§ 8. Некоторые свойства степени с любым вещественным показателем

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 6
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Некоторые свойства степени с любым вещественным показателем

Те о р ема 1.
1) Вели а^> 1 и а^>0, то а* [> 1;
2) если 0 < а < 1 и а > 0 , то аа < 1 ;
3) если а [> 1 и а < 0, то а* < 1;
4) если 0 < а < 1 и а < 0 , то а*^> 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Это утверждение доказано для случая, когда
а рационально (теорема 1 § 6).
Пусть а иррациональное. Рассмотрим последовательность {ал} десятичных
приближений а с недостатком с точностью до (0,1 У*. Среди членов этой
последовательности должны находиться. и положительные числа, так как
если бы ап 0 при всех я, то и и т а Л^ 0 , т. е. и а ^ 0 .
Пусть аЛ> 0 , тогда яая > 2 (теорема 1 §6). Но ва > а ая Значит,
яа> 1.
2) Положим тогда 1. По доказанному а *« > 1 , значит,
3 8 8 ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНИ [ г л . VI
3) Пусть а > 1 ; а < 0 . Положим а = — р, тогда р > 0 . Рассмотрим
По доказанному в п. (1) Ф > 1. Значит,

386 Некоторые свойства степени с любым вещественным показателем. Кабинет Математики.

4) Пусть а < 1; а < 0 . Положим а = — р. Тогда
а« = а-Р = 1 > 1 ,
так как дР < 1 (по доказанному в п. 2).
Т е о р е м а 2. Если а > 1 и число а больше (3, то а* > дР, т. е. при
а > 1 функция ах возрастает.
Если 0 < а < 1 и а > {3, то а* < дР, т. е. при 0 < а < 1 функция ах
убывает.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а > 1 и а > р. Рассмотрим разность
а* — дР = дР (д«~Р — 1).
Так как а — {*> 0, то да~Р > 1 и, следоватейьно, а* — д Р > 0 .
Пусть 0 < д < 1 и а > р . Рассмотрим
а* — дР = дР (да~Р — 1).
Так как а — Р > 0 , то да~Р < ], и да— дР<0.

387 Некоторые свойства степени с любым вещественным показателем. Кабинет Математики.

Околоadmin