§ 15. Извлечение корня из произведения, дроби и степени
Ч А С Т Ь II. ГЛАВА I. СТЕПЕНЬ, КОРНИ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Возвращаемся к свойствам корней любой степени из числа.
В формулировках теорем мы будем предполагать, что все числа, участвующие
в действии, положительны и значения корней имеются в виду
250 Алгебра Извлечение корня из произведения, дроби и степени, Библиотека учителя математики
арифметические (т. е. положительные). Без этих предположений некоторые
из теорем могут оказаться неверными, что будет оговорено в
специальных замечаниях.
ЧП в семье Порошенко — сын попал в ДТП
При действиях над корнями постоянно приходится пользоваться
тождеством
( У ^ Л = «
и, в частности,
(У Г У = а.
Эти тождества непосредственно следуют из определения корня.
Действительно, п/ а есть такое число, которое при возведении в
л-ю степень дает а. Следовательно, ( п ^ у = а
Верно и следующее полезное тождество. Если а положительно, то
у & — а.
Действительно, по определению арифметического значения корня,
Уап есть такое положительное число, которое, при возведении в
степень с показателем л, дает ап. Таким числом является ау и других
положительных чисел, удовлетворяющих этому требованию, не
существует в силу единственности арифметического значения корня
из положительного числа. Следовательно, / ап = а .
Заметим сразу, что это утверждение неверно для четного показателя
п и отрицательного а. Например, / ( —2)а = 2 , а, не — 2, и
вообще \f~oF = | а |, но не всегда / я 2 = я.
Те о р ема 1. Корень из произведения двух или нескольких
положительных чисел равен произведению корней той же степени
из сомножителей, т. е.
У а • Ь.. А = У а • » / Г . . У Т .
До к а з а т е л ь с т в о . По свойству степени произведения,
(У а У ь . . у г г = (У 5 > (У Г ) » .. . (У Г >Л = а .Ь ..Л .
Итак, «/о”п/Ь . . .У k при возведении в л-ю степень дает а Ь..Л.
Поэтому У < Г У & …П(/аГ есть одно из значений У a b …k .
Далее, У а п/ Т . . .п/&~ есть число положительное, так как все
a, положительны и значения корней арифметические. Следовательно,
* / a n/ b . . ! Y k есть арифметическое значение корня л-й
степени из числа ab. .. k, т. е.
. Vo» V T . . .n/ k = У аЬ ~Л ,
что и требовалось доказать.
Зам ечание. Без предположения положительности множителей
теорема теряет смысл, если п есть четное число, и ее неправильное
применение может привести к получению нелепых результатов. Например,
1 = 1/ Т = У ( — 1 ) ( — 1 ) = у = г = (У = Т ) в
и, по определению корня, ( ] /—1 ) а — —1. Получили нелепость: 1 =
= —1. Здесь все дело в том, что в ходе выкладки мы, неправильно
применив теорему 1, ввели в рассмотрение выражение У —1 У —1,
не имеющее смысла в области действительных чисел.
Если же еще расширить понятие числа, введя так называемые комплексные
числа (что будет сделано в гл. IX книги), то выражение )Л— 1 становится
осмысленным, но в области комплексных чисел теорема 1 перестает
быть верной в данной ее формулировке. Будет верна лишь следующая ослабленная
формулировка:
П/ а У ь . . ? /k есть одно из значений п/ а • £…&•
Те о р ема 2. Корень из частного от деления двух положительных
чисел равен частному от деления корней той же степени
из делимого и делителя, т. е.
251 Алгебра Извлечение корня из произведения, дроби и степени, Библиотека учителя математики
Д оказательство.1-^-рг-1 = tn / \n = Т и’ слеД°вательно>
252 СТЕПЕНЬ, КОРНИ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ чи сла [гл. I
ПI/ ^ ___
есть одно из значений 1 / JL , именно арифметическое, так как
Уъ \ У ь __
числа а и Ь положительны и корни У а , УТГарифметические.
Те о р ема 3. Значение корня из положительного числа не
изменится, если подкоренное’ число возвысить в некоторую степень
и одновременно умножить показатель корня на показатель
той степени, в которую возведено подкоренное число, т. е.
Яу / —а= = nkу г а-£гГ .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно правилу возведения степени в степень
(Va ) nft= [ ( y ^ ] ft = aft, ибо (У а )П = а.
Следовательно, п/~а есть одно из значений корня степени nk из числа
ak. Так как, по предположению, а положительно и У а , как арифметическое
значение корня, тоже положительно, то У а есть арифметическое
значение корня степени nk из числа ak, т. е.
что и требовалось доказать.
Замечание . При отрицательном а теорема оказывается, вообще
говоря, неверной. Например, 3/ —2 есть отрицательное число, а
У е ^ = у т есть число положительное. Следовательно, 3/ —2 не
равно У (—2)2.
252 Алгебра Извлечение корня из произведения, дроби и степени, Библиотека учителя математики
Околоadmin
Comments