§ 2. Неполные квадратные уравнения
ЧАСТЬ II. Г Л А В А II.КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ
К КВАДРАТНЫМ
На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).
Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.
Уравнение второй степени называется иначе квадратным уравнением.
Любое квадратное уравнение, после перенесения всех его членов
в одну часть и приведения подобных членов, приводится к виду
а х* -\-Ь х -\-с — 0,
гделг — неизвестное, а, Ь, с — коэффициенты, причем а ^О . а назы-
ваетск старшим коэффициентом квадратного уравнения, Ъ — средним
коэффициентом, с — свободным членом.
Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один
из его коэффициентов равен нулю. Так как старший коэффициент
равняться нулю не может, в неполном уравнении должен обращаться
в нуль средний коэффициент или свободный член или оба вместе,
261 Неполные квадратные уравнения, Электронная библиотека для учителей.
так что неполное квадратное уравнение может иметь один из следующих
трех видов:
I. ах* = 0.
II. а х * -} -с = 0.
III. a x * — fb x = 0.
Уравнение ах* = 0, очевидно, имеет единственное решение лг = 0.
Действительно, так как а Ф 0, то из ахг2 = 0 следует, что лг‘2 = 0, и
потому х — 0.
Уравнение а х * -{ -с = 0 равносильно уравнению
2 6 2 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ, II
Здесь могут представиться два случая (если исключить разобранный
выше случай с = 0). Если а и с имеют одинаковые знаки, то уравнение
не имеет решений, ибо квадрат действительного числа не может
равняться отрицательному числу — Если а а с имеют противоположные
знаки, то — ~ положительно и уравнение х* = — а вместе
с ним и исходное уравнение ajt2-|-c = 0 имеет два решения
* i = у г- т и x * = ~ Y ~ ^ ‘
Неполное квадратное уравнение последнего вида а х а -j- bx = 0
решается посредством разложения левой части на множители. Именно,
вынося х за скобку, получим
х (а х -{-Ь ) = 0.
Для того чтобы произведение равнялось нулю, необходимо и достаточно,
чтобы хотя бы один из множителей равнялся нулю. Приравнивая
к нулю первый множитель, получим одно решение х г — 0. Приравнивая
к нулю второй множитель ах~\-Ь, получим второе реше-
те Ха — ——b- . * а
Итак, мы рассмотрели все виды неполного квадратного уравнения.
Формулируем результаты:
I. а х2 = 0. Уравнение имеет единственное решение лг = 0.
И. ах*-{-с — 0. Уравнение не имеет решений, если знаки а и с
одинаковы. Если же знаки а и с противоположны, то уравнение
имеет два решения: х х ± ■—. Эти два решения сливаются
в одно лг = 0, если с = 0, т. е. если уравнение имеет вид I.
III. ах*-\-Ьх = 0. Уравнение имеет два, решения: jq = 0 и
Хъ — — Они различны при Ъ Ф 0 и сливаются в одно при Ъ — 0,
т. е. если уравнение имеет вид I.
262 Неполные квадратные уравнения, Электронная библиотека для учителей.
§ 3. Приведенное квадратное уравнение
Решение полного квадратного уравнения мы начнем со случая,
когда старший коэффициент равен единице. В этом случае уравнение
называется приведенным. Общее квадратное уравнение легко
преобразуется в равносильное ему, приведенное посредством деления
обеих частей уравнения на старший коэффициент.
Для решения приведенного уравнения
в общем виде применим прием выделения полного квадрата суммы,
который применяется при разложении квадратного трехчлена на множители.
Рассмотрим х* как квадрат первого слагаемого, равного лг, р х —
как удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Очевидно,
что за это второе слагаемое нужно взять ^ . Затем добавим квадрат
второго слагаемого, т. е. , и сразу вычтем его, чтобы не изменить
левую часть уравнения. Таким образом, исходное уравнение
х% + p x — \-q = Q преобразуется к виду
Это последнее уравнение равносильно исходному, так как его
левая часть тождественно равна левой части исходного уравнения.
Далее, перенесем последние два члена в правую часть уравнения
с противоположными знаками. Получим новое уравнение
равносильное предыдущему. Теперь могут представиться три случая.
вательно и исходное, не может иметь решений, ибо квадрат действи-
или
Случай Преобразованное уравнение, а следо-
тельного числа не может равняться отрицательному числу
этом случае преобразованное уравнение
будет удовлетворяться только при х -{- ^ = 0, т. е. при
263 Неполные квадратные уравнения, Электронная библиотека для учителей.
х = — 2-ч Таким обрааом, в этом случае уравнение имеет единственное
решение.
Случай 3. Преобразованное уравнение удовлетворяется,
если
x + f = y / ( I ) ~ q
или
х + % = — Y ( i ) “ ‘4 •
т. е. если _______
* = — Т + У ( т )— 9
или
ш — » —
Таким образом, в этом случае уравнение имеет два решения:
* = — ? + ■ ( / * ( 2 — ) — * ; •
Оба эти решения удобно записать в виде одной формулы:
* = — • § * \П $ Р 7 . (1)
Корень приведенного квадратного уравнения равен половине среднего
коэффициента, взятого с противоположным знаком, плюс или минус
квадратный корень из квадрата этой половины без свободного члена.
Итак, при решении приведенного квадратного уравнения могут
представиться три случая:
Сл у ч ай 1. — q 0 — уравнение не имеет действительных
решений.
Случай 2. — q = 0 — уравнение имеет единственное решение:
х — — у .
Сл у ч ай 3. J — q^> 0 — уравнение имеет два решения, вычисляемых
по формуле
Очевидно, что при решении квадратного уравнения нет необходимости
заранее исследовать, который из трех случаев имеет место.
264 Неполные квадратные уравнения, Электронная библиотека для учителей.
Можно сразу записать решение по формуле, и результат сам покажет,
который из случаев имеет место.
Именно, если имеет место первый случай — q 0 , формула
приводит к невозможному действию — извлечению квадратного корня
из отрицательного числа. Во втором случае — q = 0 оба корня,
вычисленные по формуле, сливаются в один х = — ~ . В этом случае
принято говорить, что уравнение имеет два одинаковых корня.
Формулу (1) для решения приведенного квадратного уравнения
иногда удобно применять в несколько преобразованной форме следующим
образом. Очевидно, что г-» •
и, следовательно, согласно формуле (1),
Р _ н У У — 4 ?
2 — 2
или
Х = — Р ± У .Р ‘ — Ч t (2)
Формула (2) иногда оказывается удобнее формулы (1), например, если
р и q целые числа и р нечетное число или если коэффициенты
р и q являются буквенными выражениями. Если же р и q целые числа
и р четное число, то формула (1) удобнее.
Запоминать формулу (2) нет необходимости, так как она непосредственно
получается из формулы для решения общего квадратного
уравнения, которая будет выведена в следующем параграфе.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример. Решить уравнение лг*— 8лг-f- 15 = 0.
Решение. x = 4 ± V 42 —- 15 = 4 ± 1; лг1 = 5; лг2= 3 .
Пример. Решить уравнение х % — 8лг -|- 16 = 0.
Решение . х = 4 ± У г4?— 1 6 = 4 (или, что то же самое,
Х\ ——14, х% — 4).
Пример. Решить уравнение х* — 8 х -f- 17 = 0.
Решение . х = 4 ± | / 4*— 17 = 4 ± У — 1″. Уравнение не имеет
действительных решений.
Пример. Решить уравнение 2л;2— 5л;-{- 2 = 0.
Решение. Это уравнение не приведенное. Оно равносильно приведенному
5
265 Неполные квадратные уравнения, Электронная библиотека для учителей.
которое получается из исходного посредством деления обеих его
частей на % Решая это последнее уравнение, получим
х = т ± у г ^ — 1 = т ± Ь X i= 2 ; Хз== Т ‘
Замечан и е . Из вывода формулы для решения квадратного
уравнения следует, что числа
* 1. , = — | ± у Г( i j l~ q ,
если только они имеют смысл, действительно являются корнями
квадратного уравнения лг2 -(-р х -{- q = 0. Поэтому проверка корней
посредством подстановки в уравнение может быть нужна только
для контроля правильности вычислений.
Упражнения
Решить уравнения:
1. х* — 4х — 45 = 0. 4. х* — х — 96 = (л: — 1) (л: — 2) (л: — 3).
2. х %— 18л: + 81 = 0 * б. ( х + I) 3 = 2лга — 7.
3. х* — Юл: + 27 = 0.
266 Неполные квадратные уравнения, Электронная библиотека для учителей.
Околоadmin
Comments