§ 10. Некоторые приложения комплексных чисел

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 9
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Некоторые приложения комплексных чисел

Как сказано выше, комплексные числа широко применяются к решению
разных задач естествознания и техники. Здесь не представляется
возможным показать эти важные приложения комплексных чисел.
Ограничимся решением одной задачи тригонометрии и одной
задачи арифметики. Эти задачи покажут, что при помощи комплексных
чисел можно довольно просто получить результаты, которые без
их помощи получаются значительно более сложным путем

437 Некоторые приложения комплексных чисел. Кабинет Математики.

1. Вывод формул для cos яср и sin яср. Разложим выражение
(cos <р —f— £ sin <рУ по формуле Ньютона
(cos <р -|- i sin 9)» = cos’* <р -f- iCJ, cos»- 1 9 sin <p — C% cos’*-9 9 sin* 9 —
— iCn cos’*-8 9 sin8 9 -Jr C£ cos’*-4 9 sin4 9 + . . .
или
(cos 9 -f-isin 9)в= (со 8я9— C£cos”_*9 Sin*9 -f-Cicos»_49 Sin49— …)-+-
-f- i (Cn cos”- 1 9 sin 9 — Qi cos’*-8 9 sin8 9 -j- •. •)•
По формуле Муавра
(cos 9 -f-1 sin 9)“ = cos «9 -f-1 sin «9.
Два комплексных числа равны, значит, равны их действительные и мнимые
части, т. е.
cos Л9 = cos” 9 — С£ cos»‘* 9 sin* 9 -j- CJ cos»-4 9 sin4 9 -f-
-f- C£ cos»-* 9 sin* 9 -j-..
sin nf = Ck cos’,_1-9 sin 9 — C\ cos”-8 9 sin8 9 -f- cos»-8 9 sin 8 9 —
cos/19 и sin/19 представлены в виде многочленов я-й степени от
cos 9 и sin 9.
При п— 2 имеем
cos 29 = cos*9 — sin* 9; sin 29 == 2 sin 9 cos 9.
При п = Ъ имеем
cos З9 = cos8 9 — 3 cos 9 sin* 9; sin З9 = 3 cos* 9 sin 9 — sin* 9.
2. Теорема. Произведете двух чисел, каждое из которых
есть сумма квадратов двух целых чисел, есть опять сумма
квадратов двух целых чисел.
Это — теорема арифметики.
Доказательство. Пусть от= а* Ь\ n = ci -\-d*, Где а, Ь,
I с, d — целые числа. Тогда
tn = (a -f- Ы) (а — bi),
n=(c-\-di)(c— di),
отсюда
тп — (а-\- bi) (а — bi) (с -j- di) (с — di).
Перегруппируем сомножители
тп = [(а + bi) (с -f- di)] [(а — Ы) {с — di)] =
= [(ас — bd) -f- (ad -j- be) i][ac — bd) — (ad -f- be) i] =
= (ac — bdf bcf.
Теорема доказана.

438 Некоторые приложения комплексных чисел. Кабинет Математики.

Можно перегруппировать сомножители и так:
тп = [{a -f- bi) {с — di)] [{а — bi) {с -f- di)] =
s=r [{ас -f- bd) -f- {be — ad) i] [{ac + bd) — {be — ad) i] =
= {ac + b d f + {be — ad)\
Мы получили второе представление произведения тп в виде суммы
квадратов двух целых чисел.
Пример. 10 = l 2-j-3 2; 29 = 22-f-52. Здесь т = 10; « = 29;
а = 1; Ь = 3; с — 2; d — 5; ас — bd — — 13; ad-\-bc = \ \ \
a c -\-b d— Yl\ be — a d = 1.
Значит,
290 = 132 + 1 1 2; 290 = 172 + I2.
Упражнения
Доказать, что
1. 1, если п делитсякна 4.
2. = если п при делении на 4 дает в остатке 1.
3 . /«== — если п при делении на 4 дает в остатке 2.
4. in = — /, если п при делении на 4 дает в остатке 3.
5. Показать, что определение абсолютной величины комплексного числа
в применении к вещественным числам совпадает с определением абсолютной
величины вещественного числа.
6. Доказать, что комплексное число равно нулю тогда и только тогда,
когда модуль его равен нулю.
7. Доказать, что квадратный корень из любого комплексного числа существует
и имеет два значения.
8. Доказать, что квадратное уравнение с вещественными коэффициентами
и отрицательным дискриминантом имеет комплексные сопряженные
корни.
9. Доказать, что теорема Виета справедлива и для случая, когда корци
квадратного уравнения мнимы.

439 Некоторые приложения комплексных чисел. Кабинет Математики.

Околоadmin