Предварительная беседа

Главная Страница Зачем и как мы доказываем в математике.

Скачать бесплатно в PDF формате «Зачем и как мы доказываем в математике. А.А. Столяр» на странице Учебники Скачать.

НЕЛЬЗЯ ЛИ ОБОЙТИСЬ
БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА?

Текст для быстрого ознакомления. Формулы отображаются некорректно. Смотрите оригинал в формате PDF по ссылке выше.

С. 1 У меня давно возник вопрос, на который не
могу найти ответ. Почему в геометрии мы доказываем
почти все, а в алгебре всего несколько
теорем? Кроме того, многие доказываемые геометрические
предложения совершенно очевидны. Например,
мы доказываем, что две различные прямые
не могут иметь более одной общей точки или что
перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых
перпендикулярен и к другой и т. п. Это и так
ясно. Нельзя ли в таких случаях обойтись без
доказательства?
А.2 Вопрос, действительно, интересный и требует
всестороннего обсуждения. По существу, Вы задали
два вопроса: 1) Почему в алгебре намного меньше
доказываем, чем в геометрии? и 2) Нельзя ли обойтись
без доказательства в тех случаях, когда речь
идет о математических (и, в частности, геометрических)
предложениях, истинность которых очевидна?
Основным, конечно, является второй вопрос.
Но ответим сначала на первый.
О доказательствах в алгебре Вы судите по числу
предложений, названных в школьном учебнике
теоремами.
С. А как же иначе? Только теоремы и доказываются.
Аксиомы же принимаются без доказательства.
Кстати, в алгебре и аксиом-то нет!
А. Вы правы лишь в том, что в школьных
учебниках алгебры, действительно, явно не сформулированы
аксиомы и многие теоремы. Но все же,
изучая алгебру, Вы доказываете намного больше,
чем это Вам кажется. Один ученик сказал:

______________________________
1 С — старшеклассник, собеседник автора.
2 А — автор.

6

Нельзя ли обойтись без доказательства!

«В геометрии мы доказываем, а в алгебре решаем».
Но это не совсем так.
С. Вы имеете в виду, что в алгебре мы доказываем
разного рода тождества?
А. И это, конечно. Доказывая, например, известное
тождество (х + у)2 — х2 -+- 2ху + у2, вы доказываете
предложение
(х + у)2 = х2 -)- 2ху + у2 для любых л:, у 6 R
С. Значит, всякое тождество, которое мы доказываем,
можно называть теоремой?
А Разумеется. Но и во многих случаях, когда
явно не ставится задача: «Доказать…», мы тоже
имеем дело с доказательствами, которые в школьном
курсе алгебры иногда опускаются.
С. Например?
А. Рассмотрим простую, хорошо известную Вам
задачу: «Решить уравнение х + а = Ь».
С. Но здесь мы ничего не доказываем. Мы просто
решаем уравнение и находим х = Ь — а.
А. Совершенно верно. А если требовалось бы
решить это уравнение в натуральных числах,
т. е. найти все значения х такие, что х £ N и
х + а = ծ?
С. Такие натуральные числа мы найдем лишь
в том случае, когда а < Ь .
А. Почему?
С. Потому что только в этом случае разность
b — a e N .
А. Ну, а что можно сказать о решении этого
уравнения в целых или рациональных числах?
С. В целых или рациональных числах уравнение
х + а = b всегда имеет единственное решение
b — а.
д. «Всегда» означает «для любых а и ծ». Но
откуда это следует и как доказать?
С. По-видимому, подставив вместо х в левую
часть уравнения b — а, мы должны получить правую
часть.
Но перед тем как подставить b — а или
ծ + ( — о), надо еще доказать, что такое число существует
во множестве Z (или Q).

7

С. Это очевидно. Ведь сумма двух целых (или
рациональных) Чисел есть целое (рациональное)
число.
А. Но нам даны, скажем, целые числа ծ и а.
Вы же берете сумму ծ + ( — а).
С. Но если а 6 Z, то и —а 6 Z.
А. Иначе говоря, мы здесь ссылаемся на одно
из свойств, характеризующих множество Z, а именно:
«Для всякого a g Z существует в Z противоположное
число —а такое, что а + ( — а) = О».
Расположим доказательство следующим образом:
(Ь + (— а)) + а = b -+- ((— а) + а) (ассоциативность
сложения);
— b -f- (a -f- (— а)) (коммутативность сложения);
= b + 0 (свойство противоположного
числа);
= b (свойство 0).
Как видите, в нашем доказательстве мы использовали
следующие свойства:
(а1)(х + у) + 2 = х + (у + z) для любых х, у,
z 6 Z (ассоциативность сложения);
(а2) х 4՜ У = У 4՜ х для любых х, y £ Z (коммутативность
сложения);
(аЗ) для любого х 6 Z существует —x £ Z такое,
что х -\-{ — х) = 0 (— х называют противоположным
для х элементом);
(а4) х + 0 = х для любого x £ Z (0 — нейтральный
относительно сложения элемент).
С. Теперь предстоит доказать свойства (а1) —
(а4), затем те свойства, на которые мы будем ссылаться,
и т. д., как в сказке про белого бычка? А может
быть, они принимаются за аксиомы?
А. Вы правы. Эти свойства можно принять за
аксиомы, характеризующие множество Z с операцией
сложения. Но все ли мы доказали относительно
решения уравнения х — \ ֊а = Ь?
С. Мы не доказали, что найденное во множестве
Z решение — единственное.
А. Совершенно верно. Чтобы убедиться в том,
что нет другого корня, кроме b — а, достаточно
доказать, что из х -\- а — b следует х = b — а, так

8

как это равносильно тому, что из х ф Ь ֊а следует
х -\- а ф Ь .
Вот это доказательство!
х а = Ь\
(х + а) — а = b — а;
х -\-(а — а) = b ֊ а;
х + 0 = b — а;
х — Ь — а.
Таким образом, мы доказали существование
и единственность корня уравнения х — \ ֊а — Ь во
множестве Z целых чисел.
С. Все это очень интересно. По-видимому, эти
доказательства сохраняются и для множеств Q и
R , так как в них также выполняются свойства
(al) — (а4), принятые за аксиомы.
А. Совершенно верно. Как видите, и алгебра,
если построить ее строго, опирается на определенную
систему аксиом, с помощью которых доказываются
другие предложения этой теории (теоремы).
Однако по установившейся традиции в школьной
алгебре основные свойства операций сложения и
умножения, с которыми Вы ознакомились еще
в 4—5 классах, не называют аксиомами, а некоторые
доказательства опускаются.
С. Но если можно опускать доказательства в
школьной алгебре, то почему нельзя опускать их
в школьной геометрии?
А. Вообще опускание доказательств не свойственно
математике. На вопрос, какую роль в ней
играет доказательство, один математик ответил
так: «Доказательство в математике — это не все,
но без него в ней нет ничего».
В школьной математике доказательство опускается
лишь в тех случаях, когда оно вызывает
большие затруднения.
Доказательства геометрических теорем в об-
щем-то не проще, чем доказательства алгебраические,
но чертежи, иллюстрирующие доказываемые
предложения, часто помогают быстрее найти путь
к доказательству. Поэтому обычно удается строить
школьную геометрию на более высоком уровне

9

строгости, чем школьную алгебру, хотя и в школьной
геометрии мы далеко не все доказываем, что
должно быть доказано.
С. Теперь мне уже ясно, что в алгебре мы доказываем
не намного меньше, чем в геометрии.
А. Обратимся к Вашему второму вопросу. Я
так понимаю его: Вас интересует, почему в математике
вообще и в геометрии в частности (и не
только в школьной) доказывают то, что очевидно
и вроде не нуждается в доказательстве. Правильно
ли я понимаю Ваш вопрос?
С. Правильно. Вот Вы, например, приняли
свойства ( a l )— (а4) за аксиомы. Эти свойства очевидны.
Геометрические аксиомы тоже очевидны.
Почему бы и другие предложения, истинность которых
очевидна, не объявить аксиомами и принять
их без доказательства? Ведь обычно об очевидном
предложении так и говорят: «Это — аксиома, она
не требует доказательства».
А. Вот здесь Вы допускаете смешение смыслов,
в которых слово «аксиома» применяется в обыденной
речи и в математике. В обыденной речи, действительно,
иногда об очевидной истине, не требующей
доказательства, говорят, что это аксиома.
Совершенно иной смысл вкладывается в слово
«аксиома», когда оно применяется в математике,
где широко используется аксиоматический метод
для построения математических теорий (хотя это
не единственный метод построения теорий, используемый
в математике).
Согласен с тем, что все известные Вам из
школьной геометрии аксиомы очевидны. Однако
аксиомы не доказываются вовсе не потому, что
они очевидны, а потому, что они приняты в качестве
исходных предложений данной теории.
С. Это мне известно. Но что стоит принять за
исходные и все остальные очевидные предложения
и не доказывать их?
д. В таком случае мы бы получили избыточную
систему аксиом.
С. Как это понимать?
А. Допустим, что наряду с известной аксиомой

10

принадлежности: «Для любых двух различных
точек не существует более одной прямой, которой
эти точки принадлежат» (1), выражающей единственность
прямой, проходящей через любые две
различные точки, мы объявили бы аксиомой и непосредственно
следующее из нее предложение:
«Две различные прямые имеют не более одной
общей точки» (2).
Такая система аксиом логически несовершенна,
не отвечает требованию независимости, заключающемуся
в том, что ни одна аксиома логически не
следует из остальных (не является логическим следствием
остальных аксиом), хотя система аксиом,
не отвечающая этому требованию, может служить
базой для построения теории. Однако строгое
аксиоматическое построение теории предполагает,
что доказывается все, что может быть доказано,
т. е. что следует из принятых аксиом. В ка—
честве исходных предложений (аксиом) данной
теории принимают минимальное необходимое число
предложений, с помощью которых все остальные
предложения этой теории уже могут быть доказаны.
С. По-видимому, предложение 2 можно принять
за аксиому вместо 1, и тогда предложение 1 будет
теоремой, так как если две различные прямые
имеют не более одной общей точки, то, допустив,
что через две точки проходит более одной прямой,
получим противоречие с этой новой аксиомой.
А. Верно. И если в принятой нами системе
аксиом геометрии заменим аксиому 1 аксиомой 2,
получим новую систему аксиом, эквивалентную
данной в том смысле, что эти две системы аксиом
определяют одну и ту же теорию (одно и то же
множество истинных предложений).
Аналогично, если за аксиому принять второе
приведенное Вами предложение: «Перпендикуляр
к одной из двух параллельных прямых перпендикулярен
и к другой», то известную аксиому о параллельных
можно будет исключить из списка
аксиом, она становится уже теоремой.
С. Получается, что в математике все доказы

11

вается, за исключением предложений, принятых
за исходные.
А. Правильно, их не из чего вывести, нет предшествующих
им в этой теории предложений, на
которые можно было бы ссылаться в доказательствах.
Это характерная особенность математики,
по крайней мере, тех математических теорий, которые
строятся аксиоматически.
С. В школьной математике мы много доказываем,
но, по существу, не знаем, что такое доказательство.
Нигде не встречается определение этого
понятия.
А. Это вполне понятно. Дело в том, что применяемое
в школьной математической теории доказательство
само не является понятием этой теории.
В школе изучается математика в содержательном
изложении, т. е. без явного применения
логики. На таком уровне доказательство остается
интуитивным, неуточненным понятием.
С. А нельзя ли его уточнить?
А. Можно, разумеется, но дело это отнюдь не
простое. Чтобы уточнить, что такое доказательство
в математике, надо пройти довольно длинный путь.
Прежде всего необходимо ознакомиться с началами
математической логики, предметом которой
является, в частности, математическое доказательство.
С. Нужны ли для этого какие-нибудь знания,
выходящие за рамки школьного курса математики?
А. Вообще говоря, нет. Но чтобы перейти от
интуитивного понятия доказательства к точному,
необходимы глубокие знания школьной математики.
С. Мне представляется это чрезвычайно интересным.
Я согласен отправиться в путь, чтобы
узнать, что же такое доказательство.
А. В таком случае — в добрый путь!

12

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.

доказательства в математике