Упражнения для усвоения нового материала

Глава II. ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ
И РЕШЕНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ЗАДАЧ В IX—X КЛАССАХ

А. Б. ВАСИЛЕВСКИЙ

Главная страница РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по СТЕРЕОМЕТРИИ

Научно-исследовательский институт
педагогики Министерства просвещения БССР

Скачать PDF файл Бесплатно ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по СТЕРЕОМЕТРИИ

Ниже текст только для быстрого ознакомления с темой. В нём формулы отображаются некорректно. Качественный текст смотрите в оригинале (формат PDF) по ссылке выше.

Упражнения этого параграфа предназначены для подготовки
учащихся к усвоению содержания и методов доказательства
теорем, поэтому они даются в качестве домашнего
задания к тому уроку, на котором будет изучаться соответствующая
(новая) теорема. Такие домашние задания готовят
учеников к самостоятельному усвоению нового материала.
§ 7*
1. На рисунке 168 изображена [D ABC] * * . Точки
М и К — середины ребер AD и BD. Точка Р — середина
[ЛАП. Постройте: а) X = (РК) Ո (АВ)-, б) Y = (РК) Ո
Ո (ABC)- в) N = (МК) [)(АВУ, г) Н =Щ К ) Ո (ABC).
* Параграфы даются по учебному пособию «Геометрия. 9—10».
* * Так здесь и далее обозначается пирамида.
82

2. На рисунке 169 изображена [M-ABCD]\ ABCD —
параллелограмм, а) Верно ли, что (AD) || (МВС)? Почему?
б) Точка М £ (ADM) Ո (МВС). Применив теорему 3,
постройте прямую а пересечения (ADM) и (МВС)\ в) Верно
ли, что (ВС) у (ADM)? Почему? г) Постройте b =*

§ Ю
3. а) На рисунке 170, а изображена [D-ABC]. Р £
£ IADI К 6 [АС). М £ [АВ). X = (DB) Ո (РКМ) и
Y — (DC) Ո (РКМ). На рисунке 170, б изображена [D-
— ABC). Р £ [AD], М £ [АВ). (МК) II (AC). X =
= (DB) Ո (РМК). Y = (DC) Ո (РМК)• Что общего и в
чем отличие у плоскостей РМК, изображенной на рисунке
170, а, и ВМК, изображенной на рисунке 170, б?
б) На рисунке 170, в изображена [D-АВС]. Р £
£ [AD], X £ [BD], Y £ [CD], [РХ) у [АВ), [PY) || [АС).
83

Что общего и в чем отличие во взаимном положении сторон
углов XPY и ВАС, показанных на рисунках 170, а, 6, в>
в) Пересекаются ли плоскости ABC и XPY, изображенные
на рисунке 170, е?

§ 11
4. На рисунке 171 изображена \D-ABC]. Р 6 [AD],
М е IDB), К е [DC], (РК) Ц (АС), <РМ) и (АВ). Докажите,
что (МК) II (ВС).
5. Дана ID-АВС] (рис. 171). Плоскость а проходит
через (ВС) и параллельна (AD). Постройте (XY) = к Ո
Ո (РМК) (X б \РМ), Y 6 \-РК))- Установите форму четырехугольника
BXYC.

§ 21
6. На рисунке 172 изображен квадрат ABCD. DM =»
= МС. Найдите* и у, если: а) АС = хАВ + yAD\ б) AM =
= хАВ -f yAD.

84

7. На рисунке 173 показан параллелограмм ABCD.
~АЕ = у ЛЬ, ВР = -§- ВС, АН = 0,5А§; /Ж = 0,5DC.
Найдите х ну , если AM = лгЛ՜^ + г/ЛО.
§ 23
8. На рисунке 174 показан параллелепипед
[ABCDAXBXCXDX]-, ВТМ = 0,5В Сх; СК = 0,5c t v Очевидно,
АСХ = AD + D& + СЁХ и АК = Л7) -+- DC + СК. Найдите
х, у, г, если: а) АСХ = xAD + уААх + zAB; б) АК. =
— хА/1х + г/Л5 + гЛВ; в) AM — — хА%х + уАВ + zAD.
§ 28
9. На рисунке 175 изображен параллелепипед
ABCDAXBXCXDX, у которого Х^АВ = а (аЪ = 90°. ВМ =
= МС. а) Разложите ЛС, AM и DB по Л£) и Л В; б) Найдите
ААХ * Л£> и ААХ • ЛВ; в) Используя разложение АС,
AM и DB по AD и ЛВ, вычислите ААХ • ЛС, ЛЛХ • AM,
/ \ У \ . . , / \
ЛЛХ * BD; г) Найдите АЛХИАСС,, АХАМ, (ААХ, BD); д ) Чему
равны углы между (ССХ) и (AM); (ВВХ) и (ЛС)?
§ 29
10. На рисунке 176 изображены ЮЛ), ЮВ), [ОС).
л I (вос), м е ю л ) , ш я ] յ _ ( о с ) , [ л ш х ( о в ) .
[Я £ ) с : (ВОС), [НЕ) _Լ (ОС), [KF)cz (ВОС) и [KF) X
_ւ_ (ОВ); Е = (Я£) Ո (KF). а) Найдите углы между
(ОС) и (ME); (ОВ) и (ME); б) Докажите, что (ME) X (ВОС).
§ 30
11. [ Л С1 с а (рис. 177), (ВЛ) Х а , (CD) || (ВА),
[AM)cza, [СК) ста, [C/Q || 1ЛМ). а) Чему равны ^ а Ь
и В^4Л1? б) Чему равен ХсЬ? в) Верно ли, что DCk. —
= ^4А1? Почему? г) Верно ли, что (DC) X а? Почему?
12. а) Сколько прямых, перпендикулярных данной
плоскости, можно провести через данную точку? б) Докажите
(методом от противного), что два перпендикуляра
к одной и той же плоскости параллельны (см. задачу 11).
85

13. Скрещивающиеся прямые АА1 и ВВ1 пересекают
прямую / соответственно в точках К и М (рис. 178). \КАХ\ =
\КА \ и (ААХ) _1_ I. \МВХ\ = \МВ\ и (BBX) _Լ I. Построены
1КВ[] = А (U jB il) и \КВ’] = АК ([АВ]). Докажите:
a) (ВХВ\) J_ /; б) 1 ± (В\В’)\ в) В\ = 8 Я(В’)\ г) =
— \КВ’\\ д) \АХВХ\ = \АВ\.

14. На рисунке 179 изображена [D-ABC]. ACD ֊
= / с Ь = 90°. М 6 ICD]; (МК) || (СА), (МР) [| (СВ).
Пересекаются ли (АСВ) и (КМР)? Верно ли, что (DC) _L
J_ (КМР)?
15. На рисунке 180 дана [D-ABC}. [DC]JL(,4CB),
К € [DC). MKD = ОКР = 90°. Докажите, что (АСВ) ||
I! (МКР).
86

16. На рисунке 181 изображена [М-ABCD]. ABCD—
квадрат, О = (BD) Ո (ЛС), (МО) _L (ABC), DK — КС.
а) Назовите изображенные на рисунке 181 прямоугольные
треугольники, не принадлежащие (ЛВС); б) Какая из точек
А, В, С, D, О, F, К наименее удалена от М? Какая из
этих точек наиболее удалена от М?

17. На рисунке 182 дана [D-ABC]-, ACD — BCD =
= 90°. [СН] А- (АВ), а) Верно ли, что (DC) _[_ (АСВ)?
Почему? б) Чему равен угол между (CD) и (АВ)? в) Верйо
ли, что (АВ) JL (DCH)? Почему? г) Чему равен угол Л HD?
18. Прямые КВ и СМ принадлежат плоскости а и пересекаются
в точке С. Точка Л Հ а (рис. 183).
а) Дано: (КА) _L a , (CM) _Լ (КВ). Докажите: (CM) _Լ
֊Լ (ЛВ);
б) Дано: (CM) _I_ (КВ), (CM) _Լ (АВ). Докажите:
(КА) J_(CM);
в) Дано: (КА) _L (КВ), (СМ) _1_ (КВ), (СМ) _1_ (КА).
Докажите: (КА) _L а.
87

19. На рисунке 184 дана [D-ABC]. /вс = 90°,
(DC) ± (ABC) , \AD\ = 1, DAC = а , «ВАС = р. а) На-

зовите прямоугольные треугольники, изображенные на
рисунке 184; б) Вычислите \АС\ и \АВ |; в) Вычислите
cos DAB; г) Докажите, что cos DAB < cosD,4C; д) Сравните
DAC и IDAB.
§ 39
20. ID#] _L (ABC) (рис. 185). Назовите прямоугольные
треугольники, изображенные на рисунке 185. Плоскости
каких из них перпендикулярны?
21. \AD| = \DC\ и \АВ\ — \ВС\ (рис. 186). (DAC) _L
J_ (АСВ). АН = НС. Докажите: a) D # B = (D ^ C ^ C B ) ;
б) (D#) X (Л СВ).

88

СТЕРЕОМЕТРИЯ

СТЕРЕОМЕТРИЯ 9 класс, СТЕРЕОМЕТРИЯ 10 класс, Пространственные фигуры

#СТЕРЕОМЕТРИЯ #Математика

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.
Интернет бизнес с нуля

Упражнения для усвоения нового материала