§ 1. Целые алгебраические уравнения и их классификация
Ч А С Т Ь II. Г Л А В А II.КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ
К КВАДРАТНЫМ
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Уравнение с одним неизвестным называется целым алгебраическим,
если обе его части являются целыми алгебраическими выражениями
от неизвестного. Например, уравнения
не являются целыми алгебраическими. Первое из них содержит в знаменателе
выражение х -(-2, зависящее от неизвестного х. Такого
рода уравнения называются дробными алгебраическими. Второе содержит
выражение л г+ 1 , зависящее от неизвестного х, под знаком
корня. Такие уравнения называются иррациональными.
Важнейшими из алгебраических уравнений являются целые алгебраические.
Это обусловлено тем, что решение дробных и иррациональных
уравнений может быть сведено к решению целых (с некоторыми приемами
такого сведения мы познакомимся в § 16, 17 этой главы/
Обратимся теперь к классификации целых уравнений. Прежде
всего напомним, что два уравнения называются равносильными, если
каждое решение первого уравнения являетря решением второго и
каждое решение второго уравнения является решением первого.
В первой части книги было установлено, что если к обеим частям
уравнения добавить любой многочлен от неизвестного, то каждое решение
исходного уравнения будет решением преобразованного, и обратно,
каждое решение преобразованного уравнения будет решением исходно-,
го, так что преобразованное уравнение будет равносильно исходному.
В силу этого любое целое алгебраическое уравнение может быть
преобразовано в равносильное, в одной части которого находится
многочлен от неизвестного, не содержащий подобных членов, а в
другой части нуль. Для этого достаточно «перенести все члены уравнения
в одну часть», т. е. добавить к обеим частям уравнения’ выра-
260 Целые алгебраические уравнения и их классификация, КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К КВАДРАТНЫМ.
жение, противоположное одной из его частей, а затем раскрыть
скобки и привести подобные члены.
Например, уравнение
(лг + 1) (лг + 2) (лг + 3) = (лг — 1) (лг — 2) (лг — 3)
преобразуется в
(лг+ 1 )(* 4 -2 )(л г-{ -3 ) — ( х — 1)(лг — 2)(лг — 3) = 0
и, после раскрытия скобок и приведения подобных членов, в
12лга+ 1 2 = 0.
Степень многочлена, получающегося в одной части уравнения после
указанных преобразований, называется степенью исходного уравнения.
Так, уравнение
(лг -р 1)(# 2) (х -j- 3) = (х — 1) ( х— 2) (х — 3)
есть уравнение второй степени, уравнение
.я3 4 — -g-лг = 5,
равносильное уравнению
лг3- } — — ^ — 5 = 0,
есть уравнение третьей степени и т. д.
Упражнения
Преобразовать к простейшему виду уравнения и определить степень
каждого из них:
1. (Л Г + 1)(лг + 2) = (лг — 3)(лг — 4). 3. (лг— 1)(лг+1)а =лг* — 3.
2. х* = х(х— 1)(х+2)+1.
§ 2. Неполные квадратные уравнения
Уравнение второй степени называется иначе квадратным уравнением.
Любое квадратное уравнение, после перенесения всех его членов
в одну часть и приведения подобных членов, приводится к виду
а х* -\-Ь х -\-с — 0,
гделг — неизвестное, а, Ь, с — коэффициенты, причем а ^О . а назы-
ваетск старшим коэффициентом квадратного уравнения, Ъ — средним
коэффициентом, с — свободным членом.
Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один
из его коэффициентов равен нулю. Так как старший коэффициент
равняться нулю не может, в неполном уравнении должен обращаться
в нуль средний коэффициент или свободный член или оба вместе,
261 Целые алгебраические уравнения и их классификация, КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К КВАДРАТНЫМ.
так что неполное квадратное уравнение может иметь один из следующих
трех видов:
I. ах* = 0.
II. а х * -} -с = 0.
III. a x * — fb x = 0.
Уравнение ах* = 0, очевидно, имеет единственное решение лг = 0.
Действительно, так как а Ф 0, то из ахг2 = 0 следует, что лг‘2 = 0, и
потому х — 0.
Уравнение а х * -{ -с = 0 равносильно уравнению
2 6 2 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ, II
Здесь могут представиться два случая (если исключить разобранный
выше случай с = 0). Если а и с имеют одинаковые знаки, то уравнение
не имеет решений, ибо квадрат действительного числа не может
равняться отрицательному числу — Если а а с имеют противоположные
знаки, то — ~ положительно и уравнение х* = — а вместе
с ним и исходное уравнение ajt2-|-c = 0 имеет два решения
* i = у г- т и x * = ~ Y ~ ^ ‘
Неполное квадратное уравнение последнего вида а х а -j- bx = 0
решается посредством разложения левой части на множители. Именно,
вынося х за скобку, получим
х (а х -{-Ь ) = 0.
Для того чтобы произведение равнялось нулю, необходимо и достаточно,
чтобы хотя бы один из множителей равнялся нулю. Приравнивая
к нулю первый множитель, получим одно решение х г — 0. Приравнивая
к нулю второй множитель ах~\-Ь, получим второе реше-
те Ха — ——b- . * а
Итак, мы рассмотрели все виды неполного квадратного уравнения.
Формулируем результаты:
I. а х2 = 0. Уравнение имеет единственное решение лг = 0.
И. ах*-{-с — 0. Уравнение не имеет решений, если знаки а и с
одинаковы. Если же знаки а и с противоположны, то уравнение
имеет два решения: х х ± ■—. Эти два решения сливаются
в одно лг = 0, если с = 0, т. е. если уравнение имеет вид I.
III. ах*-\-Ьх = 0. Уравнение имеет два, решения: jq = 0 и
Хъ — — Они различны при Ъ Ф 0 и сливаются в одно при Ъ — 0,
т. е. если уравнение имеет вид I.
262 Целые алгебраические уравнения и их классификация, КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К КВАДРАТНЫМ.
Околоadmin
Comments