§ 3. Деление целых алгебраических выражений

ГЛАВА V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Глава V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

Особенность дробных выражений

Если требуется разделить одно целое алгебраическое выражение
на другое, результат всегда может быть записан в виде дроби, в числителе
и знаменателе которой находятся эти выражения. Такие дроби
называются алгебраическими дробями. Однако часто бывает, что
частное от деления двух целых алгебраических выражений в свою
очередь оказывается целым алгебраическим выражением. В этом случае
говорят, что первое выражение делится на второе.
Например,

т. е. многочлен х 2 — 4 делится на многочлен х — 2. Точно так же
одночлен а3 делится на а \ так как а3:а 2 = а и т. д. Но одночлен а
не делится на одночлен Ьу так как их частное -у не может быть записано
в виде целого алгебраического выражения.
Понятие делимости в применении к целым алгебраическим выражениям
сходно с понятием делимости целых чисел: мы говорим, что
одно целое число делится на другое целое число, если их частное есть
целое число (например, 6 делится на 2, но б не делится на 4 и т. д.).
Однако не следует их путать одно с другим. Так, например, одно-у
член 2х делится в алгебраическом смысле на одночлен Зх, так как
их частное равно одночлену т. е. целому алгебраическому выражению.
Однако при целых значениях для буквы х число 2 х никогда
не делится в арифметическом смысле на число Зл:, так как частное
от их деления еств дробное число J*.
Цель ближайших параграфов состоит в установлении некоторых
приемов деления целых алгебраических выражений и в установлении
некоторых признаков, по которым можно узнать, делится или не делится
одно данное выражение на другое.

§ 4 Деление степеней с одинаковыми основаниями
При мер. Выполнить деление

Решени е . Без всяких вычислений ясно, что частное равно 1.
Такой же результат будет при делении одинаковых степеней с любым
показателем.
Приме р . Выполнить деление

114 Алгебра. Деление целых алгебраических выражений, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Решен ие . Очевидно, что результат равен сР, ибо а4 • а3 = а7.
Результат получен посредством вычитания показателей степени в делимом
и делителе на основании того, что при проверке деления умножением
показатели складываются.
Правил о . При делении степеней с одинаковыми основаниями
в предположении, что показатель степени в делимом больше показателя
степени в делителе, частное равно степени с тем же основанием
и с показателем, равным разности показателей в делимом
и делителе.
Короче: при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели
вычитаются.
Действительно, если т^>п, то
а т _ а т — п а п т^ п
а п а п — и ‘ •
Пример. Выполнить деление
а8: а5.
д8-
Решение . Запишем то же самое в виде дроби-^- и произведем
сокращение на а3, учитывая, что а8 = а3 • а8. Получим
аь °ь 1
а®»- а* . а * ~ а8 \
Результат имеет такой же вид при любых показателях степени,
если только показатель в делимом меньше показателя в делителе.
Если т<^п, то
ат ат 1
~Ф ат • а п -т а п -т •
При делении степеней с одинаковыми основаниями мы рассмотрели
все три случая, которые могут представиться.
Сл у ч а й 1. Показатели степени равны.
С л у ч а й 2. Показатель степени в делимом больше показателя
степени в делителе.
Сл у ч а й 3. Показатель степени в делимом меньше показателя
степени в делителе.
Мы убедились в том, что в первых двух случаях в частном получается
целое’алгебраическое выражение. Таким образом, сР1 делится
на оР, если т равно п или т больше я. В третьем случае (т п)
ат не делится на ср, ибо частное ап-гя не может быть представлено
в виде одночлена или многочлена. Действительно, никакой
одночлен или многочлен при умножении на ап~т не может дать 1

115 Алгебра. Деление целых алгебраических выражений, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДРОБНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Околоadmin