§ 2 . Доказательство неравенств

ЧАСТЬ II. ГЛАВА 10
НЕРАВЕНСТВА

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Доказательство неравенств

При решении различных вопросов возникает потребность в выяснении,
которое из двух данных чисел больше другого. Такие задачи
называются задачами на выяснение знака неравенств. Например,
выяснить, какие корни имеет уравнение
дг* — ( / 2 + 1 ) ЛГ + 0,85 У з = 0,
вещественные или мнимые? Для решения этого вопроса надо выяснить,
что больше
(/2 -1 -1 )* или 3 ,4 / 3 .
В некоторых задачах знак неравенства указан в условии задачи,
и требуется доказать, что данное неравенство справедливо. Такие
задачи называются задачами на доказательство неравенств. Например,
доказать, что при любых положительных а и b
W b .
Между указанными двумя типами задач нет существенного различия,
так как при установлении знака неравенства одновременно
доказывается справедливость некоторого неравенства и наоборот.
Задачи на дПример. Какие корни имеет уравнение
дг* + (У 2 + 1) лг ‘- f 0,85 У 3 = 0 ,
действительные или мнимые? ~
Реше н и е . Для ответа на этот вопрос надо выяснить, что
больше: ( \f2 — \- \) * или 3,41 /3 ? Допустим, что
( / 2 + 1)* > 3 , 4 / 3 ,
т. е.
3 + 2 / 2 > — £ / 3 . (1)
Тогда (теорема 4)
1 5 + 1 0 / 2 > 1 7 / 3 , (2)
этсюда (теорема 7)
2 2 5 + 2 0 0 + 3 0 0 / 2 > 8 6 7 , (3)
отсюда (теорема 3)
3 0 0 / 2 > 4 4 2 , (4)
отсюда (теорема 4)
/ 2 > 1,47. (5)
Мы показали, что из неравенства (1) следует неравенство (5).
Но неравенство (5) несправедливо. Значит, нельзя предполагать, что
неравенство (1) справедливо и таким образом
( / 2 + 1)* < 3 , 4 / 3 .
Далее,
( / 2 + 1)*+ 3 ,4 /3 ,
иначе (3,4)* • 3, — 2 — 1 = 2 / 2 , т. е. рациональное число равно ир-
рациональному. Остается, что
( / 2 + 1)* < 3 , 4 / 3 .
Корни квадратного уравнения
ЛГ* + ( / 2 + 1) ЛГ + 0 , 8 5 / 3 = 0
мнимые.
Ответ. Корни мнимые.
Пример. Доказать, что, если а^>0, Ь^>0, то
т. е. что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше
их среднего геометрического.оказательство неравенств могут быть весьма разнообразны,
а потому разнообразны и приемы их решения. Основные
приемы доказательства неравенств поясняются следующими примерами.

443 Доказательство неравенств. Кабинет Математики.

Решение. Допустим, что утверждение неверно, т. е.
Тогда (теорема 7)
Последнее неравенство несправедливо. Значит, нельзя было предполагать,
что утверждение неверно.

444 Доказательство неравенств. Кабинет Математики.

Проведенное в последнем примере рассуждение имеет несколько
неестественный характер. Применялось доказательство от противного
вместо естественного здесь прямого доказательства. Однако при решении
8адач на доказательство неравенств прямым способом часто
допускаются ошибки в изложении, так как здесь легко спутать прямое
утверждение с обратным.
Мы изложим два варианта прямого доказательства. Первый из
них напоминает обычное рассуждение при решении геометрических
задач на построение.
Анализ . Допустим, что задача решена и доказано, что
Анализ пЪказал, что из неравенства (6) вытекает неравенство (9).
Неравенство (9) справедливо, но отсюда еще не следует, что справедливо
неравенство (6). Однако если удастся доказать, что из неравенства
(9) следует неравенство (6), то задача будет решена. Путь
такого доказательства указан анализом.
До к а з а т е л ь с т в о . На основании теоремы 3 из неравенства (9)
следует неравенство (8). На основании теоремы 4 из неравенства (8)
следует неравенство (7). На основании теоремы 8 из неравенства (7)
следует неравенство (6). Этим показано, что из неравенства (9) следует
неравенство (6).
При желании можно анализ не излагать, а вести прямо доказательство.
Очевидно, что
(6)
Тогда
(7)
(8)
(а — ЬУ ^О. (9)

445 Доказательство неравенств. Кабинет Математики.

т в,
а’ — 2ад + £45&0.
Прибавим к каждой части неравенства 4ab, получим
(a-\-bf2z4tab,
отсюда на основании теоремы 8
а — \ — Ь ^ 2 У ab,
на основании теоремы 4
^ ^ У Т ь .
Ограничиваться же изложением одного анализа нельзя, так как’
из того, что некоторое утверждение справедливо, вообще ре следует,
что справедливо # обратное.
Второй вариант изложения ведется в форме,-весьма напоминающей
анализ, и является все же строгим.
Требуется доказать, что
^ — ^ У Т ь . (Ю)
На основании теоремы 8 (но не 7) неравенство (10) вытекает из
неравенства
( o ± W ^ ab’ (11)
На основании теоремы 4 неравенство (И) вытекает из неравенства
(a + b)*^4ab. (12)
На основании теоремы 3 неравенство (12) вытекает из неравенства
(a — b f ^ z 0. (13)
Неравенство (13) очевидно.
Вычисления здесь приведены в том же порядке, что и при анализе,
но всякий раз доказывалось, что доказываемое неравенство (10) вытекает
из следующих за ним. При анализе поступают наоборот: из доказываемого
неравенства (10) выводят все следующие за ним.
Замеч ан и е . Рассмотренное неравенство имеет весьма простой
геометрический смысл. На прямой АВ отложим последовательно отрезки
а и bt на их сумме, как на диаметре, опишем окружность.
Тогда -g ^ — — радиус этой окружности, а У~оЬ — половина хорды,
перпендикулярной к диаметру в общей точке отрезкрв а и Ь%
Пример . Доказать, что при любом натуральном п

446 Доказательство неравенств. Кабинет Математики.

Д о к а з а т е л ь с т в о . При п = 1 неравенство справедливо, так
как
i > 2 У 2 — 1,9.
Предположим, что неравенство справедливо при я==А, где к —
некоторое натуральное число, т. е.
^ + ^ + . . . + — ^ > 2 У Н Л — 1 Д 0 0
Докажем, что тогда неравенство справедливо и при /* = £-{-1, т. е.
7 T + W + — + 7 f f r > 2 1 / J + ‘2 — 1A (15>
Сравнивая неравенства (14) и (15), заключаем, что неравенство (15)
будет доказано, если будет установлено, что
у = ^ — > 2 у гЯ Г2 — 2 У ГН ГТ« (16)
Действительно, сложив почленно неравенства (14) и (16), получим
неравенство (15).
Остается доказать неравенство (16). Оно вытекает из неравенства
J ^ I А+1 + 2 V rF F T > 2 V rA + 2, 0 7 )
или
% ± * V F + 1 > 2 / F F 2 . (18)
Неравенство (18) вытекает из неравенства
(2А + 3 )*>4(А + 2)(Л + 1), (19)
или
4А*+12& + 9> 4А *+ 1 2А + 8. (20)
Неравенство (20) вытекает из очевидного неравенства 9 ]>8 .
Пример . Доказать, что
4в* — 4а8-}- 5а* — 4а-j-1 ^ 0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Разложим левую часть неравенства на множители.
Имеем
4а4 — 4а9-}-5а4— 4а-}- 1 ==а4(4а4— 4а-}- 1)-}-(4а4 — 4а-}- 1) =
= (2а — I)8 (а* -j-1).
Так как (2а— 1)*5*0, а4 -}- 1 ]> 0, то ■
(2а— I)4 (а* +l)SsO.
Равенство здесь имеет место только тогда, когда а — -^.

447 Доказательство неравенств. Кабинет Математики.

Пример. Доказать, что при а ^> 0, б^>0, с]>О
(а + б) (а + с) (б + с) ^ 8 abc.
До к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что с не превосходит а и Ъ*
Положим а = с + лг, b = c -\-y t где х ^> 0 , у ^ О . Тогда неравенство
можно переписать так:
(2с + х -\-у) (2с -f- х ) (2с Ss8c(c + х ) (с -\-у),
или
8 с3 4~ 8Лс -f- 8c2j* -f- 2слг2 4 — 2су2 4 “ Ъсху 4~ Х*У + ХУ% ^
^ 8 с3 4 — 8Лс 4 — 8с*у 4 — 8сху.
Последнее неравенство вытекает из неравенства
2сх* 4 — 2су* 4 — х*У 4″ хУг ^ 2сху,
которое в свою очередь вытекает из очевидного неравенства
с ( х —у)* 4 — сх* 4″ СУ* + Х*У + ХУ* ^ 0.
Точно так же можно доказать, что неравенство справедливо и
тогда, когда Ъ не превосходит с и а или а не превосходит б и с ,
так как буквы а, б, с входят в условие задачи симметрично.
Приме р . Доказать, что при п^> 1
448 НЕРАВЕНСТВА [гл. X
1 > 1
п + 1 ‘ л + 2 + ” * + — 2^яг <С т *
Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим левую часть неравенства Sn
Имеем
5л== / г + Г “^ п + 2 *
1 , 1 , , 1
Второй раз слагаемые 5 расположены в порядке возрастания.
Складывая почленно, имеем:
2 S n= ( 7Г+Т + 2лг) + ( 7Г+Т + 2^=Т 2iT ^ ~ ^ + т ) ‘
Если доказать, что при любом натуральном б, не превосходящем п,
n-\-k 1 2п— k& ++ i ^ 2п> ^
тогда получим, что
2^я <^ 2 л >
Остается доказать неравенство (21). Оно следует из неравенства
2« (2я — k + 1) + 2« (я + k) < 3 (и -J- k) (2я — k 1),

448 Доказательство неравенств. Кабинет Математики.

или, что все равно, из неравенства
6 п* -|- 2 п<С, 6я2 + Ъпк -{- 3 п — ЗА2 -{- ЗА.
Неравенство (22) следует из неравенства
3A2<3/iA + 3A-f п.
Последнее неравенство очевидно, так как
ЗЛ*<ЗлЛ.
Пример ; Доказать, что если
ахаг . .. ап= 1 и at> 0; а2> 0; *..? ал> 0,
то
(1 -j- a*) (1 -|- … (1 -}- а„) ^ 2Л.
До к а з а т е л ь с т в о . По доказанному на стр. 445
l + a t ^ 2 y T t,
1 —J™ d} Ss 2
§ 3 ] РАВНОСИЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
1 + а „ 5 * 2 Т /а „ .
Перемножив неравенства Почленно, имеем: п
(1 + ai ) 0 + аа) О . . . аЛ.
Учитывая, что ata2 . . . аЛ= 1, прлучим неравенство (23).

449 Доказательство неравенств. Кабинет Математики.

Околоadmin