§ 3. Системы двух уравнений второй степени, не содержащие
линейных членов
ЧАСТЬ II. ГЛАВА IV
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными
общего вида
представляет значительные трудности. Именно, можно доказать, что
решение такой системы зачастую сводится к решению уравнения
четвертой степени, а нахождение решения общего уравнения четвертой
степени представляет довольно сложную задачу, не входящую
в рамки курса элементарной алгебры.
Для некоторых систем частного вида возможно элементарное решение.
Важным примером таких систем являются системы двух квадратных
уравнений, каждое из которых не содержит членов первой
степени относительно неизвестных, т. е. системы вида
В этом случае система решается посредством уничтожения свободных
членов. Это делается так. Первое уравнение умножается на второе
на / и полученные уравнения вычитаются. Составленное так новое
уравнение является следствием исходной системы и имеет вид
Лаг2 -j- Вх у -j- Су2 = 0, из которого следует, что
Найдя это отношение, мы можем выразить аг через у и затем подставить
в одно из уравнений исходной системы. Получившееся в результате
неполное квадратное уравнение относительно у легко решается.
Нетрудно видеть, что если А Ф 0 и хотя бы один из свободных
членов в исходных уравнениях отличен от 0, то сделанное выше
предположение у Ф 0 не нарушает общности.
Действительно, если в уравнении Лаг2-f-Вх у -f- Су2 = 0 при А ф О
положим у — 0, то и аг = 0. Но аг = 0; у = 0 не может быть решением
исходной системы, если хотя бы один из ее свободных членов
отличен от нуля.
Если же коэффициент Л = 0, то решение вспомогательного уравнения
В х у -\-Су’1 = 0 только упрощается, для решения достаточно
вынести за скобку у и приравнять к нулю каждый множитель.
Пример. Решить уравнение
Решение. Умножив первое уравнение на 7 и второе на 3, получим
после вычитания
а х 2 -{- Ъху -j- су2 -f- f — 0,
+ h х у с,у* + Л = 0.
(если только у ф 0), откуда мы можем определить отношение —X .
х % — 3 х у -{- 5у4 = 3,
2лг4 — \- х у — Зу4 = 7.
Xs — 24 ху -f- 44у4 = 0,
откуда
328 Системы двух уравнений второй степени. Кабинет математики в школе.
Таким образом, х — 22у или х = 2у. Дальнейшее очевидно. Доведя
решение до конца, получим четыре решения системы
§ 4 ] НЕСКОЛЬКО ПРИЕМОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ 3 2 9
22 1 22
Х3 — 2,
н
II
^ij
*
II
у ш ’
1 1 1
^ 3 = 1 »
S
II
/141 ’
Упражнения
Решить системы уравнений:
( х * -у * = 7, /* i + 2yi = llf
* \ х3 + ху + у9 = 37. * \ л;2 — ху = 6.
329 Системы двух уравнений второй степени. Кабинет математики в школе.
Околоadmin
Comments