§ 4. Определение логарифма

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Определение логарифма

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

Определение . Логарифмом числа N по основанию а называется
показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить N.
Для обозначения логарифма употребляется знак log. Тот факт,
что число х является логарифмом числа N по основанию а, записывается
так:
loga N — x.
По определению N = a l0%aN. Например, log*8 = 3, так как 23 = 8;
log2y = — 3, так как 2~3 = у ; log10100 = 2; log100 10 = -5-.

§ 5. Логарифмическая функция

Пусть й) >0 и отлично от единицы. Возьмем произвольное положительное
число у . Как показано (п. 6 § 2), уравнение
ах— у
имеет единственное решение. Это значит, что всякое положительное
число у по любому основанию (положительному и отличному от
единицы) имеет единственный логарифм
* x = logay.

393  Определение логарифма

Это утверждение называется теоремой о существовании логарифма,.
,
Придавая числу у различные положительные значения, будем по-,
лучать различные значения x — \ogay и при этом каждому положительному
значению у будет соответствовать одно и только одно
значение х . Это означает, что х является функцией от у , определенной
и однозначной для всех положительных значений у . Функция эта
называется логарифмической.
Логарифмическая функция х — \оga y связана с показательной
функцией у — ах следующим образом.
Показательная функция дает описание изменения степени числа сг
в зависимости от изменения показателя степени; логарифмическая
функция дает описание изменения показателя степени в зависимости
от изменения степени числа а,
Иными словами, показательная функция дает описание изменения
числа в зависимости от изменения его логарифма по основанию а\
логарифмическая функция дает описание изменения логарифма числа
по основанию а в зависимости от изменения числа,
Таблица значений показательной функции при данном основании а
является одновременно и таблицей значений логарифмической функции
при том же основании а.
Г рафик показательной функции у==ах является одновременно и
графиком логарифмической функции^ x — logау (см. рис. 83 и 84),
только в одном случае значения независимого переменного отложены
на горизонтальной оси, а
значения функции — на вертикальной;
в другом случае, наоборот,
значения функции отложены на
горизонтальной оси, а значения не-,
зависимого переменного на вертикальной.
Показательная функция при основании
а и логарифмическая функция
при том же основании представляют
пример двух обратных друг другу
функций.
Обычно принято значения независимого
переменного , обозначать
буквой х и откладывать на горизонтальной оси, а значения функции
обозначать буквой у и откладывать на вертикальной оси.
Если придерживаться этого правила, то для функции у = ах обратной
будет функция у = loga х , а графиком функции y — loga x
будет служить кривая, получаемая из графика функции у = (рис. 83,
84) посредством преобразования симметрии относительно прямой
у = х , т. е. посредством переноса каждой точки М(а, Ь) в точку
М2 (by а) (рис. 87).

394 Определение логарифма

На рис. 88 изображен график функции = log10.*:. {На оси Оу за единицу
масштаба принят отрезок ,в 10 раз больший, чем на оси Ох).
§ 6 ] СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ ЧИСЕЛ 3 9 5
Пользуясь этим графиком, определить
1. log105,6. 2. log108,3. 3. x t если 1) log10лг = 0,8; 2) log10л: = 2,8;
3) log1(> = — 0,2.

406 Определение логарифма

Околоadmin