, в силу постоянства
угла ОАО’ и суммы углов £ОАР-\~ £ 0 ‘А Р и четвертый угол
при точке А будет постоянным: £ РАР = 360° — £ ОАО’ — ( £ ОАР-.J-
— f Z О’Л Р ‘)= 3 6 0 р— Z КАК’—{ 180°—у Z КАК’) = 1 8 0 ° —у £ КАК’.
Итак, угол РАР остаётся постоянным.
3 9 8 . Пусть М — точка пересечения прямых АВ й D (черт. 653);
с и с’ — окружности, имеющие своими диаметрами отрезки AM и MB’,
S — окружность, касательная к С, с и D; S’ — окружность, касательная
к С, с* и О. .
Инверсия с полюсом А и степенью, равной AM • АВ, преобразует
окружность С и прямую £ друг в друга, а окружность с’ — в самое
себя. Отсюда следует, что та же инверсия преобразует и окружность

561

S’ в самоё себя. Поэтому общая касательная к окружностям с’ и 5′
в точке их‘касания Т проходит через полюс инверсии А.
Пусть о’ и Р — центры окружностей с’ и S’; N— основание перпендикуляра
из точки Р на диаметр АВ; R, г, г’ и р’— радиусы
окружностей С, с, с’ и S’. Из подобия треугольников АТо’ и PNo’.
2 п ft ft
имеем Ао’ : Р о ’= То’ : No’, т. е. -т = г’г _ ^г • Упрощая это равенство,
находим p’R = (R — г’) г’. Так как R = r-\ -r’, то p’R = r f.
Таким образом, радиус окружности S’ есть четвертый пропорциональный
к радиусам окружностей С, с и с’.
Так как в полученное выражение для р’ радиусы г и г ‘ входят
вполне равноправно, то мы придём к тому же выражению, вычисляя
радиус р окружности 5. Это и показывает, что окружности 5 и S’
равны между собой.
3 9 9 . Выполним инверсию с полюсом в точке касания Т окружностей
А и В (черт. 654 и 655) произвольной степенью. Окружности
А я В преобразуются в две параллельные прямые А’ и В’;
окружности . . . , C_i, С, Си С2, . . . — в равные окружности CL
fi’, Ci, Сг касающиеся этих прямых.
Пусть . . . , r_i, г, ru г2, . . . — радиусы окружностей . . . , C_t. С,
Си Си . . . ; г’ — радиус каждой из окружностей .- .., С1ь С, С{, С’%
. . . ; . . . , 0_\P_u OP, OiPu 0 2Р2, . . . и . . . , OUP, О’Р, 0 [Р ,
О’чР, . . . — расстояния центров тех же окружностей от линии центров
окружностей А я В.

562

Если центры двух последовательных окружностей С’п и Ch+и в
которые преобразуются окружности лежат по одну сторону
от линии центров окружностей А и В, то мы имеем, очевидно,
0’п+\Р — О’пР’ = 2г’, или
Ол+ i P ’ 0 >
2г’ 2г’ ‘
\
‘ ч
Если же центры окружностей С’п и Ch+i лежат по разные стороны
от линии центров окружностей А я В, то мы будем иметь
0 ; + , Р + 0 ;р ‘ = 2г’, или
Q/.+1P1 , ОпР
2 г’ 2г’ = 1. (20
V
Так как точка Т— полюс инверсии — есть центр подобия двух
взаимно обратных окружностей Сп и С’п (черт. 656), то мы имеем
f : гп = ТО’п: ТОп = 0’„Р: ОпРп, откуда 0’пР : 2/ = ОпРп: 2г„’. Таким
образом, отношение расстояния центра любой из окружностей С„ от
линии центров окружностей А и В к диаметру окружности С„ не изменяется
при инверсии с полюсом Т. В силу этого обстоятельст

563

соотношения (Г ) и (2′) переходят соответственно в
h (Л)
1. (2 )
Если окружности Л и Й касаются одна другой внутренним образом
(черт. 654), то любые две последовательные окружности Сп и Ся+|
касаются одна другой внешним
образом. Если окружности А
и В касаются одна другой внешним
образом, то в ряду окружн
о с т е й С _ , , С, Cit Са, . . .
имеются две пары последовательных
окружностей (С_!, С
и С, Ci на черт. 655), касающихся
одна другой внут-
Черт. 656. ренним образом; остальные пары
последовательных окружностей
имеют внешнее касание (С1; Са; Са, С*; . . . на черт. 657).
Если окружности С„ и Сп+1 касаются одна другой внешним образом,
то центры преобразованных окружностей С’„ и С’п^\ лежат по
одну сторону или по разные
стороны от линии центров
окружностей А и В, смотря
пр тому, лежат ли центры
окружностей Сп и Сп+1 по
одну сторону или по разные
стороны от той же прямой.
Отсюда следует, что в
случае внешнего касания
окружностей Сп и Сл+1 равенство
(1) имеет место,
если их центры лежат по
одну сторону от линии
центров окружностей А и
В, а равенство (2) — если
их центры лежат по разные
стороны от той ж е
прямой.
Если окружности С„ и
Сл+1 касаются друг друга
внутренним образом,то центг — Черт. 657.
ры преобразованных окружностей
Сп и С’пу 1 лежат по одну сторону от линии центров окружностей
А и В, если центры данных окружностей С„ и Ся+1 лежат от неё
по разные стороны, и наоборот. Отсюда следует, что в случае внутOn

564

если их центры лежат по разные стороны от линии центров
окружностей А и В, а равенство (2) — если их центры лежат ро
одну сторону от той ж е прямой.
Чтобы придать выведенным соотношениям большую общность, заметим,
что в случае внешнего касания двух окружностей Сп и Сп+1, центры которых
лежат ло одну сторону от линии центров окружностей А и В, «последующей
» окружностью Сл + 1 будет та, которая лежит «ближе» к точке
касания Т. Для расстояний х и х’ центров двух окружностей от прямой
РТ и их радиусов г и г ‘ будем иметь X*- ——X—= 1, причём х’ я г* соответствуют
«последующей» окружности. То же равенство имеет место и для
окружностей, центры которых лежат по разные стороны от РТ, если считать
х’ положительным, а х — отрицательным.
В случае внутреннего касания двух окружностей, центры которых лежат
по одну сторону от линии центров окружностей А я В, будем иметь
у/ • JQ
!• То же равенство будет иметь место и для окружностей, центры
которых лежат по разные стороны от прямой РТ, если считать «последующей
» внутреннюю окружность и расстояние х’ считать положительным,
а х — отрицательным.
4 0 0 . Если а, Ь, с и р — стороны и полупериметр треугольника
ABC, т е радиусы попарно касающихся окружностей с центрами А,
В я С соответственно равны р — а, р — b и р — с (упр. 91).
ъ Существуют две окружности, касающиеся этих трёх попарно касающихся
друг друга окружностей и притом одинаковым образом(черт. 658

565

и 659). Пусть О — центр и р — радиус окружности, касающейся трёх
данных и лежащей внутри криволинейного треугольника, ограниченного
дугами данных окружностей. Обозначим через х, у и z расстояния
точки О от сторон треугольника, через h, k и I— его высоты.
Применяя формулу (1) решения задачи 399 к двум окружностям
Л и О, каждая из которых касается окружностей В и С и которые
касаются друг друга внешним образом (сравнить черт. 657), будем иметь
х h , у k ‘ z I = 1; и аналогично ^ ^ — * \ = 1 ; к—— 2р_ 2 (р — а)
.== 1. Отсюда . 2р .
2р
У_
k
2 (Р-
Р
-ьу
. 2р
2р
z
2 {р — с)
Р _ _ 2р
I
Складывая и применяя результат упражнения 301, находим р
~ h +
1
р — Ъ
р—а ‘
+ Т +
+ т + т ) = 1- Эт0 выра‘
жеНие для р можно преобразовать
следующим образом:
если Д — площадь треугольника,
га, гь и гс — радиусы
вневписанных окружностей,
то р —1 а и т. д. (упр.
299); 2
Черт. 659.
h —- -д и т. д. Предыдущее
уравнение даёт для
р следующее выражение: р = -к— -у:— _i_
£ р Г а \ r Ь ~Т г с
Пусть теперь О’ и р’ — центр и радиус второй окружности, касающейся
трёх данных. Эта окружность может касаться трёх данных
как внутренним (черт. 658), так и внешним (черт. 659) образом;
в первом из этих случаев центр её может лежать как внутри,
так и вне данного треугольника.
Для радиуса
д
р’ окружности О’ получим аналогично
2р — (,га + гь + гсУ
Если х ’, у ‘, z ’ — расстояния точки О1 от сторон треугольника, взятые
е определёнными знаками, Как указано в решении, упражнения 301, то
в случае внутреннего касания (черт. 658) мы будем иметь систему уравне-
2$
А д / . : 1, а в случае внешнего ка-
2га 1 2р’ » 2гь 1 2р’ *’ 2гс 1 2р’
h х* k
сания (черт. 659) — систему ^ gp7 = 27Ь_ г2£»р -• “= 11 1 Г2»г с Г2-\ ?^’> =~ 1 1. • Из

566

этих двух систем получим, как и выше, в первом случае р’ = 0 ; ,
У а Т г Ь л г с!
во втором случае р’ = — —— . Если ra + r b + r c — 2p, то
— 7 ‘ У а ~ г ГЬ ~ Г г с)
окружность О’ обращается в прямую линию.
,401. Для достижения полной общности решения будем рассматривать
как положительные, так и отрицательные значения h и обозначим
через Ан, В h и СЛ три окружности с центрами А, В и С и
радиусами \a-\-h\, \b-\-h\ и \c-\-h\ (черт. 660). В соответствии
с этим данные окружности обозначим через A„, В0 и С0.
Пусть D — середина отрезка АВ и К ~ проекция точки //напрямую
АВ. Так как прямая НК есть радикальная ось окружностей
Ah и Bh, то мы имеем (согласно п. 136) DK- ^ ГL/Т\ ljjf ,.
Применим эту формулу к случаю, когда h — 0; при этом точка Н
будет совпадать с радикальным центром //„ данных окружностей, а
точка К — с его проекцией /Г0 на прямую АВ, и мы найдём DK0 =
-Ъ2
2 АВ
. Из двух последних равенств имеем:
КоК = DK— DK0 = ■b)h

567

Обозначая через L и L0 проекции точек Н и Н0 на прямую АС,
найдем совершенно таким же путём, что L0L = , откуда
КъК __ а — Ь АС
L0L а — с АВ’
Итак, точки // можно получить следующим построением (черт. 661):
на прямых АВ и АС откладываем от точек Кй и Z.e отрезки КйК и LaL,
которые изменяются пропорционально друг другу, и через точки К и
L проводим прямые, перпендикулярные соответственно к АВ и АС.
В силу упражнения 124 геометрическое место точек Н есть прямая
линия.
Рассмотрим теперь наряду с точкой Н, соответствующей произвольному
значению А, точку //’, соответствующую некоторому фиксированному
значению А’ (черт. 661) величины А, и обозначим через К,
проекцию точки Н на прямую АВ. Мы будем иметь наряду с соотношением
(1) аналогичное соотношение
K<>K’ = • O’)
Из соотношений (1) и (1′) следует: N
Н0Н : //„//’ = КйК : = А: А’. (2)
Пусть теперь точки IV и N’ (черт. 662) делят отрезки АН и АН’
соответственно в отношениях AN: АН— а : (а -(- А) и AN’:AH —
= а : (a -J- А’). При этом
AN :NH— a :h (3)
и
AN’: N’H’ = а : А’. (3′)
Из соотношений (2), (3 ) и (3′) вытекает, что • ^ ^ = 1 .
Таким образом, точки Н0, N и N’ лежат на одной прямой, как это
следует «а применения теоремы Менелая (п. 193) к этим трём точкам
и к треугольнику АНН.

568

Другими словами, геометрическим местом точек N при переменном
А Является прямая линия, а именно прямая H0N’ (где точка N’
соответствует некоторому определённому значению А).
Выберем теперь Л равным радиусу г-окружности касающейся
внешним образом трёх данных окружностей Аа, В0 и С„ (черт. 660).
При этом окружности Ап Вг и СТ пройдут, очевидно, через
Центр О окружности 2 , и точка О будет радикальным центром этих
трёх окружностей. Отсюда следует, что прямая линия, которая служит
геометрическим местом точек Н, проходит через О. Итак, прямая
линия, являющаяся геометрическим местом точек И, проходит
через центр окружности, касающейся внешним образом трёх
данных окружностей. Соответствующая значению h — r точка N
делит линию центров АО окружностей Л0 и 2 в отношении
AN: АО— а : ( а г ) и потому совпадает с их точкой касания. Итак,
прямая линия, являющаяся геометрическим местом точек N, проходит
через точку касания окружности Ав с окружностью, касающейсявнешним
образом трёх данных окружностей.
Таким же образом покажем, что те же прямые линии проходят
соответственно через центр О’ окружности 2!> касающейся внутренним
образом трёх данных окружностей, и через точку касания окружностей
22 и Aq.
В случае окружностей, имеющих с данными окружностями разноимённые
касания, например в случае окружностей, касающихся внешним
образом окружности Ай а внутренним образом окружностей В0
и Cq, или наоборот, можно получить вполне аналогичный результат.
Вместо окружностей радиусов | а -{- А |, | b -(- А |, | с -f- А | надо только
рассматривать окружности радиусов j e — Л|, \b-\-h\, | с -J- А |.
П р и ы е ч а н и е. Доказанные теоремы дают новое построение окружностей
2 и 2Д касательных к трём данным (ср. пп. 231—236 и 309—312а).
Строим радикальный центр На данных окружностей и радикальный центр
Н окружностей ЛЛ, Bh и С* (при произвольном К). Далее строим точку N,
как указано в тексте. Точки пересечения прямой H„N с окружностью А0
определяют точки касания искомых окружностей с А,,. Соединяя эти точки
касания с центром А окружности А#, получим в пересечении с прямой
НщН центры искомых окружностей.
4 0 2 . Пусть Ci, Cj, С3 и С4 — данные окружности, о — искомая
окружность, пересекающая их под равными углами.
В пп. 309—310 было показано, что все окружности, пересекающие
три данные окружности Си С2 и С3 под равными углами, образуют
четыре различных семейства: каждой из четырёх осей подобия
данных окружностей соответствует одно из этих четырёх семейств ви
том смысле, что все окружности семейства имеют общей радикальной
осью эту ось подобия, а линией центров — перпендикуляр из радикального
центра данных окружностей на эту ось подобия. Точки пересечения
какой-либо из окружностей одного из этих семейств с двумя
из данных окружностей, скажем с Ct и С2, попарно антигомологичны

569

относительно того из центров подобия окружностей Ci и С2, который
лежит на рассматриваемой оси подобия. г
Отсюда следует, что центр искомой окружности о лежит на перпендикуляре,
опущенном из радикального центра /4 окружностей Сх,
С2 и С3 на одну из их^осей подобия s4, и в то же время на перпендикуляре,
опущенном из радикального центра /3 окружностей СТ, С2
и С4 на одну из их осей подобия s3. При этом, если точки пересечения
окружности о с окружностями Cj и С2 попарно антигомологичны
относительно их центра подобия S 12, то точка S 12 лежит как на
прямой % так и на прямой s4.
Таким образом, получается следующее построение центров искомых
окружностей: выбираем произвольно одну из четырёх осей подобия
s4 окружностей Сь С2 и С3 и одну из тех двух осей подобия
s3 окружностей Clt С2 и С4, которые проходят через центр подббия
,S12 окружностей СТ и С2, лежащий на оси st. На прямые si и s3
опускаем перпендикуляры соответственно из точек /4 и /3; точка пересечения
этих двух перпендикуляров и будет искомой точкой.
Каждой из четырёх осей подобия окружностей С1г С2 и С3 соответствует
два возможных положения центра искомой окружности, а
всего получаем 8 искомых точек.
Рассмотрим одну из этих восьми точек — точку О ■— и построим
окружность о с центром О. Для этого построим какую-либо окружность
<з4, пересекающую под равными углами окружности С1; С2 и С3
и соответствующую выбранной оси подобия s4. Окружности о и о4
должны иметь своей радикальной осью прямую $4. Остаётся построить
окружность а с центром О так, чтобы прямая s4 была радикальной
осью окружностей о и о4 (прямая, соединяющая точку О с центром
окружности о4, заведомо перпендикулярна к s4). Для этого строим
произвольную окружность с с центром на s4, ортогональную к о4, а
затем окружность о с центром О, ортогональную к с. Задача будет
или не будет иметь решение в зависимости от того, будет ли точка
О лежать вне или внутри окружности с.
Построенная таким образом окружность з будет, по самому способу
её определения, пересекать под равными углами окружности С1у С2 и С3.
Однако, мы -должны ещё показать, что она пересекает под равными углами
все четыре данные окружности. С этой целью рассмотрим какую-либо
окружность ст3, пересекающую окружности Сi, С2 и С4 под равными углами
и соответствующую оси подобия s3. Линия центров окружностей о и о8
есть перпендикуляр из точки /3 на прямую s3. Точка пересечения S t2 осей
подобия s3 и s4 имеет относительно обеих окружностей ч и с3 одну и ту же
степень, равную степени той инверсии с полюсом S 12, которая преобразует
окружности СТ и С2 одну в другую;, это следует из того, что каждая
из окружностей з и с3 пересекает СТ и С2 в точках, попарно антигомоло-
гичных- относительно S i2. Из того факта, что линия центров окружностей
з и з3 перпендикулярна к s3 и что точка S 12 прямой s3 имеет относительно
обеих окружностей одну и ту же степень, следует, что s3 есть радикальная
ось этих двух окружностей. Следовательно, окружность о пересекает
окружности СТ, С2 и С4, а значит и все четыре данные окружности, под
равными углами.

570

Наибольшее возможное число решений задачи равно восьми.
4 0 3 . Чтобы не прерывать дальнейшего изложения, решим предварительно
следующие две задачи:*
А) Построить окружность, пересекающую две данные окруЖ’
ности А и В соответственно под данными углами а и р и притом
первую из них, т. е. окружность А, в данной точке М.
Пусть* Ot и 0 2 — центры данных окружностей А и В, О —- центр
искомой окружности, N — одна из точек пересечения искомой окружности
с окружностью Л (черт. 6 6 3 ).
Рассмотрим треугольник ОМК, равный треугольнику ONO2 и
имеющий с ним (для определённости) одинаковое направление враще-
. ния. Прямая ОМ образует с у
радиусом ОхМ угол а, пря- » .
мая МК образует с ОМ у’ к’ \
угол р, и отрезок МК pa- \М / /
вен NOv Наконец, точка О
равноудалена от точек К и
0 2, и мы приходим к такому
построению.
Строим прямую MX, образующую
с ОхМ угол я;
далее строим прямую MY,
образующую с MX угол (3,
откладываем на ней отрезок
МК, равный радиусу
окружности В/М восставляем
-перпендикуляр в середине
отрезка КО%. Точка пересечения этого перпендикуляра с прямой MX
и будет искомой точкой О.
Задача имеет, вообще говоря, четыре решения. В самом деле, за
прямую MX можно принять Любую из двух прямых, пересекающих
ОхМ под углом а, и отрезок МК можно отложить от точки М на
прямой MY в двух противоположных направлениях.
Замена прямой MY Другой прямой MY’, образующей с MX угол р, не
приводит к новым решениям. Действительно, точка К заменяется при
этом точкой К’, симметричной с К относительно прямой ОМ. Но 0 0 s =
= OK = OK, и перпендикуляр, восставленный в середине отрезка ОаК,
пересекает прямую MX в той же точке О, что и перпендикуляр, восставленный
в середине отрезка 0 2К.
Если, как это сделано в решении упражнения 2 5 6 , принимать во
внимание угол между радиусами двух окружностей, проведёнными в
точку их пересечения, то искомые окружности распределятся в два
семейства. К первому будут относиться окружности, пересекающие
окружности А и В под углами, строго равными а и.(3 или 2d — а и
2d — Р; ко второму — пересекающие их под углами, строго равными

571

Если построить полупрямую MX так, чтобы угол ОхМХ в точности
равнялся а, и отложить отрезок МК так, чтобы угол ХМК в
точности равнялся р, то мы получим окружность первого семейства.
Действительно, если точка О будет лежать на полупрямой MX, то
построенная окружность будет, очевидно, пересекать данные под углами,
строго равными аир. Если же точка О будет лежать на продолжении
полупрямой MX за точку М, то построенная окружность
будет пересекать данные под углами 2d — а и 2d — р.
B) Построить окружность, имеющую с двумя данными окружностями
Аи В общую радикальную ось и ортогональную к третьей
данной окружности Г.
Пользуясь п. 138, легко построить какие-либо две окружности Г’
и Г», ортогональные одновременно к А и к В. В силу п. 139, примечание,
каждая из окружностей Г’ и Г» должна быть ортогональна и
к искомой окружности. Поэтому искомую окружность (если она существует)
можно построить, с помощью п. 139, как окружность, ортогональную
к окружностям Г, Е й Г » ; центром искомой окружности
будет радикальный центр этих трёх окружностей, её радиусом — касательная
из радикального центра к одной из тех же трёх окружностей.
Переходим теперь к решению самой поставленной задачи.
C) Пусть требуется построить окружность, пересекающую три
данные окружности А, В и С под углами, соответственно равными
а, р и т.
Если опять принимать во внимание угол между радиусами двух
окружностей, проведёнными в точку их пересечения, то искомые
окружности будет естественно распределить в 4 семейства в зависимости
от того, пересекает ли искомая окружность три данные под
углами, строго равными:
1) а, р, у или 2d — а, 2d — р, 2d —
2) 2d — а, р, у или а, 2d — р, 2d — у;
3) а, 2d — р, у или 2d — а, р, 2d — у;
4) а, р, 2d — у, или 2d — а, 2d — р, у.
Для определённости начнём с отыскания окружностей, принадлежащих
к первому из этих семейств, и даже предположим, что искомая
окружность о пересекает данные под углами, строго равными а,
Р и у.
Построим, как было указано выше (задача А), какую-либо окружность
Oj (черт. 664), пересекающую окружности А и В под углами,
строго равными а и р (или же какую-либо окружность о/, пересекаю*
щую их под углами, строго равными 2d — а и 2d — Р). При этом
исходная окружность о и окружность (или о/) будут принадлежать
к одному и тому же семейству (в смысле упр. 256) окружностей,-пересекающих
А а В под углами аир. Следовательно, любая окружность,
имеющая с А а В общую радикальную ось’ пересекает окружности
а и ot, на основании решения упражнения 256, под строго
равными (а окружности ®и <Jj’ — род строго пополнительными) углами

572

Найдём далее среди окружностей, имеющих с А и Д общую радикальную
ось, две окружности А’ и В’, касающиеся окружности ot
(или о/), пользуясь способом, указанным в п. 311. Мы предположим
пока, что такие окружности существуют. Эти две окружности А’ и В’
будут касаться в силу только что сказанного и искомой окружности о
(так как касание есть пересечение под углом 0 или 2d). При этом
окружность А’ будет касаться окружностей о и oj одинаковым образом
(а окружностей о и а^ — неодинаковым образом), так как она должна
пересекать их под строго равными (под строго пополнительными) углами.
То же относится и к окружности В’.
Итак, искомая окружность а должна касаться, и притом вполне
определённым образом (либо внутренним, либо внешним), каждой
из окружностей А’ и В’ и
пересекать окружность С
под углом, строго равным ?■
Построим теперь какую-
либо окружность оа, пересекаю- , — — 1-
щую окружность С под углом,
строго равным j, касающуюся
окружности А’ таким же образом,
как её касается окружность
о. (или же какую-либо
окружность о,’, пересекающую
окружность С под углом, строго
равным 2d —- и имеющую
с окружностью А’ касание противоположного
характера, чем
касание окружности о с А’). В силу упражнения 256 любая окружность,
имеющая с окружностями А! и С общую радикальную ось,
пересекает окружности о и оа под строго равными углами (а окружности
а я а£ —-иод строго пополнительными углами).
Так как среди окружностей, имеющих с А’ и С общую радикальную
ось, есть окружность (а именно А’), касающаяся окружности оа
(или оа’), то среди тех же окружностей найдётся (п. 3 1 1 ),’вообще
говоря, и вторая окружность С’, касающаяся окружности оа (или оа’).
При этом окружности о и оа касаются окружности С’ одинаковым
образом (а окружности о и о/касаются её различным образом).
Следовательно, искомая окружность о должна касаться трёх
окружностей А’, В’ и С’, которые мы можем построить, и притом
каждой из них вполне определённым (либо внешним, либо внутренним)
образом.
Мы отыскивали окружность о, пересекающую данные окружности
под углами, строго равными а, [3 и у. Легка видеть, повторяя аналогичные
рассуждения, что окружность V , пересекающая три данные
окружности под углами, строго равными 2 d—-а, 2d — р и 2d — у,
должна касаться тех же окружностей А’, В’ и С’, что и окружность о.
Однако с каждой из трёх окружностей А’, В’ и С’ две окружности а

573

и о’ имеют разноимённые касания. Это вытекает из того, что при построении
окружности о’ можно воспользоваться той же самой вспомогательной
окружностью Oj или о/, что и выше, и той же самой
вспомогательной окружностью о2 или с2′, что и выше. Однако окружности
Oj и о/, а также <з2 и а2′ меняются теперь ролями.
Можно показать и обратно, что всякая окружность, касающаяся
окружностей А’, В’ и С’ указанным образом (в. смысле внешнего или
внутреннего касания), пересекает данные окружности под углами,
строго равными а, р и f или 2 d— а, 2d — (3 и 2d — у.
В самом деле, пусть некоторая окружность а касается каждой из окружностей
Л’ и В ‘ таким же образом, каким той же самой окружности
касается окружность в!, а окружности С’ — таким же образом, каким её
_ касается окружность а2.
Окружности а и ац касаются окружности Л’ одинаковым образом, т. е.
пересекают её под строго равными углами (равными 0 или 2d). Те же
окружности а и ал пересекают под строго’ равными углами и окружность В 1.
Следовательно, любая окружность, имеющая с А1 и В 1 общую радикальную
ось, и в частности окружность Л, пересекает а и »л под строго равными
углами. Но окружность at пересекает, по построению, окружность Л под
углом, строго равным а. Следовательно, и окружность а пересекает А под
у гл ом , строго равным а. По Той же причине а пересекает В под углом,
строго равным р. ’
Далее окружности а и а2 касаются окружности Л’ одинаковым образом,
так как окружности а и at касаются Л’ одинаковым образом (по определению
окружности а); кроме того, окружности at и а2 также касаются- окружности
А’ одинаковым образом (по определению окружности а2). Те же
окружности а и а2 касаются (по определению окружности о) одинаковым образом
окружности С . Следовательно, всякая окружность, имеющая с
окружностями Л’ и С’ общую радикальную ось, и в частности окружность С,
пересекает окружности а и а2 под строго равными углами. Но окружность
с2 пересекает, по построению, окружность С под углом, строго равным у.
Следовательно, и окружность а пересекает С под углом, строго -равным у.
Совершенно таким же образом покажем, что всякая окружность а’,
которая касается каждой из окружностей А’ и В’ иначе, чем её касается
окружность at, а окружности С’ — иначе, чем её касается а2, пересекает
окружности Л, В и С под углами, строго равными 2d — а, 2d — р и 2d — у.
К тем же заключениям мы пришли бы, если в качестве вспомогательной
окружности взяли а/ вместо <зи или а2′ вместо а2, или’, наконец, а/ и а2′
вместо 5! и ij.
Итак, искомые окружности, принадлежащие к первому из четырёх
семейств, перечисленных в начале решения настоящей задачи, т. е.
пересекающие данные окружности под углами, строго равными а,
(3, у или 2d — а, 2d — [3, 2d — у, касаются трёх окружностей А’,
В’ и С’. При этом они образуют одну из четырёх пар окружностей,
касающихся А’, В’ и С’, в смысле решения упражнения 267. Действительно,
из сказанного выше следует, что если одна из искомых
окружностей первого семейства касается двух из трёх окружностей,
скажем Л’ и В’, одинаковым образом, то и всякая окружность первого
семейства касается их одинаковым образом.
Мы предположили выше, что среди окружностей, имеющих с А
и В общую радикальную ось, найдутся две окружности А’ и В’, каса

574

ющиеся вспомогательной окружности (или а/). Это всегда будет
иметь место, если окружности А и В не имеют общих точек. Действительно,
отыскивая окружности А’ и В’, как указано в п. 311, мы
получим в этом случае два решения, потому что радикальный центр а
окружностей А, В и (или А, В и а/), которым мы там пользовались,
будет лежать вне каждой из этих трёх окружностей. Однако окружности
А1 и В ’ могут существовать и в том случае, когда окружности
Л и В пересекаются (сравнить черт. 664).
В том случае, когда среди окружностей, имеющих с Л и В общую
радикальную ось, не существует окружностей, касающихся искомой
окружности, и то же обстоятельство имеет место для каждой из пар
окружностей В и С, Л и С, описанный способ оказывается неприменимым.
Это может случиться лишь в том случае, когда все три данные
окружности имеют попарно общие точки. Примером может служить
расположение данных и искомой окружностей,
приведённое на чертеже 665.
Чтобы дать .решение поставленной задачи,
пригодное и в этом случае, поступим
следующим образом. Построив вспомогательную
окружность oj (или о’), как указано
выше, найдём среди окружностей,
имеющих с Л и й общую радикальную ось,
окружность /?0,ортогональную к оДили о/).
Способ построения был указан выше (задача
В ). Искомая окружность а (или o’) додж-‘
на быть также ортогональна к В0, так как Черт. 665.
окружности о и Oj (или о и a’j) пересекают
В а под равными углами. Аналогичным образом, построив далее
новую вспомогательную окружность о2, пересекающую Л и й под углами,
соответственно равными » и | , можно найти окружность С0, имеющую
с Л й С общую радикальную ось и ортогональную к окружности о2.
Окружность С0 будет ортогональна и к искомой окружности о.
Итак, искомая окружность о (или o’) должна пересекать окружность
А под углом, строго равным а (или 2d — а), и быть ортогональной
к окружностям В0 и С0. Можно показать и обратно, что всякая
окружность, удовлетворяющая этим последним условиям, будет удовлетворять
и условиям первоначальной задачи. Таким образом мы
приходим к упражнению 259.
Заметим, что этот второй путь решения будет заведомо пригоден
в тех случаях, когда первый способ может оказаться неприменимым,
т. е. когда три данные окружности попарно пересекаются. В самом
деле, через всякие две точки, например через точки пересечения
окружностей А а В, можно провести окружность, ортогональную
к данной окружности а, (сравнить решение упр.’258, примечание).
Однако этот второй путь может оказаться непригодным в тех случаях,
когда первый способ заведомо применим. В самом деле, если две
окружности (скажем Л и В) не пересекаются, то среди окружностей,

575

окружности, ортогональной к данной окружности (скажем к
До сих пор мы искали окружности, принадлежащие к первому из
четырёх семейств, о которых говорилось в начале решения. Таким же
путём можно найти окружности, принадлежащие к каждому из остальных
трёх семейств. Надо только заменить один из углов а, р и у углом,
ему пополнительным. Существенно, что при этом каждый раз придётся
пользоваться некоторыми вспомогательными окружностями, аналогичными
А’, В’ и С’ или В0 и Св, но, вообще говоря, отличными от
последних.
Каждое из четырёх семейств окружностей содержит самое большее
две искомые окружности, и потому наибольшее возможное число
решений задачи — восемь.
4 0 3 а . Отложим на касательной в произвольной точке а данной
окружности А с центром в точке О некоторый отрезок ав'(черт. 666)
и проведём через точку а’ окружность А’, концентрическую с А. Очевидно,
что все окружности имеющие с окружностью А общую касательную
длиной аа’, пересекают окружность А’ под углом, равным
углу аОа’. При этом, если аа’ является внешней общей касательной,
то окружность 2 пересекает А’ под углом, строго равным углу аОаг,
а если аа’ является внутренней общей касательной, то 2 и & пе»
ресекаются под углом, строго равным 2d — аОа’.
Итак, если отрезок общей касательной к данной окружности А
и к искомой окружности 2 имеет данную длину аа’, то искомая
окружность должна пересекать определённую окружность Л’, концентрическую
с А, под углом, равным углу между окружностью А’ и
произвольной касательной к окружности А. Точно так же определяем
углы между искомой окружностью и вполне определёнными окружностями
В\и С’, концентрическими соответственно с окружностями В и С.
Таким путём рассматриваемая задача непосредственно сводится
к задаче 403. *
• 4 0 4 . Через точки Л и Л’ проводим хорды АВ и А’В’ (черт. 667),
параллельные прямой D, и обозначим через / и /’ точки пересече-
; прямых А В’ и А’В с прямой D.

576

Углы AIP и А’ГР равны, так как они равны соответственно углам
АВАГ и В А’В’ равнобедренной трапеции АВА’В’. Далее Z IAP—
— Z В’А’М— Z А’РГ. Следовательно, треугольники AIP и РГАА
подобны. Из подобия этих треугольников имеем 1Р:1А=ГА’ :Г Р
или IP • Г Р = 1 А • ГА’ — const.
4 0 5 . Обозначения те же, что в задаче 404 (черт. 667). Пусть
прямая Д не пересекает данной окружности. Обозначим через*U-
одну из предельных точек данной окружности и прямой D (упр. 152).
Будем иметь, как в решении упражнения 152 :Ш 2 = Г и *~ 1А • IB’,
или, в силу задачи 404, Ю* — — Ю • ГР . Последние равенства
вместе с равенством углов UIP и UI’P показывают, что треуголь-
никв UIP и Р Г и подобны. Из подобия этих треугольников следует,
что z ЮР— Z Г Р и, откуда Z PUP — 2 d— £_ IPU — I’PU=
= 2d — /_ IPU — Z IU P = Z U IP = const.
Тем же свойством обладает и вторая предельная точка данной
окружности и прямой Д.
■ * -. 4 0 6 .1 ° . Инверсия относительно окружности 2 преобразует окружности
С в самих себя, а окружность 5 — в некоторую окружность S’
{черт. 668), также касающуюся всех окружностей С.
2°. Предположим сначала, что за точку А, о которой говорится
в тексте задачи, принята одна из точек пересечения прямой» От и
Окружности 2 (черт. 668). При этом прямые, проведённые через точку Л
параллельно биссектрисам углов ОтМ и ОтМ’, пройдут соответственно

577

через точки М и М’,х так как /_ О AM = -^- /_ ОшМ и /_ ОАМ’ —
= у/Оо>ЛГ.
Выполним теперь инверсию с полюсом А, преобразующую окружность
2 в данную прямую D. Эта инверсия преобразует точки М
и ЛМ! в точки Р и Р , а окружность С, ортогональную к 2 . — в
окружностью, имеющую отрезок РЯ’своим диаметром. Обозначим через
«окружность, обратную окружности 5. Так как окружность С касается
окружности 5, то окружность с касается « в некоторой точке 71. Точка
Т есть центр подобия окружностей с и s, и потому прямые РТ
и Р ‘7 ’ пересекают вторично окружность « в концах диаметра
параллельного прямой D. Точки Q и Q’, не зависящие, очевидно, от
положения окружности С, обладают тем свойством, что прямые PQ
и FQ’ взаимно перпендикулярны.
Итак, мы доказали существование точек Q и Q’, обладающих искомым
свойством, для того случая, когда данная, точка А совпадает
с одной из точек пересечения прямой Ош и окружности 2 (а прямая £),
перпендикулярная к Ош, задана произвольно). Если теперь выполнить
над этой точкой Л, данной прямой Z) и найденными точками Q и Q’
одно и то же поступательное перемещение в направлении прямой Ош,
то свойство точек Q и Q’ сохранится: прямые PQ и PQ’ и в новом
своём положении останутся взаимно перпендикулярными. —
Отсюда и вытекает существование точек О и О’, обладающих искомым
свойством, для всякой точки прямой Ош. Чтобы их найти, можно
поступить так. Выполним над данной точкой и над данной прямой поступательное
перемещение, которое совместило бы данную точку с той
точкой, которая обозначена через А на чертеже 668. После этого
построим точки Q и Q’, как указано выше, а затем выполним над ними
обратное поступательное перемещение.
3°. Точки Р и Р получаются из точек Q и Q’ с помощью построения,
указанного в тексте задачи 404. Действительно, точки Р
и Р являются точками пересечения прямой D с прямыми, соединяющими
две данные точки Q и Q’ окружности s с произвольной точкой
Т окружности.
Так как окружности S и 2 по условию задачи не пересекаются,
то окружность s не пересекает прямой D. Следовательно, отрезок Р Р
виден (в силу задали 405) под постоянным углом из каждой из предельных
точек окружности « и прямой D.
4°. Пусть окружность С„+1 совпадает с Cj. Так как окружности 5
и 2 не пересекаются, то их можно преобразовать с помощью одной
инверсии (упр. 248) в две концентрические окружности S и 2
(черт. 669). При этом окружность S’, обратная окружности 5 относительно
2> преобразуется в окружность S’, также обратную (в силу
„упр. 250) окружности S относительно 2 и потому концентрическую
с S и Окружности . Ci, С2, . . . , С„ преобразуются в равные

578

окружности С1( С2, . . Сп, касающиеся окружностей 5 и S’ и попарно
касающиеся друг друга.
Обозначим через О общий центр окружностей S, 2 и S’, через
М и М’ — точки пересечения окружности Сх с окружностью 2 и
через т. — центр окружности С\. При этом произведение угла МОМ’
на п будет равно (в силу совпадения окружности C„+t с Ct) целому
числу окружностей. Отсюда следует, что центральный угол МОМ’ соответствует
стороне ММ’ одного из тех правильных многоугольников,
о которых говорится в тексте
задачи. Угол MOtn есть половина
этого центрального угла.
Черт. 670.
Если R — радиус окружности S, р — радиус окружности тора-
диус окружности S’, обратной 5 относительно Равен Р 3 : R> и
б/ я= = у Треугольник ОМт с гипотенузой От= у (r +
-(-= -] и катетом ОМ = р подобен треугольнику с гипотенузой
Л2 + Р2
^ 8 -(-р9 и катетом 2Rp.
Так как в силу задачи 396 имеет место равенство
27?р
„2 D2 «2 — — ■—
= d r 2Щ— ’ то тот же самый острый угол МОт будет иметь и
прямоугольный треугольник с гипотенузой ± (^2 — R* — Ра) и катетом
2 Rp.
Таким образом, мы получили то условие совпадения окружности
С„+1 с окружностью Си которое указано в тексте задачи.
До сих пор мы рассматривали случай, когда окружности 5 и 2
не пересекаются. Пусть теперь эти окружности пересекаются в точках
X н Y (черт. 670). Окружность S’, которой касаются окружности С,
также пройдет через точки X и Y. Построим опять окружности
Си Ср , . . , как указано в условии 4°.

579

Выполним инверсию с полюсом в точке Y и произвольной степенью.
Окружности S, Б и S’ преобразуются при этом в три прямые S, Е и
S’ (черт. 671), пересекающиеся в точке X, обратной точке X, а
окружности Си С4, . . , — в окружности Си Си . . . с центрами на прямой
В, касающиеся прямых 5 и S’ и попарно касающиеся друг друга
в точках М, М», . . . , обратных точкам М, М», . . .
Рассматривая гомотетию с центром X, в которой точке М соответствует
точка М, .мы убедимся, что имеют место равенства
ХМ: ХМ’ = ХМ’: ХМ» = ХМ” : ХМ'» = . . . Отсюда видно, что точки
М, М’, М» , . . . имеют своим предельным положением точку X, а точки
М, М\ М», . . . — точку X.
4 0 7 . Пусть АВСВ-—четырёхугольник, вписанный в окружность О
(черт. 672), Е — точка пересечения его диагоналей, F — точка пересечения
прямых AD и ВС, KL — хорда, проходящая через Е и перпендикулярная
к ОЕ (так что E f(= E L ) , М и N — точки пересечения
этой хорды со сторонами AD и ВС.
Применяя к треугольнику FMN и каждой из секущих АЕС и BED
„ ЕМ теорему п. 192, найдём CN AF , ЕМ —BN . _DF= 1. . П~ ере
■
множая почленно эти два равенства и сокращая на произведение
AF ‘D F — B F ‘C F , равное степени точки F относительно окружности
О, получим:
ЕМ* BN — CN
EN* ’ AM-DM 1. (1)
Преобразуем теперь произведение BN- CN, равное степени точки N
относительно окружности О, пользуясь равенством EK—EL, следую»

стр. 580

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ
НА КОНКУРСНЫХ ЭКЗАМЕНАХ. Математика в школе.

Смешанные задачи часть 5 Ж. Адмар