ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

§ 26. Рациональные числа.

Целые и дробные числа, как положительные, так и отрицательные,
и число 0 образуют множество ра циональны х
чисел. Всякое рациональное число можно рассматривать как
отношение двух целых чисел: г — ^ (п ф 0 ).

57  АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

Отметим, что рациональные числа можно представить
в виде бесконечный ШрйодичёЁкик ЙеСЯТичНых дробей:
у = 0,333 . . . ?
* у = 0,4000 . . . = 0,3999 . . .
— 1 у = — 1, (285714).
Обратно: всякая бесконечная периодическая дробь есть рациональное
Число, так как ее можно обратить в обыкновенную
дробь, например:
ио.чойононо . . . — 3 6go- 3 _ g3o3 _ 11 3 0
(подробнее в гл. XVII, § 223).
Выполняв четыре арифметических действия над рациональными
числами (кроме деления на 0 ), в результате получим
также рациональные числа, т. е. эти действия не выводят
нас из множества рациональных чисел и не требуют
введения новых чисел.
Точно так же можно решать уравнения первой степени
с одним неизвестным и системы уравнений первой степени
с несколькими неизвестными; значения неизвестных Всегда
будут рациональными числами, если коэффициенты при не-,
известных и свободные члены рациональны. Однако уже
при решении простейших квадратных уравнений мы сталкиваемся
с необходимостью расширения понятия .числа. Например,
уравнение х 2— 3 = 0, или х 2 = 3 не имеет целого
корня, так как нет такого целого числЯ, квадрат которого
равен 3. Докажем, что корень этого уравнения не может
быть и дробным числом.
Допустим противное: х — ^ , где дробь —— несократимая
дробь. Тогда — 3- что невозможно, так как
квадрат несократимой дроби есть также несократимая дробь,
и она не может равняться целому числу (3). Следовательно,
корень уравнения не является рациональным числом.
Чтобы можно было говорить о корнях подобных уравнений,
необходимо ввести новые числа, так называемые
и р р а ц и о н а л ь н ы е числа.
Без иррациональных чисел нельзя обойтись и в геометрии,
когда ставится вопрос об измерении отрезков.

58 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

§ 27. Измерение отрезков

В этом параграфе будем опираться на следующее утверждение,
известное под названием а к с и о м ы Ар х име д а :
если АВ и CD — два произвольных отрезка, причем
АВ > CD, то найдется гйакое целое положительное
число п, что CD • п > АВ. Другими словами, всегда можно
отложить меньший отрезок CD на большем отрезке АВ
столько раз, чтобы получился отрезок AM, превосходящий
по длине отрезок АВ. На рис. 12 показано, что после того,
как на отрезке А В четыре раза отложили отрезок CD,
•
Е
§ 27. Измерение отрезков
Р В М . , — .
А В
с о
Рис. 12. Рис. 13.
получился остаток РВ меньший, чем CD\ Откладывая пятый
раз отрезок CD, получаем отрезок AM , бблыний чем АВ,
что можно записать следующим образом:
CD • 4 < АВ < CD • 5.
В данном случае число п = Ъ.
О п р е д е л е н и е 1. Общей мерой двух отрезков АВ
и СО называется такой третий отрезок ^ .который укладывается
целое число раз в каждом из данных отрезков. На
рис. 13 показано, что отрезок Е укладывается в отрезке АВ
пять раз, в отрезке CD — три раза.
О п р е д е л е н и е 2. Два отрезка, имеющие общую меру,
называются соизмеримыми.
Оп р е д е л е н и е 3. Отношением двух соизмеримых
отрезков называется отношение чисел, выражающих их длину
принятой единицей длины Е.
Таким образом, для отрезков из рис. 13 ‘
АВ _ 5-
CD 3 ’
Если общая мера Е в некотором отрезке укладывается т раз,
а в другом отрезке п раз, то их отношение равно рациональному
числу r.=g

59 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

Справедлив и 06piitH 6 ё гутвё(йа.йниеесли отношение
двух-отрезков есть число рациональное, то такие два отрезка
соизмеримы, т. е. имеют общую меру.
1 Q д.
В самом-деле пусть — — ; тогда за общую меру
можно принять отрезок, равный -Д-й части отрезка CD:
— с — V £== — CD.
■ ■ . ■/*- ■ —
Отсюда ,
CD = nE. АВ=*тЕ,
и
: АВ___ тВ __ т
~CD пЕ ~~ п *
О п р е д е л е н и е 4. Два отрезка, не имеющие общей
меры, называются несоизмеримыми.
Те о р ема . Диагональ квадрата несоизмерима с его
стороной.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем методом от противного.
Допустим, что диагональ квадрата соизмерима с его сторо- —
— ‘ — — d
ной; тогда их отношение есть рациональное число: — == г,
причем 1 < г < 2 , так как диагональ, й больше стороны
квадрата а , но меньше удвоенной стороны 2 а (гипотенуза
меньше суммы-катетов); следовательно, число г есть неправильная
дробь “jj-V которую можно считать несократимой:
По теореме Пифагора имеем
(Й = 2а2, (-J- a j — 2а2 .
или
что невозможно, так как квадрат несократимой дроби не
может, быть целым числом. Мы. пришли к противоречию
или абсурду, допустив соизмеримость диагонали квадрата.;,
с его стороной. Этим теорема доказана.

60 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

§ 28. Десятичное измерение отрезков

Убедившись в том, что существуют несоизмеримые
отрезки, выясним, что следует подразумевать под отношением
двух несоизмеримых отрезков иди, другими словами,
что принимается за длину отрезка, несоизмеримого с Отрезком,
принятым ла единицу измерения.
Пусть АВ и CD — два произвольных отрезка (рис. 14).
Откладываем меньший отрезок CD на большем столько раз,
пока не получится остаток РВ, меньший отрезка CD. На
рисунке изображен случай, когда такой момент наступит
после трех откладываний. Делим GD на 10 равных частей
_ _ _ _ _ ^
/ ‘ 1 ‘ р Рг ‘в
Рис. 14.
и одну десятую часть, его откладываем на остатке РВ до тех
пор, пока не получится новый остаток Р гВ, меньший,— части
отрезка CD. По нашему рисунку это произойдет после
четырехкратного откладывания’ доли CD. Новый остаток
РцВ измеряем частью отрезка CD, пока не получится
остаток Р^В, меньший -щ — части CD и т. д.
Возможны следующие три исхода только чтр описанного
процесса измерения:
С лу ч а й 1. Измерение оканчиваете^ на каком-то шаге;
например, если в остатке -щ- часть отрезка CD содержится
ровно шесть раз, то на этом измерение отрезка АВ заканчивается
и в результате получаем рациональное число 3,46.
С л у ч а й 2. Измерение. Продолжается неограниченно
и в результате получается бесконечная периодическая десятичная
дробь.
Сл у ч а й 3. Измерение продолжается неограниченно и
в процессе его получается бесконечная непериодическая десятичная
дробь, например: 2,451451145111 . . .
Первые два случая могут возникнуть только тогда, когда
отрезки АВ и CD соизмеримы, так как тогда их отношение
представляет рациональное число.

61 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

Третий1 случай может иметь место только тогда,когда
отрезок АВ несоизмерим с отрезком CD. Получаемая в неограниченном
процессе измерения бесконечная непериодическая
десятичная дробь есть новое число, отличающееся от рационального
числа, й оно называется иррациональным числом.
О п р е д е л е н и е 1. Всякая бесконечная непериодическая
десятичная дробь называется иррациональкым числом.
Простейшими примерами иррациональных чисел йОгут
служить: 1 ) число |/~2 , выражающее длину диагонали квадрата,
если длина стороны квадрата принята за, 1 ; 2 ) число У з ,
т. е. один из корней квадратного уравнения х 2— 3 = 0, и
вообще корень из любого положительного числа, не являю-
Гцегося точной степенью корня, например у** г —7’ , ^уу —2 и т. д.
Однако множество иррациональных чисел не исчерпывается
этими корнями. Вот еще примеры,иррациональных чисел:
1) число я, выражающее отношение длины любой окружности
к своему диаметру; это также иррациональное число,
но оно не может быть выражено Через радикалы;
2 ) иррациональным будет также число х , удовлетворяющее
соотношению 3* = 5, и число sin 7°.
О п р е д е л е н и е 2. Все рациональные и иррациональные
числа образуют множество действительных, или вещественных,
чисел.
Таким образом, фразу- ч х ‘есть действительное число» надо
понимать так: х или рациональное, или иррациональное число.

§ 29. Рациональные приближения действительных чисел

Предположим, что дано какое-нибудь иррациональное
число а: , —
«==*0,345345534355 — » .
Сохраним у этой бесконечной непериодической дроби только
первый десятичный знак, а остальные отбросим. Получим
дробь 0,3, которую будем называть рациональным п р и ближением
числа а с точностью до 0 , 1 по недостатку,
подобным образом дробь 0,34 будем называть рациональным
приближением с точностью до 0,01 по недостатку; дробь 0,345
есть рациональное приближение числа а с точностью до 0 , 0 0 1
по недостатку и т. д.
Можно получить рациональные приближения того же
числа а по избытку с точностью* до 0,1, до 0,01, до ОДЮТ

62 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

II т. д.; это будут дроби; 0,4; 0,35, 0,346 и т. д. Действительное
число, а больше любого его рационального приближения
ро недостатку, но меньше любого его рационального
приближения во избытку.
Когда производят» арифметические действия над действительными
числами, то обычно эти числа заменяют их
рациональными приближениями, взятыми с определенной степенью
точности, и производят указанные действия над полученными
рациональными числами.
О п р е д е л е н и е 1 . Суммой двух действительных
чисел называется такое действительное число, которое больше
суммы рациональных приближений Слагаемых, взятых по недостатку
с любой степенью точности, но меньше суммы
рациональных приближений слагаемых, взятых по избытку
с любой степенью точевдсти-
П р и м е р 1. Найти сумму чисел: 3 + 1 / 2 , с точностью
до 0 ,0 0 1 ,
Исходя из определения суммы, можно написать следующие
неравенства: -ф
0 ,3 + 1 ,4 < 3 + 1 / ! < 0 ,4 + 1 ,5 ,
0 ,3 3 + 1,41 < — i + У Ъ < 0 ,3 4 + 1,42,
0 ,3 3 3 + 1,414 < — j + / 2 < 0 ,3 3 4 + 1 ,4 1 5 ,
0 ,3 3 3 3 + 1 ,4 1 4 2 < у + У » 2 < 0 ,3 3 3 4 + 1,4143,
Так как нам нужно вычислить сумму с точностью до 0,001,
то приближенные значения слагаемых берем с 4-мя десятичными
знаками и после сложения последний десятичный знак
отбрасываем:
1,7475 < 3 + / 2 < 1,7477,
1,747 < — i + 1 /2 < 1,748.
Таким образам, любое из двух чисел, 1,747 или 1,748,
может быть принято за приближенное значение суммы 3 + ] / 2
§ „ точностью до 0,001: nei»oev число — 1,747 — по недостатку,
второе — поизбытку*

О п р е д е л е н и е 2. З а произведение двух действительных
чисел принимается такое действительное число,
которое больше — произведений рациональных приближений
сомножителей, взятых по недостатку с любой степенью точности,
но Меньше произведения их рациональных приближений,
мвтых по избытку’с. любой Степенью точности.
Пр име р 2. Вычислить произведение чисел а и я с точностью
до 0 ,0 1 , если
0 = 5,414414441 . . . . -я = 3 ,14159 . . .
На основании данного определения имеем следующие
неравенства: . ■
5,+* 3,1 < а • я < 5,5 • 3,2, L
5,41 • 3,14 < о • я < 5 ,4 2 • 3.15.
5,414-3,141 < а — я < 5 , 415-3,142,
5,4144 • 3,1415 < а — д < 5,4145 — 3,1416.
Так как произведение требуется вычислить с точностью
до*0 ,0 1 , т. е. в произведении надо получить четыре знача-
щйе цифры, то приближенные значения множителей берем,
с пятью значащими цифрами и после умножения сохраняем
1 в результате только четыре значащие цифры. Получим
17,009 < й я < 17,0102
-ИЛИ ‘ ‘ ;
17,00 < о я < 17,01.
Подобным образом определяются и другие арифметические
действия над действительными числами.
П р и м е р З . Найти длину, .отрезка АВ. с точностью да»
0 ,0 1 , если длина отрезка С£Мрлш*мается за единицу.
В данном случае безрдзлнчнрцроизмеримли отрезок АВ
с отрезком CD или несоизмерим.. Всегда можно найти такое
рациональное число, которое дает приближенное значение
длины АВ с заданной степенью точности.
Разделим отрезок CD на 100 равных частей и будем откладывать
-щ- часть его на отрезке АВ до тех пор, пока
не получим остаток, меньший сотой части отрезка CD,
Пусть для этого понадобилось операцию откладывания повторить
я раз. Отложив еще раз часть отрезка CD,
получим уже отрезок, бблыний отрезка АВ. Тогда получаем

две десятичные дроби:
п я + 1 — и — 1 100 100 ‘
Первая из них дает длину АВ по недостатку, вторая — но
избытку с точностью до 0 ,0 1 :
п . . п ^ п 4-1
ТОО < Длина А В < ^ — .

§ 30. Геометрическое изображение действительных чисел.

Проведем прямую, на ней выберем: 1) положительное
направление, например направление слева направо (указано
стрелкой), 2) начало отсчета, т. е. произвольную точку О,
^единицу маснтбаЦС^)
(рис. 15). Построенная
таким образом прямая называется
осью.
О £ М г
Рис. 15. ‘ Рис. 16.
Каждой точке, взятой на оси, например, точке Ж, можно
поставить в соответствие одно-единственное действительное
число х , выражающее длину отрезка ОМ, причем х > О,
если точка Ж лежит справа от начала О; если Ж слева от О,
то х < 0. Точке О соответствует 0. Справедливо и обратное
утверждение: всякому действительному Числу х соответствует
единственная точка М на оси Ох; точка Ж лежит справа
от начала О, если х > 0; если же х < 0, то точка М лежит
слева от начала О. Таким образом, соответствие между действительными
числами и точками оси является взаимно однозначным.
Точки, изображающие рациональные числа, называются
рациональными точками. а точки, которым соответствуют
иррациональные числа, — иррациональными точками.
Ось Ох называется осью действительных чисел, по-другому—
числовой прямой.
Приме р . Построить точку М, изображающую число У~2.
Строим квадрат со стороной, равной единице (рис, 16).
Из центра О раствором циркуля, равным длин! диагонали,
делаем засечку на оси Ох; точка Ж изображает число j / 2 .

63 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

ЕГЭ 2015 Математика.
Библиотека учителя.