ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Библиотека учителя математики.
ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ.
СБОРНИК СТАТЕЙ.

В. А. Гусев, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, Д. И. Хан

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):

Скачать бесплатно в PDF формате «Сборник статей: Преподавание геометрии в 6-8 классах» на странице Учебники Скачать.

На главную страницу Библиотека учителя математики. ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ. СБОРНИК СТАТЕЙ.

В. А. Гусев, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, Д. И. Хан
ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.

Настоящая статья является переработанным и дополненным
вариантом книги В. А. Гусева, Ю. М. Колягина, Г. Л. Луканкина
«Векторы в школьном курсе математики». Одними из фундаментальных
понятий современной математики являются вектор и его
обобщение — тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась
благодаря широкому использованию этого понятия в различных
областях математики, механики, а также в технике. Работы Г. Вес-
селя, Ж- Аргана и К. Ф. Гаусса по теории комплексных чисел установили
связь между арифметическими операциями над комплексными
числами и геометрическими операциями над векторами в
двумерном пространстве — на плоскости.
В середине прошлого столетия в работах В. Гамильтона,
Г. Грассмана, Ф. Мебиуса понятие вектора нашло широкое применение
при изучении свойств трехмерного и многомерного пространств.
Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались
широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были
созданы векторная алгебра и векторный анализ, теория поля,
тензорный анализ, общая теория многомерного векторного пространства:
Эти теории были использованы при построении специальной
и общей теорий относительности, которые играют исключительно
важную роль в современной физике.
В математике в настоящее время на векторной основе излагаются
линейная алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрии.
До введения в школе новых программ по математике с понятием
вектора учащиеся впервые встречались в курсе физики (скорость,
сила, ускорение, напряженность магнитного поля и т. п.).
Лишь при изучении тригонометрических функций в традиционном
курсе школьной математики использовалось понятие вектора. Поэтому
у учащихся обычно складывалось неправильное представление
о том, что вектор — понятие физическое. Между тем вектор —
понятие математическое, которое находит применение в физике
или других прикладных науках и которое позволяет упростить

126 ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
рассмотрение некоторых вопросов, а также решение задач этих
наук.
Одним из ведущих понятий современной математики является
понятие векторного пространства. Оно имеет широкие приложения
в математике, в таких ее разделах, как «Линейная алгебра», «Линейное
программирование», «Функциональный анализ» и т. д., а
также во многих разделах физики. В рамках теории трехмерного
векторного пространства может быть построен курс стереометрии,
отличающийся от традиционного курса евклидовой геометрии
большим изяществом и компактностью (хотя и менее наглядный и
менее доступный для первоначального изучения). Если считать
известным определение коммутативной группы, то векторное пространство
можно определить следующим образом.
Более подробные сведения о векторном пространстве читатель
может найти в книге: К о л я г и н Ю. М., Л у к а н к и н Г. Л.
Основные понятия современного школьного курса математики.
Под ред. А. И. Маркушевича. М., Просвещение, 1974, с. 132.
Множество V называется действительным векторным пространством,
если:
1. V является коммутативной группой относительно операции,
называемой сложением.
2. Определена операция, называемая умножением элементов
множества V на действительное число, так что если а — произвольный
элемент У, а а — произвольное действительное число, то
а • а £ V и, кроме того, выполняются следующие свойства для
произвольных действительных чисел а, р и произвольных элементов
а, Ъ из V:
1) (а • Р) • а = а • (Р * а) — смешанная ассоциативность;
2) ( а + Р ) * я — а • а + р • а — дистрибутивность относительно
сложения чисел;
3) а • (а + Ь) = а • а + а • b — дистрибутивность относительно
сложения элементов из V:
4) 1 — а = а.
Элементы векторного пространства называются векторами.
Так как элементы множества V могут быть элементами самой
разнообразной природы, то примеры векторных пространств весьма
многочисленны. В частности, векторными пространствами (с
обычными операциями сложения векторов и умножения вектора
на действительное число) являются:
а) множество многочленов степени не выше п с действительными
коэффициентами;
б) множество всех векторов плоскости, отложенных от начала
координат;
в) множество «свободных» векторов.
Упорядоченный набор п действительных чисел аъ а2У …, ап
называется я-мерным вектором (числа аъ а2, …, ап называются
координатами вектора, а число п — его размерностью). Определим
сложение дву$ векторов А = (av а2} …, ап) и В = (Ь1У &2, …, Ьп)

127 ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

следующим образом: А + В = (ах + bv а2 + Ь2, ап 4- Ьп), а
умножение на число а так: а • А = (а • ах, се • а2, а — ц п ) ,
тогда множество n-мерных векторов образует ^-мерное векторное
пространство.
Читатель без труда обнаружит, что множество всех параллельных
переносов плоскости образует двумерное векторное пространство,
а параллельные переносы пространства можно рассматривать
как элементы трехмерного векторного пространства.
Концепция векторного пространства и рассмотрение векторов
как элементов этого пространства, являясь наиболее общей и широко
используемой в математике и ее приложениях, не может быть
прямо перенесена в школу в рамках действующих учебников и
программ. Необходима серьезная перестройка всего стиля изложения
школьной математики для введения в нее понятия «векторное
пространство».

128 ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Околоadmin