55.2. СТРЕМЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ К НУЛЮ
Чтобы посмотреть книгу онлайн или скачать в хорошем качестве, откройте страницу КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.
Ниже просто представлен текст для быстрого ознакомления с материалом.
Большую роль в теории тригонометрических рядов играет
тот факт, что коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой
функции стремятся к нулю при п-> со. Он вытекает из
доказываемого ниже несколько более общего утверждения,
часто применяемого в исследованиях, относящихся к рядам
Фурье и смежным вопросам.
Т е о р е м а 2 (теорема Римана). Если функция / абсолютно
интегрируема на промежутке (a, h ). конечном или бесконечном,
то
ь ь
lim |/(,т ) cos vx dx = lim j/(.v)sin v xd x — 0.
V—1• * a v- ° ° a
Сл е д с т в и е . Коэффициенты Фурье (55.6) абсолютно интегрируемой
функции стремятся к нулю при п —> х .
стр. 11 СТРЕМЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ К НУЛЮ
Прежде чем доказывать эти утверждения, введем ряд понятий,
которые будут неоднократно использоваться в дальнейшем.
Определение 4. Для всякой функции /’ определенной на всей
числовой оси, замыкание множества точек, в которых f i x ) ф О,
называется ее носителем и обозначается через supp / * .
Определение 5. Функция / , определенная на всей числовой оси,
называется финитной, если ее носитель содержится в некотором
конечном отрезке.
Определение 6. Для всякого множества Е, лежащего на
числовой прямой, функция
называется характеристической функцией множества Е.
На рис. 246 изображена характеристическая функция полуинтервала-
вида [а, Ь).
Определение 7. Функция / ’ определенная на всей числовой оси,
называется финитной ступенчатой функцией, если она является
линейной комбинацией конечного числа характеристических
функций попарно не пересекающихся полуинтервалов [я;, bt), i = 1,
2, …, т, т. е. если она представима в виде
(рис. 247), где / , (л)— характеристическая функция интервала
[я;, Ь;), а /=1, …, т,— некоторые действительные числа.
Нетрудно убедиться, что если не требовать, чтобы полуинтервалы
[я;, bt), i= 1, 2, …, т, попарно не пересекались, то
получится равносильное определение. Это следует из того, что
пересечение конечного числа рассматриваемых ограниченных
полуинтервалов является также полуинтервалом того же вида.
Очевидно, всякая функция вида (55.7) финитна.
стр. 12 СТРЕМЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ К НУЛЮ
Финитная ступенчатая функция / интегрируема на всей
числовой оси, при этом если она задана формулой (55.7), то
J f ( x ) d x = X К j 1 i(x )d x= X h \ d x = X
— оо i — 1 — oo i= 1 ai i = 1
У п р а ж н е н и е 3. Доказать, что всякая непрерывная на отрезке функция
является пределом равномерно сходящейся последовательности финитных
ступенчатых функций, носители которых принадлежат тому же отрезку.
Л е м м а 2. Д ля любой функции / ’ абсолютно интегрируемой
на конечном или бесконечном промежутке с концами а и Ь,
— о о < я < 6 < + оо, существует последовательность таких финитных
ступенчатых функций ц>„, п= 1, 2, …, что:
Г) supp ф„с:(а, Ь),
2°) lim j |/ ( x ) —ф„(.т)| rfx = 0.
n — . c c а
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть функция / абсолютно интегрируема
на промежутке с концами а и Ь. Допустим
для определенности, что она интегрируема на любом отрезке
[£, г|], — о о ^ а < 1 ;< Г |< 6 ^ — |-о о
(общий случай абсолютно интегрируемой функции, см. п. 55.1,
легко сводится к этому). Тогда, согласно определению несобственного
интеграла, для любого фиксированного числа г> 0
существуют такие числа ^ и ц, что
\f{ x )\d x+ | f ( x ) \d x < z-. (55.8)
Функция / интегрируема по Риману на отрезке [^, г|]
и, следовательно, если обозначить через sr нижнюю сумму
Дарбу функции / , соответствующую разбиению х отрезка
К , л ], то
п
lim .vT= f f(x )d x ,
|тН0 ^
где |x |—мелкость разбиения х. Поэтому существует разбиение
х0 = {.\’,}-=’| отрезка [^, ц] такое, что если s — — -нижняя
сумма Дарбу для функции / , соответствующая разбиению
стр. 13 СТРЕМЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ К НУЛЮ
где в — фиксированное выше число.
Положим
Ф * ) = 0, если х<£, или х ^ р .
Очевидно ф(х) — финитная ступенчатая функция,
П к
supp ф с [ ^ , р ] с (а, Ь) и J ф (х) dx = Y, т; &x i = х
5 < = 1
Следовательно,
(55.9)
Ч)’
[ / (х) — ф (х) ] dx = / ( х ) с/х — Ф (х) dx = f ( x ) d x — s XQ<^, (55.10)
при этом поскольку ф (х )< /(х ), ^ х < р , то
/ (х ) — ф (х) = |/(х ) — ф (х)| ^ 0.
Из неравенств (55.8) и (55.10) имеем
I |/(х ) -ф (х ) |с /х = | |/(x ) |c /x + J [ / ( х ) -ф ( х ) ] с / х + | |/(х ) | с/х <8.
Полагая, например, в = — и обозначая соответствующие финитные
ступенчатые функции ф через ф„, п= 1, 2, …, получим
последовательность финитных ступенчатых функций фп, для
которой выполняется утверждение леммы. □
З а м е ч а н и е 1. Заметим, что из определения ступенчатой
функции ф, построенной при доказательстве теоремы 2 (см.
(55.9)), следует, что если для всех х е [^ , р ] выполняется
стр. 14 СТРЕМЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ К НУЛЮ
то выполняется и неравенство
|ф(*)1 Недействительно,
если — с < /( х )< с , то для любой точки
х е [* ;_ !, х ,], i= l , 2, /0, имеем
— c ^m,= inf / ( х ) ^ с .
[*. i-т]
Поэтому (см. (55.9)) для всех т е [ т Ь 1 , х,) выполняется
неравенство — с ^ф( х ) ^ с , т. е. |ср(х)|^с на всех полуинтервалах
[х,_!, х,). а следовательно, и на отрезке [£, р ] (заметим, что
ф ( пМ ) .
З а м е ч а н и е 2. Отметим, что из условия supp/ci(fl, b )
следует, что функция / равна нулю в некоторых окрестностях
точек а и Ь. Действительно, носитель supp/ функции / является,
согласно определению, замкнутым множеством, и так как точки
а и b ему не принадлежат, то они не являются его точками
прикосновения. Поэтому у них существуют окрестности, не
содержащие точек множества supp/ ’ и во всех точках этих
окрестностей функция / равна, очевидно, нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р ем ы. Пусть р(х) — характеристическая
функция полуинтервала [%, р). Тогда для любого
интервала (а, 6 )=>[£;, р] будем иметь
lim
V- ч ►ОС
Ч
X (х) sin vx dx = lim f sin vx dx = lim c-°s-——cos vr| = 0,
V— > 0 0 J V— ►CO
ибо
COS V^ —COS VT) [cos v^| + | cos v’H |___ 2__
|v| «|V| ’ ►00.
Так как любая финитная ступенчатая функция является
линейной комбинацией конечного числа характеристических
функций полуинтервалов рассмотренного вида, то утверждение
теоремы справедливо и для любой финитной ступенчатой
функции.
Если теперь функция / является абсолютно интегрируемой
на промежутке с концами а и Ь, — о о < а < 6 < + оо, то для
любого числа s>0, согласно лемме существует финитная
ступенчатая функция ф, такая, что
стр. 15 СТРЕМЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ К НУЛЮ
Для этой ступенчатой функции (поскольку для ступенчатых
функций теорема уже доказана) существует такое vE, что при
I v I > V,
Ф (х) sin vx dx в
2
Поэтому, используя тождество / ( * ) = [/(•*) — ф(х)] + ф(х), при
| V | > ve получим
J /(x ) sin v x d x < J [ /(х ) — ф (х)] sin vx dx +
+ J Ф (х) sin v x d x |/ ( х ) -ф ( х ) | dx + Ф (x) sin vx dx в , E < — + — = 8.
2 2
Это означает, что lim j f ( x ) sin v x d x = 0.
v^oo a
Аналогично доказывается, что
стр. 16 СТРЕМЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ К НУЛЮ
Л. Д. КУДРЯВЦЕВ
КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
В ТРЕХ ТОМАХ Том 3
Околоadmin
