КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Смотреть книгу онлайн в хорошем качестве на сайте Slideshare.net. (скоро)
Скачать КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА в хорошем качестве. (скоро)
Л. Д. КУДРЯВЦЕВ
КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие………………………………………………………………………………………………………………….. 5
ГЛАВА VII
РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 55. Тригонометрические ряды Фурье …………………………………………………………… 6
55.1. Определение ряда Фурье. Постановка основных задач ………. 6
55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю …………………………. 11
55.3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации …………………………… 16
55.4. Сходимость рядов Фурье в точке ………………………………………….. 22
55.5*. Сходимость рядов Фурье для функций, удовлетворяющих
условию Гёльдера ………………………………………………………………………….. 35
55.6. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических
…………………………………………………………………………………………………… 38
55.7. Приближение непрерывных функций многочленами …………. 44
55.8. Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных
целых степеней х в пространстве непрерывных
функций ……………………………………………………………………………………………….. 47
55.9. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство
Бесселя и равенство Парсеваля ……………………………………………….. 50
55.10. Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование
рядов Фурье ……………………………………………………………………. 54
55.11. Почленное интегрирование рядов Фурье ……………………………… 58
55.12. Ряды Фурье в случае произвольного интервала ………………. 62
55.13. Комплексная запись рядов Фурье …………………………………………… 63
55.14. Разложение логарифма в степенной ряд в комплексной
области ……………………………………………………………………………………………….. 65
55.15. Суммирование тригонометрических рядов ……………………………. 66
§ 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье ………………………………………….. 69
56.1. Представление функций в виде интеграла Фурье ……………. 69
56.2. Различные виды записи формулы Фурье …………………………….. 78
56.3. Главное значение интеграла ………………………………………………………. 79
56.4. Комплексная запись интеграла Фурье ……………………………………. 81
56.5. Преобразование Фурье ………………………………………………………………….. 81
56.6. Интегралы Лапласа ……………………………………………………………………….. 84
56.7. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых
функций ……………………………………………………………………………………………….. 86
56.8. Преобразование Фурье производных ………………………………………. 88
56.9. Свертка и преобразование Фурье …………………………………………….. 90
56.10. Производная преобразования Фурье функции ……………………. 93
ГЛАВА VIII
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 57. Метрические пространства ………………………………………………………………………… 96
57.1. Определения и примеры ………………………………………………………………… 96
57.2. Полные пространства .’…………………………………………………………………….. 101
57.3. Отображения метрических пространств ……………………………………. 107
57.4. Принцип сжимающих отображений ………………………………………….. 111
57.5. Пополнение метрических пространств ……………………………………… 116
57.6. Компакты ……………………………………………………………………………………………… 120
57.7. Непрерывные отображения множеств ……………………………………….. 132
57.8. Связные множества …………………………………………………………………………… 133
57.9. Критерий Арцела компактности систем функций ………………. 134
§ 58. Линейные нормированные и по. ^’нормированные пространства 137
58.1. Линейные пространства ………………………………………………………………… 137
58.2. Норма и полунорма ……………………………………………………………………… 148
58.3. Примеры нормированных и полунормированных пространств 150
стр. 3 Математический Анализ
58.4. Свойства полунормированных пространств ………………………… 156
58.5. Свойства нормированных пространств …………………………………. 161
58.6. Линейные операторы ……………………………………………………………………. 168
58.7. Билинейные отображения нормированных пространств … 176
58.8. Дифференцируемые отображения линейных нормированных
пространств ……………………………………………………………………………………….. 181
58.9. Формула конечных приращений ………………………………………………. 185
58.10. Производные высших порядков ……………………………………………….. 187
58.11. Формула Тейлора …………………………………………………………………………… 189
§ 59. Линейные пространства со скалярным произведением ………………….. 191
59.1. Скалярное и почти скалярное произведения ………………………… 191
59.2. Примеры линейных пространств со скалярным произведением 195
59.3. Свойства линейных пространств со скалярным произведением.
Гильбертовы пространства ………………………………………………………….. 197
59.4. Пространство L2 ………………………………………………………………………………. 202
§ 60. Ортонормированные базисы и разложения но ним ……………………….. 220
60.1. Ортонормированные системы …………………………………………………….. 220
60.2. Ортогонализация …………………………………………………………………………….. 224
60.3. Полные системы. Полнота тригонометрической системы и
системы полиномов Лежандра …………………………………. .’…………….. 226
60.4. Ряды Фурье ……………………………………………………………………………………… 230
60.5. Существование базиса в сепарабельных гильбертовых пространствах.
Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств
………………………………………………………………………………………………. 240
60.6. Разложение функций с интегрируемым квадратом в ряд
Фурье ……………………………………………………………………………………………………. 244
60.7. Ортогональные разложения гильбертовых пространств в
прямую сумму …………………………………………………………………………………. 249
60.8. Функционалы гильбертовых пространств …………………………….. 255
60.9*. Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций.
Теорема Планшереля …………………………………………………………………….. 258
§ 61. Обобщенные функции ………………………………………………………………………………… 268
61.1. Общие соображения …………………………………………………………………………. 268
61.2. Линейные пространства со сходимостью. Функционалы. Сопряженные
пространства ………………………………………………………………. 275
61.3. Определение обобщенных функций. Пространства D и D’ 279
61.4. Дифференцирование обобщенных функций …………………………….. 285
61.5. Пространство основных функций 5 и пространство обобщенных
функций S’ ……………………………………………………………………………… 289
61.6. Преобразование Фурье в пространстве S ………….. 292
61.7. Преобразование Фурье обобщенных функций …………………………….. 295
ДОПОЛНЕНИЕ
§ 62. Некоторые вопросы приближенных вычислений ……………………………….. 305
62.1. Применение формулы Тейлора для приближенного вычисления
значений функций и интегралов ………………………………….. 305
62.2. Решение уравнений ……………………………………………………………………………. 309
62.3. Интерполяция функций …………………………………………………………………. 316
62.4. Квадратурные формулы …………………………………………………………………. 318
62.5. Погрешность квадратурных формул ………….. 321
62.6. Приближенное вычисление производных …………………………………. 326
§ 63. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов ……….. 329
§ 64. Предел но фильтру ……………………………………………………………………………………. 331
64.1. Топологические пространства ……………………………………………………….. 331
64.2. Фильтры ……………………………………………………………………………………………….. 333
64.3. Предел фильтра …………………………………………………………………………………. 337
64.4. Предел отображения по фильтру ………………………………………………. 338
Предметно-именной указатель ……………………………………………………………………………. 344
Указатель основных обозначений …………………………………………………………………….. 351
стр. 4 Математический Анализ
ПРЕДИСЛОВИЕ
В первой половине третьего тома «Курса математического
анализа» излагается теория тригонометрических рядов
Фурье: сначала изучается их поточечная сходимость и
сходимость в среднем, а затем классическая теория преобразования
Фурье абсолютно интегрируемых функций. Изложена
также теория интегралов, зависящих от параметра
(собственных и несобственных) и рассматривается вопрос о
вычислении определенных интегралов с помощью дифференцирования
и интегрирования интегралов по параметру.
Во второй половине третьего тома изучаются некоторые
вопросы теории метрических, нормированных, гильбертовых
пространств и пространств обобщенных функций, идейно
связанные с задачами классического анализа. Эта часть курса
существенно расширена по сравнению с первым изданием
«Курса». В ней, в частности, установлен ряд свойств
отображений метрических пространств, обобщающих свойства
числовых функций, получена формула Тейлора для
отображений нормированных пространств, изложены основы
теории разложений элементов гильбертовых пространств в
ряды Фурье по ортогональным системам и дана теория
преобразования Фурье обобщенных функций.
В конце тома имеется «Дополнение», в котором рассмотрены
некоторые вопросы численных методов анализа
(приближенное вычисление значений функции, ее производной
и интеграла от нее, приближенное решение уравнений) и
теория предела отображения по фильтру, которая включает в
себя как частный случай пределы, изучавшиеся в «Курсе»
ранее.
Нумерация глав, параграфов и рисунков продолжает
нумерацию первых двух томов курса.
стр. 5 Математический Анализ
Л. Д. КУДРЯВЦЕВ
КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
В ТРЕХ ТОМАХ Том 3
Околоadmin
