ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРЕДИСЛОВИЕ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

АКАД. Ж. АДАМАР

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
Ниже посмотрите текст для быстрого ознакомления(формулы отображаются не корректно):

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ к ТРЕТЬЕМУ РУССКОМУ ИЗДАНИЮ.
Настоящее — третье — издание перевода первой части „Элементарной геометрии»
Адамара существенно отличается от двух предыдущих тем, что
в нём помещены решения всех имеющихся в первой части задач.
Несомненно, что самостоятельное решение этих, по большей части
трудных, задач потребовало бы от читателя весьма большого количества
времени и весьма значительных усилий. В то же время многие из этих
задач представляют интерес не только как темы для упражнений, но и независимо
от этого по самому их содержанию. Эти соображения и заставили
нас приняться за составление решений задач, помещённых в курсе Адамара.
Содержание задач перепечатано здесь в основном без изменений.
Исправлено, однако, несколько ошибок, вкравшихся в русский перевод
(задачи 13, 49, 378, 406). Далее в процессе решения задач выявилась необходимость
исправить отдельные погрешности или уточнить редакцию ряда
задач, данную Адамаром (№ 9, 10, 41, 88, 191, 222, 223, 256, 260, 270, 276,
284, 339, 347, 363, 372, 399, 400); в задачах № 220, 253а, 265, 308 и 419а мы
позволили себе опустить имевшиеся там указания на путь решения. Само
собой разумеется, что автор этих строк принимает на себя ответственность
за внесённые изменения.
Что касается характера и стиля приведённых нами решений, то, предоставляя
судить о них читателю, ограничимся несколькими замечаниями.
При выборе того или иного пути решения (если в нашем распоряжении
имелось их несколько) мы стремились выбрать тот из них, который наиболее
подходит к стилю Адамара, руководясь тем, в каком месте им помещена
данная задача в книге, стилем изложения соответствующих вопросов в курсе,
прямыми указаниями в тексте задачи на метод её решения, содержанием
предшествующих ей и следующих за ней задач, и т. д. Мы помещали
в книге два решения одной и той же задачи лишь в тех случаях, когда
нам не удавалось сделать такого выбора, а также в тех немногих случаях,
когда путь решения, намечаемый автором в самом тексте задачи, не представлялся
нам наилучшим.
При изложении решения мы стремились оттенить наиболее ценные
с нашей точки зрения логические моменты решения: значение тех или иных
предположений, необходимость отдельных условий, доказательство правильности
приведённого построения и т. п. Более трудные, но существенные
моменты решения выделены нами в отдельные абзацы, набранные мелким
шрифтом; они могут быть опущены читателем, не интересующимся этими
более тонкими вопросами. Мы опускали или излагали весьма коротко те
части решений, которые, по нашему мнению, легко могут быть развиты
читателем: так, во многих задачах на построение опущено исследование
и указано только (во избежание ошибок у читателя) наибольшее число
решений, которые допускает задача; в доказательствах часто опускаются
мотивы, по которым те или другие треугольники равны или подобны, прямые
параллельны, и т. д. В особенности это относится к решениям более
сложных задач.
Необходимо особо остановиться на задачах на отыскание наибольшего
или наименьшего значения; таких задач в предлагаемой первой части
имеется около 25. Дело в том, что в более трудных задачах такого рода
(№ 366, 419а,л 420) автор прямо рекомендует решать задачу, исходя из
предположения, что существует фигура, для которой имеет место экстремум.
Такой путь решения, более или менее естественный в ту эпоху, когда
составлялась книга Адамара, мы считаем в настоящее время неприемлемым
и в области элементарной геометрии. Поэтому во всех задачах на наибольшее
и наименьшее значение нами даны такие решения, в которых существование
экстремума не предполагается, а доказывается (за исключением
задач № 419а и 420, где мы ограничились соответствующим примечанием, так
как подробный разбор изопериметрических свойств завёл бы нас слишком
далеко).
Чтобы облегчить читателю ориентировку в содержании задач и помочь
в подборе задач на ту или иную тему, мы поместили в конце книги небольшой
„Указатель содержания задач». Заметим по этому поводу, что он
далеко не исчерпывает и не может исчерпать всего содержания задач.
Мы отказались совершенно сознательно от помещения в решениях
задач тех или иных библиографических данных по нескольким причинам.
Прежде всего известно, что именно в области элементарной геометрии одни
и те же теоремы и задачи встречаются по нескольку раз у различных авторов
в разное время независимо друг от друга, и потому помещение
в книге библиографических данных исторического характера представляло
бы слишком сложную задачу. Далее составителем, естественно, была просмотрена
и использована большая литература. Однако и в тех случаях, когда
идея решения была заимствована из литературы, приходилось иногда проделывать
большую работу, чтобы придать решению вид, подходящий к стилю
настоящей книги в целом. Во многих случаях составитель даже и не
мог бы сказать сейчас с полной уверенностью, было ли данное решение
найдено им самостоятельно или заимствовано из литературы. Наконец,
библиографические указания принесли бы в данном случае небольшую
пользу и читателю, желающему расширить свои познания, так как соответствующая
литература (за исключением нескольких общеизвестных книг)
разбросана и, как правило, мало доступна.
Москва, февраль, 1947.
Д. Перепёлкин.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕДИСЛОВИЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.
При составлении настоящего курса геометрии я всё время имел в виду
то особое место, которое эта наука занимает в элементарной математике.
В самом деле, будучи одним из первых математических предметов, с которым
встречается учащийся, геометрия представляет собой наиболее простую
и доступную форму математического рассуждения. Сила её методов и их
плодотворность непосредственно более ощутимы, чем в случае относительно
абстрактных арифметических и алгебраических теорий. Поэтому геометрия
оказывается в состоянии оказывать бесспорное влияние на развитие активного
мышления. Я в первую очередь стремился усилить это влияние, пробуждая
инициативу учащегося и всячески ей содействуя.
Вот почему мне казалось необходимым увеличить число упражнений,
насколько это позволяли рамки настоящего труда. Эта необходимость большого
числа упражнений была для меня, так сказать, единственным
принципом, руководившим мною в части подбора задач. Я считал
необходимым поместить задачи различной степени трудности и притом
в порядке возрастания этой трудности: в то время как упражнения,
помещённые в конце каждой главы, в особенности первые из них, очень
просты, упражнения, помещённые в конце каждой книги, уже не решаются
так просто и непосредственно; наконец, я отнёс в конец тома относительно
трудные задачи. Содержание некоторых задач заимствовано из тех или
других важных теорий; отметим в частности задачи, относящиеся к теории
инверсии и систем окружностей, многие из которых заимствованы из ме-
муара Дарбу: „Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de
spheres dans le plan et dans respace»1); другие задачи имеют единственной
целью приучить мысль учащегося к проведению рассуждений. Столь же
разнообразны были и те источники, из которых я заимствовал содержание
упражнений: наряду с классическими задачами, представляющими собой
наиболее непосредственное приложение теории, которые было бы почти
странным не поместить в данной книге, имеются задачи, заимствованные
у различных авторов и из различных периодических изданий как французских,
так и иностранных, а также довольно большое число оригинальных
задач.
С другой стороны, я поместил в конце тома особое Прибавление, в котором
я имел в виду вкратце изложить основные идеи математических
методов—идеи, которыми учащиеся должны были бы проникнуться с первого
года обучения, но которые очень часто забываются даже учащимися
наших высших учебных заведений. Следует признать, что та догматическая
форма изложения, которую я здесь избрал, не является наиболее подходящей
для данного случая: вопросы такого рода должны изучаться путём
соответствующих бесед, причём каждое правило должно появляться лишь
в тот момент, когда в нём возникает надобность. Я всё же счёл себя обязанным
сделать попытку такого рода изложения, надеясь, что читатель
отнесётся снисходительно к её неизбежному несовершенству. Быть может

1) Annales seientifiques de l’Ecole Normale Sup£rieure (2), 1, 1872. — Содержание задачи 401 ~
(построение окружностей, касательных к трём данным) сообщено мне преподавателем лицея
имени Ампера Жераром (Gerard).

эта попытка, какова бы она ни была, принесёт некоторую пользу и будет
содействовать внедрению в преподавание тех идей, о важности которых
нет надобности распространяться.
Другие прибавления, помещённые в конце тома, носят более специальный
характер. В Прибавлении В рассмотрен вопрос о постулате Евклида.
Взгляды современных геометров на этот вопрос приняли настолько
ясную и определённую форму, что представляется необходимым и полезным
дать их краткое изложение даже в курсе, носящем элементарный характер.
Прибавление С относится к задаче о касании окружностей. Как было
отмечено Кёнигсом1), известное решение Жергона, если даже его дополнить
соответствующим доказательством, отсутствующим у его автора, всё
же обладает некоторым недостатком. Этот пробел я и имел в виду восполнить.
Наконец, Прибавление D посвящено понятию площади. Обычное учение
о площадях обладает, как известно, серьёзным логическим недостатком. Оно
& priori предполагает, что эта величина определена и обладает известными
основными свойствами. Теория, которую я излагаю в данном Прибавлении,
обходится без этого предположения и потому заслуживает предпочтения,
особенно если учесть, что она переносится без значительных изменений
и на пространство.
В самом тексте книги оказалось возможным внести в классические
рассуждения некоторые изменения, представляющие преимущества либо
с точки зрения строгости, либо с точки зрения простоты; к их числу принадлежит,
например, помещённое в самом начале первой книги доказательство
существования перпендикуляра, восставленного к прямой линии в какой-
либо из её точек; соображения, основанные на непрерывности, которыми
здесь обычно пользуются, пришлось оставить, поскольку в другом месте
мы допускаем без доказательства возможность разделить отрезок или угол
пополам. Рассмотрение направления углов позволило мне внести в предложение
второй книги, а также в ряд предложений последующих книг
полную чёткость и общность без того, чтобы сделать их менее простыми
или менее элементарными.
В дополнениях к третьей книге изложены те вопросы, которые хотя
и не относятся к элементам геометрии в смысле Евклида, тем не менее
завоевали определённое место в преподавании. Я ограничился изложением
элементов соответствующих теорий и последовательно опускал всё то, что
не является действительно существенным. Впрочем, курс составлен таким
образом, что эти дополнения, а также те разделы текста, которые напечатаны
мелким шрифтом, могут быть опущены при первом чтении без нарушения
связности остальной части текста.
Проф. Д а р б у, который оказал мне большую честь, поручив составление
настоящего курса, чрезвычайно облегчил мою задачу теми ценными
советами, которые он постоянно давал мне при его составлении. Заканчивая
настоящее предисловие, я хотел бы выразить ему здесь свою почтительную
признательность.
Ж Адамар.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.
За время, истекшее с момента выхода в свет первого издания, обучение
математике и в частности геометрии претерпело глубокие изменения не
только в отдельных деталях, но и в самом своём характере, изменения,
которых давно ждали и которых все добивались. В основу обучения мате-
метике, в начальной его стадии, стремятся положить соображения практического
и наглядного характера вместо логического метода Евклида, пользу
которого начинающие не в состоянии оценить.
Напротив, к евклидовскому методу приходится, конечно, возвращаться,
когда речь идёт о пересмотре и о пополнении первоначальных сведений.
Наш курс и соответствует этой именно второй стадии обучения, и потому
нам не пришлось менять его характера.
Однако даже с точки зрения строгой логики классическое изложение
обладало ненужной сложностью и схоластичностью в его первой главе,
посвящённой учению об углах. Условие не пользоваться в первой книге
понятием окружности, остававшееся неприкосновенным до настоящего времени,
чрезвычайно затемняло здесь вещи, сами по себе очень простые
и естественные. Изложение этих вопросов оказалось возможным значительно
упростить, вводя с самого начала наряду с понятием об угле и понятие
о дуге окружности. Мы уже раньше отказались здесь от традиционного
использования непрерывности, на которой обычно основывали существование
перпендикуляра; теперь оказался излишним и тот простой искусственный
приём, которым мы раньше заменили соображения, основанные на непрерывности.
В то же время измерение центральных углов оказывается при этом
естественным образом сближенным с учением об углах и занимает своё
настоящее- логическое место в курсе.
Не меньше выигрывает от этой перестановки и вторая книга. В самом
деле, основное свойство вписанного угла отделяется при этом от вопроса
об измерении углов, а прежнее соединение этих двух вопросов могло дать
самое неправильное представление об этом свойстве вписанного угла и об
его значении.
За исключением этого пункта план курса в целом остался неизменным.
С другой стороны, те дополнения, которые были внесены в программу
1902 г., уже раньше нашли себе место в первом издании курса. Программа
1905 г., которая скорее снизила роль этих дополнений, тем самым не потребовала
от нас никаких существенных изменений. Она содержит только
одно добавление—инверсор Поселье. Единственная дополнительная глава,
которая остаётся в программе, по крайней мере в области геометрии на
плоскости1),—инверсия и её приложения — соответствует главам V — VII
наших дополнений.

1) Надо ли говорить по этому поводу, что я вовсе не стремился к слиянию геометрии на
плоскости с геометрией в пространстве. Я охотно признаю, что такое слияние заслуживает
предпочтения с точки зрения чисто логической. Однако с точки зрения педагогической следует
стремиться, мне кажется, к разделению встречающихся трудностей. Уменье „видеть
в пространстве» само по себе представляет собою серьёзную трудность, и я не думаю,чтобы
эту трудность следовало присоединить к другим трудностям с самого начала обучения.

За последние годы в преподавательской среде наметилась и другая
тенденция, которой нельзя не одобрить. Теперь очень часто говорят об
эвристическом методе, и я надеюсь, что кое-где его применяют на практике.
Прибавление, которое я поместил в первом издании настоящего курса
(Прибавление А), как раз и имело своей целью показать, как следует понимать
этот метод, столь существенный с моей точки зрения, по крайней
мере, как его следует понимать с точки зрения теоретической, так как для
его применения на практике необходимо наличие двух лиц. Мне хотелось
бы, чтобы это Прибавление могло принести теперь некоторую пользу,
указывая по крайней мере те принципы, которые следует применять
в этом случае.
Я уже указывал (см. предисловие к геометрии в пространстве), что
изложенный в Прибавлении С метод решения задачи о касании окружностей
в действительности принадлежит Фу ше (Fouche) или даже П о н с е л е
(Poncelet) и что Ж е р а р у (Gerard) принадлежит решение вопроса о площади
плоской фигуры, правда отличное от того, которое я дал в Прибавлении
D. Пользуюсь случаем отметить, что Ф о н т е н е (Fontene) было высказано
одно возражение, касающееся теории двугранных углов, и им же оно
было устранено.
Ж. Адамар.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ВОСЬМОМУ ИЗДАНИЮ.
Настоящее издание не представляет, по сравнению с предыдущими,
существенных изменений. Однако следует отметить, что наши взгляды на
постулат Евклида существенно изменились в связи с успехами физики:
я должен был изменить конец Прибавления В (пп. 308, 308а), чтобы принять
во внимание эту эволюцию научной мысли.
Некоторые изменения были также внесены в настоящее издание
с целью уделить большее внимание свойствам наиболее простых шарнирных
систем.
Ж. Адамар.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕДИСЛОВИЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Околоadmin