СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

§ 32. Степень с нулевым и целым отрицательным
— показателем.

О п р е д е л е н и е 1. Всякое действительное число а,
отличное от нуля, в нулевой степени принимается равным
единице:
я° — 1 (0 4 =0).
П р и м е р ы . 1) 2° = 1; .2) ( а — 6 )°= 1 (аФ Ь)’,
3) —5° = —1; 4) (—5)° = 1. \
О п р е д е л е н и е ^ . Под степенью действительного числа а
с целым отрицательным показателем понимается дробь, числитель
которой равен 1, а знаменатель есть степень с тем же
основанием, но с противоположным показателем:
— (а=£°)- …
Пр име ч а н и е . Два числа я и — п называются противоположными.
п , \ . т-3 — . Пр и м е р ы. 1)4 ^ 1 з _ ^1 ; 2п), а — 2 • b. — 4 — 1 1 ^ 1 4-
65 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

Обратно: всякую правильную Дробь с числителем, равным
1, можно записать в виде степени с отрицательным
показателем:
j j 0 — 1. J_ о-З
3 ~~ ’ 8 23 ~ ‘
Действия над степенями с нулевым и отрицательным показателями
можно производить по тем же правилам, по каким
мы производим эти действия над степенями с натуральными
показателями.
Мы не станем строго доказывать это утверждение, а проверим
на ряде примеров, что это действительно так. Проверка
будет заключаться в том, что каждую операцию будем
выполнять дважды: первый раз с заменой символов о0 и а~п
на 1 и , второй раз без такой замены, но с применением
соответствующего правила для степеней с натуральными показателями.
Если окажется, что оба результата одинаковы, то
этим подтвердится возможность распространения соответствующего
правила на новые объекты а 0 и а~п.
У м н о ж е н и е с т е п е н е й 0)
1 ) а 0 • а -п _ _ J 1 _ 1 _ — я
ап а» ’
а 0 а -п _ _ а 0+ ( — я ) = а~п;
2) а~па — -т ——1 1
ап ат• = —а—п—+- —т— -=— Д« — ( Я + Я1)
д — « — а,—т а~ « + ( ‘ -т).._ _ а — п -т _ а -(п+т)■
3 ) х тх — я ___ „ЯС 1
■* 3 F
Y-fTZ
хп _— Xv т -п ,
X т . х ~ п — х т + ( — п ) _ _ х т ~ п .
Как видно из приведенных примеров, во всех случаях
подтверждается, что при умножении степеней с одинаковыми
основаниями показатели степеней складываются.
Д е л е н и е с т е п е н е й с о д и н а к о в ы м и осно
66 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

Этим подтверждается, что при делении степеней с одинаковыми
основаниями показатели степеней вычитаются и в том
случае, когда эти показатели равны либо 0, либо отрицательному
целому числу.
В о з в е д е н и е с т е п е н и в с т е п е н ь
J) (а°)п = Iя = 1,
(а°)п — а0п = а® = 1;
2) ( « ‘ Г =
{a-*)™ — »-™* j
8) (а я) (а~п)т *“ / 1 \ т ~ “ Т ~ = в,0Я,
\а») ‘а ”?г
(а~»)~т = — а®».
67 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

§ 33. Понятие корня

Из курса арифметики известно, что сложение и вычитание
называются взаимно обратными действиями, на том
Основании, что если к проиЩ^ьнбму^ числу а сначала прибавим
число Ь, а затем вычтем то же число Ь, то от этого
число а останется без изменения:
(а Ь) -г- Ь й, ….
или, меняя порядок действий,
(а — b )-\-b = a.
Подобным образом умножение и деление также взаимно
обратные Операции, так как
( a b ) : Ь — а, (Ь ф 0)
(й : Ь )’ Ь — а.
Действие, обратное возведению в степень,, называется
извлечением корня’, с помощью этого действия по данной
степени и ее показателю ищется основание степени; например,
если
1) а3 = 27, то а — 1^27 = 3;
5 _____
2) у5 = — 32, то у = У —32 = — 2.

68 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

Действие извлечения корня обозначается1 знаком У (знак
корня, или радикала), причем над этим знаком пишется
показатель корня, и только в случае квадратного корня
показатель корня 2 не пишется.
Оп р е д е л е н и е . Извлечь корень степени а, из числа
а — это значит найти такое число л:, которое после возведения
в степень я дает само число а:
У а = х , если х п = а.
Из этого определения следует, что ( / а ) — а.
1. Правило знаков, а) Корень четной степени из
положительного числа имеет два противоположных действительных
значения: ‘
/ 4 9 = ± 7 , так как ( ± 7 )2 = 49;
4
/ 8 1 j = ± 3, так как ( ± 3 )4 = 81. ’
б) Корень нечетной степени имеет тот же знак,
что и подкоренное число:
. ‘ з . ■ ■ ■
/ 6 4 = 4, так как 4а= 6 4;
5 ______
У — 32 = — 2, так как (—2)5 = — 32. :
в) Корень четной степени из отрицательного. числа
не я в л я ет с я действительным числом) например, У —9
не может быть ни -f-%, ни —3, так как (± 3 )2 = 9. Такие
корни называют мнимыми числами, о чем подробнее будет
сказано позже (см. главу «Комплексные числа»).
2. Арифметический корень. Оп р е д е л е н и е . Неотрицательное
значение корня из неотрицательного числа называется.
арифметическим значением корня или арифметическим
корнем.
Имея в виду арифметические корни, надо! писать
1) / 1 6 = 4,
Г- , 4 ___
2) / 8 1 = 3,
если а О,
— а , если а < £ 0 .
Далее в этой главе рассматриваются только арифметические

69 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

§ 34. Основные тождества, на которых основаны
преобразования корней и действия над ними

(I) (}Лг) = а (по определению корня).
п пр
(II) У а = Y ар (основное свойство корня), т. е.
Величина к о р н я не изменится, если показатель к о р н я
и показатель степени подкоренного числа умножить
на одно и то же число.
Но всякое тождество можйо читать как слева направо,
так и справа налево. При чтении тождества (II) справа налево
оно звучит по-Другому: показатель ко р н я и показатель
степени подкоренного числа можно разделить на и х
общий множитель.
Приме ры. 1) УЪ = У 5 2; 2)У 2= У Р ; 3) У Зс5= у гх 2.
я г- ‘
(III) у abc = У а У ь У с.
При извлечении ко р н я из произведения, можно и звлечь
корень той же степени из каждого множителя
и полученные результаты перемножить.
Пр име ры. 1) 1/»900 = У 9 • 100 = У~9 ■ У Ш = 3 X
X Ю = 30; 2) У 64 • 3 4 3 = 1^64 • У з 4 3 = 4 — 7 = 28. Если
читать тождество (III) в обратном направлении (справа налево),
то словесная формулировка будет другая: при ум н о жении
корней (радикалов) с одинаковыми показате лями’
надо перемножить и х подкоренные выражения и извлечь
корень той же степени из и х произведения.
Таким образом, тождество (III) в то же время дает и
правило умножения радикалов с одинаковыми показателями.
Пр име ры. 1) У 2 • У §0 == У Щ = 10; 2) У а У а 2 =
= У а 3 — а. Сочетая основное свойство корня (II) с тождеством
(III), можно умножать корни с разными показателями:
У~Х ■ } f x = fy~x2 \[~х == \/»х*,
]/~2 • У 2 = \ f 2 2 \f2 * = |^25 = •{/’32.
На тождестве (III) основано вынесение множителя за знак
радикала:
У 8 = * У Г 2 = 2 У 2, УШ Щ = У 9 а 2 • 2ад — За УШ >,
^ 5 4 = = У 2 7 Т 2 = з У 2.

70 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

(IV) у = -i-— , т. e. чтобы извлечь корень из дроби
V~b
Очастного), можно извлечь в отдельности корень той же
степени из числителя и знаменателя и первый р е зу ль тат
разделить на второй.
‘ Чтение тождества (IV) справа налево дает правило деления
корней с одинаковыми показателями; при делении к о р ней
с одинаковыми показателями можно разделить и х
подкоренные выражения и извлечь корень той же степени
из полученного частного.
П,, р и м е р ы . 11Ч) , / » 9 Г V 9 3 , —
0Ч , 8/~~27~ _ V 27 _ 3 ,
■ V 100° “ f i o o o » Ю’ ‘
■3) / 8 ; / 2 = ] / » | — 2;
4) У л : УЪ = 1^45: =
(V) (У ъ )т
Это тождество есть следствие из тождества (III). При
возведении ко р н я в степень можно возвести в эту степень
подкоренное число, оставляя показатель ко р н я
без изменения.
Приме ры. 1) ( / 2 ) 4= / 2 5 = / 1 6 = 4; 2) (1^9)2 =
= = ^ 8 1 = У Т П ъ == з \Hi.
(VI) у гой = а т : л .
При извлечении к о р н я из степени можно п о ка за тель
степени подкоренного числа разделить на показатель
корня, если это деление совершается н а цело.
Приме ры. 1) / F = j c 2; 2) f 2 T f= = y& f= = S y * ;
3) V 8 1 al2l>8 = V 34а 12*8 = 3 a3b2.
Пр име ч а н и е . При решении примеров 2) и 3) были
применены тождества (III) и (VI).

71 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

(VII) у у а — у а, т. е. при извлечении к о р н я из
ко р н я можно извлечь корень степени, равной произведению
показателей данных двух корней, оставляя подкоренное
число без изменения.
Тождеством (VII) чаще приходится пользоваться, читая
его справа налево; например, располагая только таблицей
квадратных корней или логарифмической линейкой, целесообразно
заменить извлечение корня 4-й степени двумя последовательными
извлечениями квадратного корня;
. 1,19.
Подобным же образом
|/» l2 = У уШ Ш ж уТ&б 1,38.
Пр име ч а н и е . Справедливость формул (Н) — (VII) проверяется
одним и тем же приемом: обе частя каждого равенства
возводятся в одну и ту же степень, в результате чего
получаются одинаковые выражения.

72 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

§ 35. Извлечение квадратного корня с заданной
степенью точности

В практических расчетах при извлечении квадратного
корня из чисел выполняют эту операцию лишь приближенно.
Пусть требуется, вычислить У 3 с точностью до 0,001. Это
значит, что надо найти две десятичные дроби, разнящиеся
между собой на 0,001, между квадратами которых должно
заключаться число 3, т. е. квадрат меньшей дроби должен
быть меньше 3, а квадрат ббльшей дроби должен быть
больше 3.
Известно, что при возведении десятичной дроби в квадрат
число десятичных знаков удваивается, например, .
(1,5)2 = 2.25; (0,012)2 = 0,000144.
Поэтому три десятичных знака в квадратном корне можно
получцть лишь при условии, что подкоренное число имеет
шесть десятичных знаков, т.’ е. выражено в миллионных
долях. На место недостающих десятичных знаков напишем

73 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

нули и применим обычный прием извлечения квадратного
корня:

Дробь 1,732 есть приближенное значение / 3 по недостатку
с точностью до 0,001, так как (1,732)2== 2,999824…
Дробь 1,733 есть приближенное значение / 3 по избытку
с точностью до 0,001, так как (1,733)2= 3,003289 . . .
Пример. . Вычислить /0 ,0 4 3 8 1 8 с точностью до 0,01.
В дауном случае наДО — сохранить в подкоренном числе
только четыре дееятичнЁЙс знака, лишние знаки отбрасываются:

74 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

§ 36. Освобождение дроби от квадратной
иррациональности в знаменателе

При приближенном вычислении числовой величины дроби,
содержащей в знаменателе радикал, часто приходится делить
на многозначное число, что неудобно. Однако можно данную
дробь преобразовать так, чтобы знаменатель стал рациональным
числом. „Это преобразование носит Название «освобождение
дроби от иррациональности в знаменателе».
П р и ме р 1. Вычислит^ значение дроби l / / 3 с тремя
точными значащими цифрами.

75 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

Предварительно умножим числитель и знаменатель дроби
на У 3: ‘
1 УЪ У з
У»3 V»3 _ 3
Приближенное значение У.З берем с четырьмя значащими
цифрами по таблице квадратных корней:
У З да 1,732.
Тогда
„ 0 ,5 7 7 . ‘
Здесь деление легко выполнить устно, и конечно, это проще,
чем делить 1 на 1,732.
У~2
П р и м е р 2. вычислить числовую величину дроби —
с точностью до 0 ,001.
Умножим числитель и знаменатель дроби на 3 + ^ 2 :
У 2(3 + V 2 ) __ ЗУ~2 + 2 3-1.414 + 2 __ 6.242 р ggg
32_ ( у » 2)2 у 7 7 ~
Вычисление без предварительного уничтожения иррациональности
в знаменателе требует большой затраты труда ввиду
неизбежности деления на многозначные числа:

76 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

§ 37. Простейший вид радикала. Подобие радикалов

Простейшим видом радикала принято считать такой
его вид, когда: а) подкоренное выражение не содержит дробей;
б) множители вынесены за знак радикала; в) сокращены
показатель корня и показатель степени подкоренного выражения
на их общий множитель.
Следующие примеры служат иллюстрацией приведения
радикалов к простейшему вйду:
1) У з 2о¥> = У 16аЧ*2а = 4ab2 \f2 a ;
,у. ■. f Bab л Г 4 • 2ab — 3с • 2 , /-g- ,
2> У — з к — Ш ~ = ^ У %аЬс’

77 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

3> К J + а — У -~ 4 b ~ — V ^
= ~ 1^(а2 + 62) а2Ь2;
4> ^ / т — 7 = / х2у2( т — 7 ) =
= У ху2 — х2у = Ух у (у — х)’ (у > X > 0).
Оп р е д е л е н и е . Два или несколько радикалов называются
подобными, если они различаются только коэффициентами,
но имеют одинаковые подкоренные выражения
и одинаковые показатели радикала или ничем не отличаются.
Подобными будут, например, 3 ] /2 и —7^2; я ] / х -j- >’ и
— У х + у .
Часто с виду радикалы как будто неподобны; однако
после приведения их к простейшему виду может обнаружиться
их подобие.
Пр име р ы. — 1) 3 y и подобны, так как
з / 1 = 3 / 4 = | у т .
1 7 » | ‘ > 7 l i ‘ i
2) 1^4а 4Ь2 и водо®ны’ так как
Y ^ ^ b 2 — a \^A a b 2,
Подобные радикалы приводятся так же, как и подобные
рациональные одночлены, что видно из следующего сопоставления:
-~
Z x y — \ — 5 x y— 6х у = 2ху,
3 Y o b + 5 y iib — 6 Y o b = 2 Y o b ,
mx — n x — { — p x = (m — n — \ — p ) x ,
m a — n V a ( b — { — c ) -f- p V a ( b — \- c ) —
= (m — n — \ — p )V a {b -f- c).

78 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

§ 38. Сложение и вычитание радикалов

При сложении иди вычитании радикалов соединяют их
между собой знаком (~Н) ила (—) й приводят подобные радикалы,
если они имеются. Например, .
(2 / 2 0 + 5 ^ — ( з =
ж= 2 / 2 0 + 5 У § — 3 j / y 4 — у м —
_ 4 y r5_j_ ю |/2 — 1 — / 5 + 7 / 2 = 3 , 4 У 5 + 17 У»2.

§ 39. Умножение и деление более сложных
иррациональных выражений

В § 34 при рассмотрении основных тождеств было показано,
как выполняются умножение и деление радикалов
в простейших случаях.
При умножении и делении иррациональных многочленов
применяются те же ^правила, что и при умножении и делении
рациональных многочленов.
Пр име ры.
1) (3 У 2 — 2 У З ) (7 y f + 5 У з ) = З У 2 • 7 У 2 —
— 2 У 3 • 7 Y 2 + 3 — 5 У $ — 2 У З 5 У 3 = 21 • 2 —
— 14 Уб-4- 16 У б — 10 • 3 = 1 2 — f у ь ,
2) ( la b ^ — * f f j : f b i = 2 a b ^ ^ —
§ 40. Преобразование сложного радикала
Иррациональное выражение вида
У а ± У в .
где /4 и В — положительные рациональные числа, В не есть
точный квадрат, называется сложным ради ка лом. Спож-
ный радикал может быть, преобразован к виду
у л ± у в — ± (

79 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

Проверить справедливость формулы (1) можно путем ‘ возведения
в квадрат обеих частей, с учето£ того, что все радикалы
арифметические. Выполним это для случая, когда везде берутся
‘ верхние знаки-
* Квадрат левой части
( Y A — ^ y w f ^ A + v w ,
Квадрат правой части
( / Ш £ = в +
_ A + fA * — B _ц A — V A t — B j S
2 2
+ j / A + y f — в- / A ~ y f ~ “ —
. = А + УЖ — (Аг — В) = А + / В
Может показаться, что такое преобразование бесполезно, так
как правая часть тождества содержит два сложных радикала,
а левая часть — только один. Однако в тех случаях, когда
выражение А2 — В есть точный квадрат, в правой части
тождества получим сумму или разность двух простых радикалов,
и тогда есть смысл пользоваться преобразованием
сложного радикала.

80 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

§ 41. Степень « дробным показателем

О п р е д е л е н и е 1. Степень с положительным дроб-
т
н им показателем, т. е. выражение а п (т и а — целые
положительные числа), означает корень. (радикал), показатель
которого равен в, а подкоренное выражение равно ат:

81 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

Приме ры. 1) 2 2 = / 2 ; 2) (a + £)3 = = / ( a — — f — 6)2;
3) (лгу) 3 = V x ^ —
Обратно, всякий радикал можно представить в виде сте-
пени с дробным показателем:
t — 1
1) У а2 — а 3;
. _____ 1 ……………….
2) V х — У ~ ( Х-— УУ>. ГЛе х > у;
s _з
3) . / б 3^ 3.
О п р е д е л е н и е 2. Степень с отрицательным дроб-
т
ным показателем, т. е. выражение а п ( в и п — целые
положительные числа), означает обратную величину выражения
ат!п: ‘
а -т!п . 1 1
Пт\п п а тУ г аш”
Над стёпенями с дробными показателями можно производить
умножение, деление, возведение в степень и извлечение
корня по тем же правилам, как и над степенями с целыми
показателями, если основания степеней равны между
собой. ‘
Умножен ие :
п q ___ nq _____ nq nq ________
a m ina piq — У a m У a p = У a mQ / а 7” — у a m q + p n —
— m q +p n m t p
. j, = a ni — a n ?,
т. e. показатели степеней складываются также в случае умножения
степеней с дробными показателями.
_ i 1 , ,
Пример . 8 3 — 8 2= ^ > ^ = ~ 8 / 8 = 2 /& = = 4 /2 .
Теперь произведем умножение без замены множителей радикалами:

т. е. показатели степеней вычитаются в случае деления степеней
с дробными показателями.
Предоставляется учащемуся самому проверить, что и при
возведении степени в степень, а также при извлечении корня
из степени прежние правила действий над степенями сохраняются.
1 ^ . J / _1 \ _ 1
Пр име ры. I) 32 : 3_ 2= 3 2 i ‘ » = 3 l= 3 ; 2 ) ( 2 ‘4) 2 =
= 2»’=. 4;.
_i_ 1
3) (0,027)” 3 2560,75 — 3_1-f-(4,5)° =
“ Ш ^ V ^ 2563— 1=г(-ш) + ( У ж ) 3+
• + | = 4 ? — 4 — ^ + 4 — б 8 .

§ 42. Примеры на все действия над радикалами

Скачать или посмотреть оригинал
«АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. Степень с натуральным показателем» в формате PDF

83 АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ. Глава 5. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.

ЕГЭ 2015 Математика.
Библиотека учителя.
Школьная математика.