§ 6. Законы арифметических действий.

ГЛАВА I. УПОТРЕБЛЕНИЕ БУКВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ЕГЭ 2015 Математика. Библиотека учителя. Школьная математика.

Купить книги по математике за низкие цены:

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

Математика просто ру

Из арифметики известно, что сложение подчиняется двум законам,
переместительному и сочетательному.
П е р е м е с т и т е л ь н ы й з а к о н с л о ж е н и я . Сумма двух
слагаемых не зависит от порядка расположения слагаемых.
Например, 5 + 7 = 1 2 и 7 + 5=12. Пользуясь буквами для обозначения
чисел, этот закон можно формулировать еще так:
Каковы бы ни были числа а и Ь,
а + £ = £ + а.
С о ч е т а т е л ь н ы й з а к о н с л о ж е н и я . Сумма трех слагаемых
не зависит от того, какие два из них сложены вначале —
первые или последние.

27 Законы арифметических действий. Математика просто ру

Например, (3 -f- 5) -f- 7 = 3 -f- (5 -f- 7). Пользуясь буквами для обозначения
чисел, этот закон можно формулировать так:
Каковы бы ни были числа а, b,
(а + Ь) + с = а -J- (b + с).
Из этих двух законов сложения вытекает, что при сложении
нескольких чисел можно слагаемые располагать в любом порядке и
соединять их в любые группы. Например,
2 + 3 + 2,5 + 3,3 + 4,5 -f 6,7 + 4~ = (2 + 3) + (2,5 + 4,5) +
~f» -J- 6,7) -(- 4-д- = 5 -)- 7 -j- 10 -J- 4—д- = 26-д-.
Если для вычисления алгебраического выражения требуется произвести
несколько раз сложение и других действий производить
не нужно, то
1) все скобки можно опустить,
2) слагаемые можно переписать в любом порядке,
3) можно скобки вновь расставить любым образом.
Например,
{a-\-m)-\-(c-]rri)-\~(bJ
rp) — a-\~m-{~cJ
rn-\-b-\-p =
—— а 4“ b —|— с —J— т —|— п —|— р —; (а — j— b —|— с) —j— (т —|— п —[— р)
и т. п.
Из арифметики известно, что умножение также подчиняется двум
законам: переместительнохму и сочетательному.
П е р е м е с т и т е л ь н ы й з а к о н у м н о ж е н и я . Произведение
двух сомножителей не зависит от порядка расположения сомножителей,
т, е. каковы бы ни были числа а и b,
ab = Ьа.
Например, 5-7=35 и 7-5 = 35.
С о ч е т а т е л ь н ы й з а к о н у м н о ж е н и я . Произведение трех
сомножителей не зависит от того, какие два из них перемножены
вначале — первые или последние, т. е. каковы бы ни были
числа а} Ьу с,
(ab)c = а(рс).
Из переместительного и сочетательного законов умножения вытекает,
что при умножении нескольких чисел можно сомножители располагать
в любом порядке и соединять их в любые группы. Например,
3,5 . 2 у . 10 • 7 = (3,5 • 10) • (2у . 7) = 35 . 15 = 525.

28 Законы арифметических действий. Математика просто ру

Если для вычисления алгебраического выражения требуется произвести
несколько раз умножение и других действий прозводить не
нужно, то
1) все скобки можно опустить,
2) сомножители можно переписать в любом порядке,
3) можно скобки вновь расставить любым образом. Например,
{am) • (сп) • (Ьр) = атсп • bp = abcmnp = (abc){mnp).
Часто приходится умножать однозначное число на двузначное.
Например, 3 -17. Мы можем считать так: 3-10 = 30; 3*7 = 21; 30+21=
= 51; значит 3*17 = 51. Или то же самое в другой записи:
3.17 = 3(10 +7) = 3- 10 +3 -7 =30 + 21 = 51.
Прием, которым мы пользовались, основан на распределительном
законе умножения относительно сложения.
Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й з а к о н у м н о ж е н и я о т н о с и т
е л ь н о с л о ж е н и я . Для того чтобы какое-нибудь число умножить
на сумму двух или нескольких чисел, достаточно это число
умножить на каждое слагаемое в отдельности и полученные произведения
сложить, т. е. каковы бы ни были числа a, b, с> d и т,
т(а + Ь) = та + mb; т{а + & + с) = та + mb + тс;
т{а + b +с + d) = та + mb + тс + md и т. д.
Распределительный закон умножения относительно сложения можно
очень наглядно объяснить геометрически. Пусть имеется три прямоугольника
с одинаковым основанием а см и высотами /гь /г2, /г3 см
(рис. 1) и требуется вычислить сумму S их площадей.

Мы можем решить эту задачу так: площадь первого прямоугольника
ahx см2; площадь второго прямоугольника ah% см2; площадь
третьего прямоугольника а/г3 см2; сумма площадей трех прямоугольников
S = ahy *+ ah<% —j— ah%.
Мы можем, однако, поступить и следующим образом. Приложим
прямоугольники друг к другу основаниями и составим из них один

29 Законы арифметических действий

прямоугольник (рис. 2). У этого прямоугольника основание а,
а высота равна сумме высот данных прямоугольников, т. е. высота
г равна (ht -f- h%/г3) см. Таким образом, площадь
if составленного прямоугольника равна
CL (/Zj —J~» ^2 4″~ *а) CM
Очевидно, что площадь прямоугольника, составленного
из трех данных прямоугольников, равна
сумме площадей данных прямоугольников, т. е.
S = a ( h i h 2 /г3).
Сравнивая оба выражения для S, имеем:
ah\ &h^ 4~ а/?зa {h\ 4~ ^2 4~ ^з)»
Рис. 2. Эта формула и выражает распределительный
закон умножения относительно сложения.
Рассмотрим некоторые применения распределительного закона.
За да ча. Умножить Зу на 7-^-, не превращая смешанных чисел
в неправильные дроби.
Р е ш е н и е .
3 4 — 4 = ( 3 + т ) ‘ 7 ¥ = 3 ■ 7 Т + 7 — Ч — =
= 3 — ( 7 + т ) + Т — ( 7 + у ) = 3 ‘ 7 + 3 4 + 4 — 7 + !
= 2 i 4 — 1 + 1 +
21
:23^
Ответ. 2 3
З а д а ч а . Пользуясь распределительным законом умножения относительно
сложения, показать, что 20а 4~ 17а = 37а, где а — любое
число.
Р е ш е н и е . 20а4~ 17а = (204- 17) • а = 37а.
Ответ. 37а.
Упражнения
1 \3
Задача 1. Вычислить (7yJ , не превращая 7-у в неправильную дробь.
Задача 2. Доказать, что сумма 29 • 13 + 29 • 18 делится на 31.

30 Законы арифметических действий. Математика просто ру

Околоadmin