Арксинус

| ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Арксинус

Считаете статью полезной? Поделитесь им в соц. сетях одним нажатием кнопки сверху.
Возможно она нужна кому то ещё!
Арксинус: Главная страница ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

Скачать книгу ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА бесплатно в PDF формате одним файлом на странице Бесплатные учебники.

Скачать только ГЛАВА 2: ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Ниже представим текстовую версию файла только для быстрого ознакомления с темой. Тут формулы отображаются искажённо.
Если тема Вам интересна, можете БЕСПЛАТНО скачать часть книги или всю книгу в формате PDF по ссылкам выше.

§ 2.7. Арксинус

Зададим число р, удовлетворяющее условию | р | ^ 1 ,
Покажем, что на отрезке ^— у , у | существует единственное
число а , синус которого равен |3:
sin a = p.
Рассмотрим числовую окружность в системе координат
хОу. Проведем прямую г/ = р. Так как | Р К 1 , то эта
прямая пересечет правую полуокружность в некоторой
точке а с ординатой г/ = |3, причем эта точка единственна
(рис. 44). Это означает, что существует единственное
число а из промежутка £— у ; у | , синус которого равен
(3.

43

Арксинус

Число а из отрезка ^— у ; у |, синус которого равен
р, называется арксинусом р и обозначается так:
а = arcsin р.
т 1 Н апример, arcsi• n г0\ = 0г\ , arcs .i n 1 я , arcsin —у^ 2 п ,
. . л . ( 2 \ л — / ( ч л
a r c s m l = y , arcsin ( ————-= — 7 > a rc sm (—*) = — у •
Заметим, что arcsin р, где | р | > 1, не имеет смысла, потому
что модуль синуса любого числа не превышает 1 .
Например, arcsin у не имеет смысла, так как | у | > 1 —
Из определения арксинуса следует, что если —1 ^ Р ^ 1,
то sin (arcsin Р) = Р-
С помощью арксинуса можно записать все решения
уравнения
sin а = р. (1 2 )
Если | р | > 1, то уравнение (12) не имеет решений. Если
|Р | < 1 , то прямая у = р пересекает числовую окружность
в двух точках а г = arcsin р, а 2 = я — arcsin р (рис. 45).
Все решения уравнения (1) можно записать так:
а = arcsin р + 2Ал, (13)*
а = я — arcsin p-f- 2kn = — arcsin р + (2 £ + 1) я, (13)2
где k—любое целое число. Объединим формулы (13), и
(13)2 в одну:
а = (—1)» arcsin р + л я , (13)
где п — любое целое число. Очевидно, что при подстановке
в (13) вместо п четного числа п = 2/е получится
формула (13)i, нечетного п = 2 А + 1—формула (13)2.
Формула (13) дает все решения уравнения p = s i n a и
в том случае, если | р | = 1 .
П р и м е ры .
1. Решениями уравнения s i n a = —1 являются все
а = — у + 2пя, где п —любое целое (рис. 46, а).
2. Решениями уравнения sin 4a = 1 являются все 4a =
= -^ 4 — 2 «л, Xi е> а = _ _ Где п—любое целое
(рис. 46, б).

44

3. Решениями уравнения s i n y = 0 являются все у =а
*=0 + п я, т. е. а = 3ля, где п—любое целое (рис. 46, в).
§2.7. АРКСИНУС 45
Рис. 46
4. Решениями уравнения sin а = 0,1 являются все
а = (—1)» arcsin 0,1 + п л , где п—любое целое.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Что называется арксинусом числа Р? Для каких
Р arcsin Р определен, для каких нет?
2. Вычислите arcsin р, если
а) р = 0 ; б) р = 1; в) р = —1 ; г) Р = у ; д) Р== — у ;
е) Р = у г — ; ж ) Р = — ^ у — ; з) р — -уД — ; и) р = — .
3. Постройте на числовой окружности точки
1 1 3 a) arcsin у ; б) arcsin у ; в) arcsin у ;
г) arcsin (—0,5); д) arcsin (—0,25); е) arcsin (—0,75).
4. Упростите выражение:
a) sin (arcsin 0,3); б) sin (arcsin (—0,9));
в) arcsin sin y^j; г) arcsin ^sin -y -j;
д) arcsin (cos 0 ); e) arcsin ^cos
5. Решите уравнение:
a) sin a = 0; 6 ) s i n a = l; B ) s i n a = —1;
г) sin a = у1 ; д)ч -s i n a = — уl ; e)4 s •m a = V 2 — y ~ ;
ж) sin a = ————; з). s .i n a = —^у3 — ; и)4 s i. n a = ^ g3—;
3 к) s i n a = 0,6; л) s i na = —0,7; m ) s i n a = — y ;
H) s in2a = 0; o ) s i n y a = l ; n) sin у a — — 1;

45

р) sin ( а—з-ф с) sin (2 а + я ) =
т) sin ( а + 7я) = -i-.
6 . При каких х равенство
a) sin (arcsin х) = х \ б) arcsin (sin х) — х выполняется,
при каких нет? Приведите примеры.
Ук
<R
а,
7. На числовой окружности задана точка а* (рис. 47).
Укажите на числовой окружности точку а., = arcsin (sin о^).
‘ я \ 8 . Вычислите a) sin (arcsin х)\ б) sin Y —arccosje 1.

46

Школьная математика
Математика в школе

#функция #математика #анализ #математический_анализ

 

Арксинус