§ 4. Определение логарифма

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 8
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ЛОГАРИФМЫ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Определение логарифма

Определение . Логарифмом числа N по основанию а называется
показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить N.
Для обозначения логарифма употребляется знак log. Тот факт,
что число х является логарифмом числа N по основанию а, записывается
так:
loga N — x.
По определению N = a l0%aN. Например, log*8 = 3, так как 23 = 8;
log2y = — 3, так как 2~3 = у ; log10100 = 2; log100 10 = -5-.

§ 5. Логарифмическая функция

Пусть й) >0 и отлично от единицы. Возьмем произвольное положительное
число у . Как показано (п. 6 § 2), уравнение
ах— у
имеет единственное решение. Это значит, что всякое положительное
число у по любому основанию (положительному и отличному от
единицы) имеет единственный логарифм
* x = logay.

393 Определение логарифма. Кабинет Математики.

Это утверждение называется теоремой о существовании логарифма,.
,
Придавая числу у различные положительные значения, будем по-,
лучать различные значения x — \ogay и при этом каждому положительному
значению у будет соответствовать одно и только одно
значение х . Это означает, что х является функцией от у , определенной
и однозначной для всех положительных значений у . Функция эта
называется логарифмической.
Логарифмическая функция х — \оga y связана с показательной
функцией у — ах следующим образом.
Показательная функция дает описание изменения степени числа сг
в зависимости от изменения показателя степени; логарифмическая
функция дает описание изменения показателя степени в зависимости
от изменения степени числа а,
Иными словами, показательная функция дает описание изменения
числа в зависимости от изменения его логарифма по основанию а\
логарифмическая функция дает описание изменения логарифма числа
по основанию а в зависимости от изменения числа,
Таблица значений показательной функции при данном основании а
является одновременно и таблицей значений логарифмической функции
при том же основании а.
Г рафик показательной функции у==ах является одновременно и
графиком логарифмической функции^ x — logау (см. рис. 83 и 84),
только в одном случае значения независимого переменного отложены
на горизонтальной оси, а
значения функции — на вертикальной;
в другом случае, наоборот,
значения функции отложены на
горизонтальной оси, а значения не-,
зависимого переменного на вертикальной.
Показательная функция при основании
а и логарифмическая функция
при том же основании представляют
пример двух обратных друг другу
функций.
Обычно принято значения независимого
переменного , обозначать
буквой х и откладывать на горизонтальной оси, а значения функции
обозначать буквой у и откладывать на вертикальной оси.
Если придерживаться этого правила, то для функции у = ах обратной
будет функция у = loga х , а графиком функции y — loga x
будет служить кривая, получаемая из графика функции у = (рис. 83,
84) посредством преобразования симметрии относительно прямой
у = х , т. е. посредством переноса каждой точки М(а, Ь) в точку
М2 (by а) (рис. 87).

394 Определение логарифма. Кабинет Математики.

Упражнения
На рис. 88 изображен график функции = log10.*:. {На оси Оу за единицу
масштаба принят отрезок ,в 10 раз больший, чем на оси Ох).
§ 6 ] СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ ЧИСЕЛ 3 9 5
Пользуясь этим графиком, определить
1. log105,6. 2. log108,3. 3. x t если 1) log10лг = 0,8; 2) log10л: = 2,8;
3) log1(> = — 0,2.

395 Определение логарифма. Кабинет Математики.

Околоadmin