О ПОСТУЛАТЕ ЕВКЛИДА

ПРИБАВЛЕНИЕ В. О ПОСТУЛАТЕ ЕВКЛИДА

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

296. Мы допустили в качестве аксиомы (в п. 40), что через
данную точку нельзя провести более одной прямой, параллельной
данной прямой.
Это предложение или, точнее говоря, следующее равносильное,
ему предложение (п. 41, следствие I):
Если две прямые линии образуют с одной и той же секущей
два внутренних односторонних угла, сумма которых отлична от
двух прямых, то они не параллельны и пересекаются с той стороны
от секущей, где сумма углов меньше двух прямых,
\
*) Это можно доказать, перемещая преобразованную фигуру так, чтобы
одна из её точек совпала со своей соответственной и обе прямые были
бы отличны друг от друга; при этом вопрос сводится к разобранному в
упражнении 233.

262  ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА. 

фигурирует также среди предложений, принимаемых за очевидные
в „Началах» греческого геометра Е в к л и д а 1 ) , где в первый раз
и с замечательным совершенством были полностью изложены основы
геометрии, а также и во всех последующих сочинениях (для которых
это фундаментальное сочинение .Евклида всегда служило основой).
Однако продолжателей Евклида, как в древности^так и в средние
века и в новое время, постоянно удивляло место, отводимое этому
предложению, которое в действительности далеко не носит того очевидного
характера, которым обладают другие предложения, принимаемые
без доказательства, и вовсе не представляется a priori более
очевидным, чем многие из тех предложений, которые обычно доказываются.
В частности, им казалось странным, что Евклид принимает
как самоочевидное такое свойство прямых, которое вовсе не является
общим свойством всех линий2) (значение этого замечания будет
видно из дальнейшего).
297. Поэтому делались многочисленные попытки доказать постулат
Евклида. Все эти попытки оказались неудачными. В частности,
с целью доказать этот постулат от противного были выведены всевозможные
следствия из предположения, что постулат Евклида неверен;
получился ряд заключений, сильно отличающихся от тех, которые
получаются в обычной теории параллельных. Однако, как бы
далеко ни развивались эти следствия, в них нельзя было заметить
(по крайней мере, поскольку рассуждения были правильны) ни между
собой, ни с доказанными ранее предложениями никакого противоречия,
которое доказывало бы невозможность сделанного предположения.
/ 298. Гениальный математик Г а у с с 3 ) задался вопросом, существует
ли такое противоречие и не является ли предположение, что
постулат Евклида не имеет места, совместимым с другими аксиомами
геометрии и вытекающими из них следствиями; другими словами, не
окажется ли невозможным доказать рассматриваемое предложение.
Около того же времени Л о б а ч е в с к и й 4 ) и Б о й а й (Bolyai)8)
высказали, независимо друг от друга, ту же гипотезу и построили
геометрию, в которой все предложения, предшествующие постулату
Евклида или от него независимые, остаются теми же, как и в обычной
геометрии, в то время как все остальные предложения видоизменяются.
Результаты, к которым мы приходим в такой геометрии (называемой
неевклидовой геометрией), во многих случаях носят совершенно
парадоксальный характер и противоречат нашим обычным взглядам на
вещи; однако, какими бы удивительными ни казались они на первый

*) Около 300 г. до н. з,
2) В а л л и с (Wallis), 1663 — Gm. S t <Lc k е 1 и» E n g e l , Die Theorie der
Parallellinien, von Euklid bis Gauss, Leipzig, 1895.
8) 1777—1855 гг.
4) 1792—1856 гг.
5) 1802—1860 гг. — Существование неевклидовой геометрии более или
менее чётко предвиделось с различных точек зрения (ср. цитированную
— работу S t а с k е 1 und E n g e l ) .

263 ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА. 

взгляд, среди них нет ни одного, нелепость которого могла бы быть
установлена. Приводим некоторые из наиболее простых предложений.
В неевклидовой геометрии:
Через точку Л, лежащую вне прямой Д можно провести бесчисленное
множество прямых, лежащих с этой прямой в одной плоскости, но не
пересекающих этрй прямой*). Все эти непересекаюище прямые расположены
внутри некоторого угла с вершиной в точке А (й угла, ему верти-»
кального). Этот угол, называемый углом параллелизмаs), увеличивается
с увеличением расстояния точки А от прямой (черт. 235).

Любая прямая D’, лежащая внутри угла параллелизма, имеет с прямой
D один (и только один) общий перпендикуляр, который даёт кратчайшее
расстояние между двумя прямыми, так что если точка М описывает
прямую £)’, неограниченно удаляясь от этого общего перпендикуляра в ту
или другую сторону, то её расстояние от прямой D всё время возрастаем
и притом возрастает неограниченно. Иначе обстоит дело для прямых Д,
Д; служащих сторонами угла параллелизма: каждая из- этих дву&лфямых Ш неограниченно приближается к прямой Д не пересекая
её, если продолжать ее в том направлении, которое
образует острый угол с перпендикуляром, опущенным
из точки А на прямую Д если точка М
удаляется в бесконечность по одной из этих прямых
в выбранном таким образом направлении, то её расстояние
от прямой D стремится к нулю. Геометрическое
место точек, равноудалённых от данной прямой,
есть кривая линия.
Черт. 236. Сумма углов треугольника меньше двух прямых,
причём разность между двумя прямыми и суммой
углов пропорциональна площади треугольника. Отсюда, следует, что площадь
любого треугольника меньше определённой величины, как бы велики
ни были его стороны (когда стороны треугольника увеличиваются, то углы
уменьшаются и стороны треугольника в известном смысле „вдавливаются»
подобно тому, как это изображено на черт. 236). Точно так же сумма углов
я-угольника меньше (2п — 4)d, причём разность пропорциональна площади
многоугольника. Следовательно, не существует прямоугольников: если
четырёхугольник имеет три прямых угла, то четвёртый угол —- острый.
Не существует подобныхь) фигур (за исключением, конечно, равных
фигур). Два треугольника равны между собой, если они имеют соот*)
Можно доказать, что постулат Евклида будет либо всегда верен,
либо всегда неверен: нельзя допустить, что существует вне данной прямой
одна точка, через которую проходит только одна прямая, параллельная
данной прямой, не допустив того же самого для всех точек и всех прямых.
2) В русской литературе углом параллелизма обычно называют Z, 0ЛД
(черт. 235). Прим. ред. перевода.
3) Под этим термином мы понимаем здесь (в отличие от определения,
принятого в тексте книги) фигуры, у которых каждые два соответственных
угла равны и соответственные стороны пропорциональны.

264 ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА. 

ветственно равные углы. Допустить существование подобных фигур — значит
допустить постулат Евклида.
И. т. д.
Существует бесчисленное множество неевклидовых геометрий. В
самом деле, в соотношения, связывающие между собой различные
элемент одной и той же фигуры, входит, если принять гипотезу
Лобачевского, некоторое число раз навсегда определённое,
которое может иметь, однако, произвольное значение: например,
отношение площади треугольника к разности между 2d и суммой его
углов (как мы только что говорили, это отношение постоянно).
Евклидову геометрию можно рассматривать как предельный случай
неевклидовых геометрий: она соответствует k — сю.
299. Неевклидова геометрия представляется нам* таким образом,
как лишённая противоречий, как логически возможная. Является ли
она и э действительности непротиворечивой, как это думали её осно-
; вателц? Быть может, она только кажется нам такой в силу того,
что еШ недостаточно развита цепь её следствий? Не придём ли мы
к противоречию, которое не встретилось ни Гауссу, ни Бойайу, ни
Лобачевскому, с помощью более тщательных и более глубоких иссле-
, дований?
Можно утверждать, что этого не будет. Не развивая здесь детально
тех соображений, которые обосновывают непротиворечивость
неевклидовой геометрии *), мы заимствуем у Пуанкарэ 2) следующий
поразительно простой способ их изложения:
^Вообразим сферу 5 и внутри этой сферы —среду с переменным
показателем преломления и переменной температурой. Пусть в этой
среде перемещаются некоторые подвижные предметы; перемещения
этих предметов пусть происходят настолько медленно и пусть их
теплоёмкости^настолько малы, что они постоянно находятся в температурном
равновесии с окружающей средой; кроме того, пусть все эти
предметы имеют один и тот же коэффициент расширения, так что можно
определять температуру по величине любого из них. Пусть R — радиус
*) Можно заметить, что между изложенными выше фактами неевклидовой
геометрии и некоторыми фактами сферической геометрии имеется известная
аналогия, прйчём эти факты в известном смысле слова противоположны
друг другу: так, сумма углов сферического треугольника больше
двух прямых и разность между суммой углов и двумя прямыми пропорциональна
площади треугольника; два сферических треугольника, имеющих
соответственно равные углы, либо равны, либо симметричны, и т. д. Действительно,
геометрия на некоторых поверхностях (называемых псевдосфе-
рическими) оказывается тождественной с геометрией Лобачевского, Этим
путём была даже впервые доказана логическая возможность последней; однако
это доказательство ещё несовершенно, так как: 1) псевдосферические поверхности
нельзя рассматривать как неограниченно простирающиеся во всех
направлениях подобно плоскости; 2) оно приложимо лишь к плоской неевклидовой
геометрии и не исключает предположения о возможности доказать
постулат Евклида с помощью соображений, относящихся к геометрии в пространстве.
2) P o i n c a r e , Revue generate des sciences pures et appliquees, т. Ill, 1892,
стр. 75.

265 ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА.

центра; я предполагаю, что абсолютная температура в этой точке *)
равна — р2, а показатель преломления равен
Что думали бы при этом разумные существа, которые никогда
не имели бы возможности выйти за пределы такого мира?
1°. Так как размеры двух маленьких предметов, перемещающихся
из одной точки в другую, изменялись бы в одном и том же отношении
в силу того, что оба предмета имеют один и тот же коэффициент
расширения, то эти существа считали бы, что размеры предметов не
изменяются. Эти существа не имели бы никакого представления
о том, что мы называем разностью температур. Никаким термометром
они не могли бы эту разность температур обнаружить, так как
расширение оболочки термометра было бы одинаково с расширением
термометрической жидкости.
2°. Они считали бы, что сфера 5 бесконечна; действительно, они
никогда не смогли бы достичь её поверхности, потому что по мере
приближения к поверхности они попадали бы всё в более и более
холодные области; они становились бы всё меньше и меньше, не
догадываясь об этом, и потому делали бы всё более и более мелкие
шаги2). ‘_> ■
3°. То, что они назвали бы прямыми линиями, были ‘бы окружности,
ортогональные к шару 5, в силу следующих трёх причин:
a) это были бы траектории световых лучей;
b) измеряя с помощью масштаба различные кривые, наши воображаемые
существа обнаружили бы, что эти окружности представляют
собой кратчайшие расстояния между двумя точками: действительно,
их масштаб сокращался бы или растягивался при переходе из одной
области в другую, а они не подозревали бы этого обстоятельства;
c) если бы твёрдое тело вращалось таким образом, чтобы одна
из линий, проведённых внутри этого тела, оставалась неподвижной,
то такой линией могла бы быть только одна из этих окружностей;
так же как, если бы цилиндр медленно вращался около двух опор
и при этом нагревался бы с одной стороны, то геометрическим
местом его неподвижных точек была бы кривая линия, обращённая
выпуклостью к нагретой стороне, а не прямая линия.
*) Абсолютной температурой называется в физике температура, отсчитываемая
от нуля, выбранного таким образом, что температура оказывается
пропорциональной объёму термометрического вещества (в физике определённо
предполагается, что этим веществом служит fаз, далёкий от его точки
сжижения; в данном случае речь идёт о любом теле, так как все цредметы
имеют по предположению один и тот же закон расширения, и абсолютную
температуру можно принять пропорциональной г не объёму, а линейным размерам
тела).
2) Можно добавить, что в силу тех свойств, которые приписаны показателю
преломления, они не могли бы видеть того, что происходит вне
данного шара.

266 ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА.

Отсюда следует, что эти существа приняли бы геометрию Лобачевского»
1).
Теперь мы видим, что доказать постулат Евклида с помощью предшествующих
ему предложений невозможно; действительно, если бы
такое доказательство существовало, то оно было бы признано верным
и теми фиктивными существами, о которых шла речь (так как все предложения,
предшествующие постулату Евклида, были бы с их точки
зрения верными); однако оно приводило бы их к неверному результату*
так как для этих существ постулат Евклида не имеет места2),
И.
300. Какую же роль следует приписать этому предложению,
которое не столь очевидно, как аксиомы, и которое нельзя доказать,
как доказываются теоремы? ■
Роль этого предложения та же, что и определения. Чтобы понять,
что под этими словами следует подразумевать, мы должны сослаться
на сказанное в предыдущем прибавлении (Прибавление Л, п. 271).
Как там было указано, необходимо иметь определение каждого
понятия, встречающегося в наших высказываниях, — определение,
которое приходится употреблять в рассуждениях, подставляя его
каждый раз на место определяемого.
Однако существуют понятия, которые нами не были определены
и вообще не могут быть определены.
Действительно, ни одно понятие нельзя определить иначе, как
с помощью предшествующих ему понятий3), но это невозможно для
первых из вводимых нами понятий.
Но так как эти первые понятия ясны сами по себе и, следовательно,
обладают некоторым числом очевидных свойств, то роль определения
*) Произвольное постоянное, которое встречается в неевклидовой геометрии,
будет здесь радиусом ^лиара.
2) Этим фантастическим примером Пуанкарэ наглядно иллюстрирует ту
воображаемую обстановку, в которой правильной была бы именно геомет*
рия Лобачевского. Смысл рассуждения Пуанкарэ при этом сводится к следующему.
Поскольку это один из логически возможных („мыслимых») миров,
то логически возможна („мыслима»), следовательно, и геометрия Лобачевского,
т. е. постулат Евклида не может быть логическим следствием
остальных аксиом евклидовой геометрии, справедливых, как было указано,
и в геометрии Лобачевского. , Подлинного доказательства непротиворечивости
геометрии Лобачевского этот пример, однако, не содержит, поскольку
не доказана самая „мыслимость» воображаемого мира Пуанкарэ. Непротиворечивость
этой геометрии доказывается построением не воображаемых
миров, а такой модели („интерпретации») для геометрии Лобачевского, которая
осуществима в обыкновенном евклидовом пространстве. О различных
евклидовых интерпретациях неевклидовой геометрии см. во втором томе,
упр. 1295 и 1296. Прим. ред. перевода. ^
3) Например, мы не могли бы определить окружность, как „геометрическое
место точек плоскости, расположенных на данном расстоянии от
данной точки в этой плоскости», не определив предварительно понятий
^ расстояния, плоскости и геометрического места.

267 ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА.

выполняют здесь именно те свойства, которые мы принимаем без
доказательства. Так именно мы поступили с прямой линией, которая
вовсе не была нами определена в собственном смысле этого слова;
однако мы дали то, что можно было бы назвать её косвенным определением,
допустив, что она обладает некоторыми основными свойствами.
301. При этом, однако, существенно, чтобы число допускаемых,
таким образом, свойств было достаточным, чтобы охарактеризовать
определяемое ими понятие. Например, мы не вполне определили бы
прямую линию, если бы, вместо того чтобы допустить, как мы это
делали выше:
1°. что любая фигура, равная прямой линии, есть прямая линия
и что обратно: любые две прямые можно наложить одну на другую
бесчисленным множеством способов; J
2°. что через две точки проходит прямая линия и притом только
одна, — мы допустили бы только первое свойство, не допуская второго.
Действительно, это первое свойство не является [исключительным
свойством прямых линий: им обладают, например, также окружности,
имеющие радиус, равный 1 м. Следовательно, мы не имели бы
возможности доказать, исходя из этого неполного определения, ни
одного свойства прямых линий, которое не принадлежало бы также
и этим окружностям: например, мы не могли бы доказать, что сумма
двух углов треугольника меньше двух прямых, так как это свойство
не всегда имеет место для криволинейных треугольников, образованных
дугами равных окружностей.
302. Вся геометрия основана на фундаментальном понятии перемещения,
которое мы ввели в п. 3. Мы рассматривали там, как
очевидное само по себе, понятие фигуры, которая перемещается без
изменения её формы и размеров, другими словами, понятие неизменяемой
фигуры. Попытаемся исследовать, каким образом это понятие
определяется своими свойствами.
Если дана фигура, которая испытывает некоторое перемещение,
и произвольная точка М, то мы можем вообразить, что эта точка
неизменным образом связана с данной фигурой и движется вместе с последней
при её перемещении, так что она занимает некоторое положение
Мг. Следовательно, можно сказать, что каждой точке пространствам
соответствует при данном перемещении некоторая точка Мг, а именно,
то новое положение, в которое переносится точка М. Перемещение
представляет собой поэтому точечное преобразование1) пространства.
Далее* очевидное свойство интересующего нас понятия состоит
в том, что два перемещения^ выполненные одно за другим, равносильны
одному перемещению.
Другими словами, эти преобразования образуют группу*).
Мы могли бы, следовательно, сказать:
*) См. Прибавление Л, п. 287.
2) См. Прибавление Л, пь 291 и следующие

268 ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА.

Неизменяемая фигура есть фигура, которая подвергается
только преобразованиям некоторой группы (называемой группой
перемещений), обладающей следующими свойствами1):
Существует бесчисленное множество преобразований группы,
переводящих какую-либо точку А в какую-либо точку №.
Не существует, вообще говоря, преобразования группы, которое
преобразовывало бы одновременно две данные точки А и В
соответственно в Аг и В’; чтобы преобразование существовало,
необходимо, чтобы некоторая величина, зависящая от точек
А и В, равнялась бы аналогичной величине, образованной
с помощью точек АТ и В\
Если существует одно преобразование группы, переводящее
две определённые точки А и В соответственно в две опреде-
(I) ленные точки АТ и Вг, то существует бесчисленное множество
таких преобразований. В частности, существует бесчисленное
— множество преобразований, оставляющих на месте две определённые
точки А и В, причём существует бесчисленное множество
других точек, которые остаются на месте при всех
этих преобразованиях. Эти точки образуют безграничную
линию (называемую прямой линией). Через две точки проходит
прямая линия и притом только одна.
Существуют такие поверхности {называемые плоскостям
ми), что всякая прямая, имеющая с одной из них две общие
точки, целиком лежит на поверхности; через три точки
пространства проходит одна плоскость.
303. Во всяком случае существенно отметить, что предыдущее определение,
какивсе другие косвенные определения, заключает в себе аксиому;
очевидно, чтоэто определение предполагает следующую аксиому
Аксиома (А): Существует группа, обладающая свойствами (I).
Отметим также, что понятия прямой и плоскости вытекают из
понятия перемещения, без которого они не могут быть определены.
304. Как в евклидовой, так и в неевклидовой геометрии мы приписываем
группе перемещений свойства (I) и, следовательно, допускаем
аксиому (А). Эти две геометрии разделяет вопрос о том, будет ли
верно суждение:
YlTV / Через точку, лежащую вне прямой, можно провести
‘ * \ только одну прямую, параллельную данной прямой.
Согласно предыдущему, это суждение выражает свойство группы
перемещений, так как прямая линия и плоскость определены с помощью
этой группы; вопрос принимает теперь следующую форму:,
Обладает ли группа перемещений, определённая свойствами (I),
также и свойством (II)?
*) Мы не стремимся перечислить здесь все те свойства, которые служат
определением понятия перемещения. Под „свойствами (I)? следует понимать
все те свойства, которые мы принимали без доказательства в первой
книге, до введения постулата Евклида.

269 ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА.

Но если мы установили, что невозможно решить этот вопрос, то
значит вопрос просто неправильно поставлен и не имеет точного смысла.
Действительно, группа перемещений не определяется вполне свойствами
(I). Если (в согласии с аксиомой (Л), которую мы принимаем)
существует группа, обладающая этими свойствами, то их существует
бесчисленное^ множество. Воображаемые существа, существование
которых предполагает Пуанкарэ, понимали бы под „неизменяемыми
фигурами® нечто совсем другое, чем мы, так как предметы, которые
они перемещали бы, расширялись бы или сокращались бы без их
ведома; тем не менее, группа перемещений, как они её понимали
бы, удовлетворяла бы условиям (I) во всякой внутренней области
шара 5 (т. е. во всём бесконечном, с их точки зрения, пространстве,
к которому относились бы их рассуждения).
Теперь полностью дан ответ на вопрос. Положение (II) будет верным,
если из всех групп, обладающих свойствами (I), сохранить название
группы перемещений только за группой, удовлетворяющей условию,
выражаемому этим положением; другими словами, если определить
группу перемещений уже не свойствами (I), а свойствами (I) и (II).
305. Во всяком случае остаётся устранить одно возражение. Подобно
тому как первоначальное определение содержало в себе аксиому
(Л), так и предлагаемое нами сейчас определение возможно лишь
после решения следующего вопроса:
Существует ли группа, удовлетворяющая условиям (I) и (И)?
Ответ на этот вопрос утвердительный. Можно доказать [принимая,
конечно, аксиому (А)], что среди бесчисленного множества групп,
удовлетворяющих первоначальным условиям, существуют группы у
как неевклидовы (для которых постулат Евклида неверен), так и
евклидовы (для которых он верен).
Таким образом, устранены все затруднения. Постулат Евклида
входит в состав определения тех основных понятий, на которых
основцвается геометрия.
306. Можем ли мы вследствие этого сказать, что не может возникать
вопроса о том, верен или неверен постулат Евклида, что такой
вопрос совершенно лишён смысла? 4
Мы имели бы на это право, если бы мы имели возможность определять
геометрические понятия совершенно произвольно Однако
это не так; эти понятия даны нам из опыта. Понятие о неизменяемой^
фигуре возникает у нас из рассмотрения тех неизменяемых фигур
(твёрдых тел), примеры которых мы находим в природе. Неизменяемые
фигуры в геометрии и их перемещения должны быть определены
по образцу этих тел и их перемещений, если мы хотим, чтобы
геометрия была приложима к реальным объектам.
307. Мы видим, таким образом, что действительно существует
вопрос о постулате Евклида: вопрос заключается в,том, чтобы узнать,
согласуется ли данное выше определение с опытом, будут ли свойства
существующих в природе перемещений, тех перемещений, которые
мы наблюдаем, аналогичны свойствам евклидовой группы или нет.

270 ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА.

Однако эта проблема не является уже проблемой чисто математической;
решение такого рода вопроса требует не рассуждений,
а наблюдений.
И если нам пришлось развивать концепцию Евклида, а не Лоба- *
чевского, то это происходит именно благодаря тому, что наши чувства
показывают нам, что постулат Евклида верен по крайней мере в тех
пределах, которые доступны этим чувствам. Мы видим, что две прямые,
параллельные третьей, параллельны между собой, что существуют
подобные фигуры с любыми коэффициентами подобия, что существуют
прямоугольники и т. д.
308. Однако это лишь первая грубая проверка. Желая подвергнуть
вопрос более глубокому исследованию, пробовали прежде всего
измерять со всей возможной точностью углы некоторого треугольника,
чтобы выяснить, равна ли их сумма двум прямым; треугольник
выбирали насколько возможно большим, так как при этих условиях
разница между евклидовой и неевклидовой геометрией сказывается
всего заметнее. С помощью таких измерений было установлено (насколько
это позволяли экспериментальные трудности), что равенство
суммы углов треугольника двум прямым вполне подтверждается (или
по крайней мере, что отклонение меньше, чем ошибка наблюдения).
Поэтому до некоторого времени считали возможным утверждать,
что геометрией, наиболее верно представляющей действительность,
является евклидова геометрия или геометрия, очень мало от неё
отличающаяся (т. е. такая, что соответствующая постоянная k очень
велика; другими словами, что если геометрию, о которой идёт речь,
можно сравнивать с геометрией фиктивных существ Пурнкарэ, которые
движутся внутри сферы радиуса R, то радиус сферы R весьма
велик по сравнению со всеми обычными размерами): короче говоря,
что евклидова геометрия физически верна.
308а. Положение изменилось в связи с той эволюцией, которую
претерпели в последнее время наши взгляды в области физики
рия относительности).
Новая теория прежде всего глубоко изменила науку о движении,
или кинематику (являющуюся непосредственным приложением геометрии).
Построения, выполняемые над скоростями, были основаны
в старой кинематике на евклидовой геометрии (главным образом на
свойствах параллелограмма). Мы и теперь допускаем, что эти построения
практически сохраняют свою силу для скоростей „очень малых*,
т. е. измеряемых очень малыми числами, если за единицу принята
скорость света V (равная в круглых числах 300 ООО в секунду)
и, следовательно, для всех обычных скоростей *), но не приложимы
к скоростям того же порядка, что и V. Для этих последних скоростей
согласной с физической реальностью *) является неевклидова гео-
* метрия. Роль величины R играет V.
*) Так как V имеет большое значение, то даже скорости артиллерийских
снарядов будут с этой точки зрения очень „малыми®.
2) С точки зрения теории относительности. Прим. ред. перевода.

271 ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА. 

В этой теории неевклидова геометрия и даже ещё более общие
геометрии находят и другие применения (общая теория относительности).
Однако все эти изменения не оказывают, как это видно из предыдущего,
никакого влияния на текущую жизнь (например, на инженерное
дело). Евклидова геометрия сохраняет силу для всех фигур,
которые мы можем окинуть взором или непосредственно измерить.

272 ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА.

ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА