ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВВЕДЕНИЕ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

 

АКАД. Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
Ниже посмотрите текст для быстрого ознакомления(формулы отображаются не корректно):

1. Телом называется часть пространства, ограниченная со всех
сторон.
Поверхностью называется общая часть двух смежных областей пространства.
Лист бумаги может дать нам приблизительное представление
о поверхности. В самом деле, он ограничивает две области пространства,
которые расположены по обе стороны от листа. Но лист бумаги
не будет, строго говоря, поверхностью: эти две области разделяются
целой промежуточной областью, так как лист бумаги имеет
толщину. Мы пришли бы к понятию поверхности, рассматривая лист
бумаги, толщина которого бесконечно уменьшается.
Линией называется общая часть двух смежных областей поверхности.
Это определение, очевидно, эквивалентно такому определению:
линияестьпересечениедвухповерхностей.
Линии, которые мы проводим, дают нам представление о геометрических
линиях и притом неточное представление, так как, как бы
они тонки ни были, они всегда имеют толщину, в то время как
геометрические линии толщины не имеют.
Наконец, точкой называется то общее, что имеют две смежные
части одной линии, или, иначе, пересечение двух встречающихся линий.
Точка не имеет никакого измерения.
Любая совокупность точек, линий, поверхностей и тел называется
фигурой
1а. Всякая линия содержит бесчисленное множество точек.
Её можно рассматривать как след перемещающейся по ней точки.
Это имеет место, когда мы проводим линию на бумаге остриём карандаша
или пера (получающиеся при этом точки мы уподобляем геометрическим
точкам, когда они достаточно тонки). Точно так же поверхность
может быть образована перемещающейся линией.
Фигура, вообще говоря линия или поверхность, образованная совокупностью
бесчисленного множества положений, которые может занимать
некоторая точка, называется геометрическимместомточек.
Точно так же мы можем рассматривать поверхность как геометрическое
место линии, которая перемещается.
2Я Геометрия изучает свойства фигур и их взаимоотношения. Результаты
этого изучения формулируются в виде предложений.
Предложение состоит из двух частей: первая, называемая коротко
условием, указывает на совокупность всех имеющихся налицо условий;

19 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

вторая — заключение — выражает тот факт, который в силу этих условий
неизбежно имеет место.-
Так, в следующем предложении: „Два количества А и В, равные
одному и тому же третьему С, равны между собой», условием
является следующая часть предложения: количества А и В порознь
равны С; заключением — эти два количества А и В между собой
равны.
Среди предложений имеются такие, которые принимаются как очевидные
без доказательства. Их называют аксиомами. Таким, например,
является предложение, которое было приведено выше: „Две величины,
равные третьей, равны между собой». Все другие предложения
называются теоремами и должны быть доказаны при помощи
особого рассуждения. Чтобы провести это рассуждение, надо, основываясь
на условии теоремы и предполагая, что это условие выполнено,
вывести из него факты, указанные в заключении.
Согласно с этим мы должны допустить, что некоторое обстоятельство
имеет место:
1°. если оно является частью условия;
2°. если оно является частью определения одного из элементов, о
которых идёт речь1);
3°. если оно вытекает из аксиомы;
4°. если оно вытекает из одного из предыдущих доказательств.
В геометрических рассуждениях ни одно положение не должно
считаться верным иначе, как в силу одной из этих четырёх причин.
2а. Предложением, обратным данному предложению, называется
другое предложение, в котором заключение полностью или частично
совпадает с условием первого предложения, и обратно.
Следствием называется предложение, непосредственно вытекающее
из теоремы.
Леммой называется, напротив, подготовительное предложение,
вводимое для того, чтобы облегчить доказательство последующего
предложения.
3. Всякая фигура может быть перемещена в пространстве бесчисленным
множеством способов без изменения своего вида совершенно
так же, как это может быть сделано с обыкновенными твёрдыми телами.
Равными фигурами называются такие две фигуры, которые
можно совместить одну с другой так, чтобы они в точности
совпадали во всех своих частях; одним словом, две равные фигуры
представляют собою одну и ту же фигуру, расположенную в двух
различныхместах.
Фигура, которая подвергается только перемещениям и при этом
не деформируется, называется неизменяемой фигурой.

*) Часто случается, что в процессе доказательства вводят в фигуру
вспомогательные элементы. Некоторое положение может быть при этом
верным в силу определения этих новых элементов. В таком случае говорится,
что оно верно по построению.

20 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

4. Простейшая из линий—прямая линия; представление о ней
даёт нам натянутая нить. Понятие прямой линии очевидно само по
себе; чтобы иметь возможность пользоваться этим понятием в наших
рассуждениях, будем рассматривать прямую линию, как определяемую
её очевидными свойствами и в частности следующими двумя:
1°. Всякая фигура, равная прямой линии, есть прямая линия;
и обратно, каждая бесконечная прямая линия может быть совмещена
со всякой другой и притом таким образом, что какая-
либооднаточкапервойсовмещаетсяслюбойточкойвторой.
2°. Через две точки можно провести прямую линию и притом
толькоодну.
Таким образом, можно говорить о той прямой линии, которая
проходит через точки АиВ (или короче: о прямой АВ).
Из определения непосредственно вытекает, что две различные
прямые могут встретиться только в одной точке, потому что,
если бы они имели две общие точки, они не были бы различными.
Ломаной линией называется линия, состоящая из частей прямых
линий. Другие линии, которые не являются ни прямыми, ни ломаными,
называются кривымилиниями.
5. Часть прямой линии, заключающаяся между двумя точками А
и В, называется отрезком прямой АВ.
Можно также рассматривать часть прямой, не ограниченную с одной
стороны и ограниченную с другой стороны точкой. Такая часть
называется полупрямой. Две произвольные полупрямые являются на
основании предыдущего равными фигурами.
д в е                    л е в
Черт. 1.         Черт. 2.
Отрезок АВ называется равным отрезку А/В1 если первый отрезок
можно наложить на второй отрезок таким образом, чтобы точка
А совпала бы с точкой А/и точка В— с точкой Вг.
При этих условиях два отрезка совпадут во всех своих точках
на основании двух предложений, которые служат определением прямой
линии. Следовательно, определение равных отрезков вполне согласуется
с данным выше общим определением равных фигур.
Совмещение двух равных отрезков АВ и АГВГ может быть осуществлено
двумя различными способами, а именно: точка А может совпасть
с точкой А/ и точка В — с В| или обратно. Это равносильно
тому, что отрезок АВ можно повернуть таким образом, чтобы после
поворота каждая из двух точек А, В заняла бы место другой из
этих точек.
Если два отрезка АВ и ВС расположены на одной и той же прямой
линии и представляют собой продолжение один другого (черт. 1),
то отрезок АС называется суммой двух первых отрезков. Сумма двух,

21 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

а следовательно, и нескольких отрезков не зависит от порядка слагаемых
частей ‘).
Чтобы сравнить два отрезка, их переносят на одну и ту же прямую
линию так, чтобы они выходили из одной и той же точки и
были направлены в одну и ту же сторону, например АВ и АС
(черт. 1 и 2). Если при этом точки следуют в порядке А, В, С
(черт. 1), то отрезок АС равен сумме АВ и другого отрезка ВС;
в этом случае он больше, чем АВ, а этот последний меньше, чем АС;
если, напротив, порядок следующий: А, С, В (черт. 2), то отрезок АВ
больше АС В обоих случаях третий отрезок ВС, который при сложении
с одним из двух данных отрезков даёт второй, называется
разностью этих двух отрезков. Наконец, точки В и С могут совпасть.
В этом случае, как мы знаем, данные отрезки равны.
На каждом отрезке прямой АВ существует точка М — середина АВ,
одинаково удалённая от А и В; всякая точка прямой, лежащая между
М и А, очевидно, ближе к А, чем к В, и обратное имеет место
для всякой точки, расположенной между Ми В.
Вообще отрезок прямой АВ может быть разделён на какое угодно
число равных между собой частей 2).
6. Плоскостью называется такая безграничная поверхность, что
всякая прямая, соединяющая две её точки, лежит на ней целиком.
Мы допускаем, что через всякие три точки пространства проходит
плоскость. Прямая линия, проведённая на плоскости, делит её
на две области, каждая из которых расположена по одну сторону от
прямой линии и называется полуплоскостью. Нельзя перейти из одной
области в другую по непрерывному пути, не выходя из плоскости
и не пересекая прямой линии. Эти две области можно совместить
одну с другой, заставляя одну из них вращаться около
данной прямой линии, как около оси.
Мы будем заниматься прежде всего фигурами, расположенными
на плоскости; изучение их составляет предмет плоской геометрии
(планиметрии).
7. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости,
расположенных на данном расстоянии от данной точки этой плоскости
3) (О, черт. 3); эта точка называется центромокружности.

*) Для двух отрезков это следует непосредственно из предыдущего
абзаца.
2) Мы понимаем под этим, что на АВ существуют точки, которые делят
этот отрезок на равные части. Вопрос о том, можно ли найти эти
в точки фактически с помощью имеющихся у нас инструментов, будет рас*
смотрен нами позднее (книга III).
3) Геометрическое место точек плоскости, расположенных на данном
расстоянии от данной точки, лежащей вне плоскости, равным образом есть
окружность (если такие точки вообще существуют); это мы докажем в
геометрии пространства.
Геометрическое место точек пространства, расположенных на данном
расстоянии от данной точки пространства, представляет некоторую поверхность
— сферу.

22 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Отрезок прямой линии, который соединяет центр с какой-нибудь
точкой окружности, называется радиусом. Следовательно, все радиусы
между собой равны. Это имеет место для спиц колеса, так как оно
имеет форму окружности.
На основании предыдущего определения, чтобы доказать, что точка
плоскости лежит на окружности, расположенной в этой плоскости,
достаточно показать, что её расстояние до
центра равно радиусу.
Всякая окружность делит плоскость, в которой
она лежит, на две области: одну внешнюю,
безграничную, образуемую точками, расстояния
которых до центра больше радиуса;
другую — внутреннюю, ограниченную со всех
сторон, образованную такими точками, расстояния
которых до центра меньше радиуса.
Эта последняя область называется кругом.
Ясно, что окружность вполне определена, когда даны плоскость,
в которой она лежит, её центр и радиус.
Окружность часто обозначают (когда это не может дать повода
к недоразумениям) той же буквой, как её центр, или двумя буквами,
которые обозначают один из её радиусов, причём на первом месте ставят
ту, которая обозначает центр. Таким образом, окружность, представленная
на чертеже 4, обозначается через О или (если приходится
рассматривать несколько окружностей с центром в О) через ОМ..

Две окружности одного радиуса представляют собой равные
фигурьг; ясно, что они совмещаются, коль скоро мы совместим их
центры.
Две равные окружности могут быть наложены друг на друга бесчисленным
множеством способов: их можно наложить одну на другую
так, чтобы некоторая точка М! второй окружности совместилась
бы с данной точкой М первой окружности (черт. 4). Для этого достаточно
совместить два радиуса ОМ и 0ТМ!, что возможно, так как
эти два прямолинейных отрезка равны.
8. Дугой называется часть окружности”»(А/?Б, черт. 5).
Из того обстоятельства, что две равные окружности могут быть
наложены друг на друга бесчисленным множеством способов, следует

23 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

возможность сравнивать дуги, принадлежащие одной и той же окружности
или двум равным окружностям, так же, как мы сравниваем
отрезки прямой. Для этого перенесём эти две дуги таким образом,
чтобы они имели один и тот же центр, один общий конец и
были расположены по одну сторону от этого общего конца. Пусть
АВ и АС—две дуги, расположенные таким образом; мы скажем, что
первая больше второй, если, перемещаясь из точки А по дуге АВ *),
мы встречаем точку С раньше точки В (черт. 6). Мы скажем, что
первая дуга меньше второй, если порядок будет обратный: А, В, С
(черт. 5).
8а. Точно так же можно определить сумму двух дуг А В, ВС
(черт. 5), принадлежащих одной и той же окружности (или двум рав-

ным окружностям), располагая эти две дуги так, чтобы конец одной
совпал с концом другой и дуги были направлены в разные стороны
от их общего конца.
Дуга АВ может быть, так же как отрезок прямой, разделена на
две или несколько равных частей 2). Она делится своей средней точкой
на две дуги, из которых одна состоит из точек М, таких, что
дуга AM больше, чем дуга MB, другая — из таких точек, что дуга AM
меньше, чем дуга MB,
9. Две точки окружности называются диаметральнопротивоположными
(А, В, черт. 7), если отрезок, который их соединяет,
проходит через центр. Этот отрезок называется диаметром.. Ясно,
что длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.

*) Здесь очень важно точно определить направление, в котором происходят
перемещения (что было не нужно в случае прямой), потому что точки А,
В делят окружность на две дуги, и порядок, в котором мы встретим точки В,
С, не будет одним и тем же, если мы будем перемещаться из точки А по
той или другой из этих дуг.
2) То же замечание, которое ранее сделано (стр. 22, сноска 2) для отрезков
прямой.

Окружность, очевидно, определена, коль скоро дан один из её
диаметров. В таком случае её центром будет середина диаметра.
Диаметр АВ делит окружность на две дуги, которые представляют
собой части окружности, расположенные соответственно в двух
полуплоскостях, определяемых прямой АВ.
Эти две части равны межЛду собой: их можно совместить, наложив
полуплоскости, о которых идёт речь, одну на другую (п. 6).
Мы имеем, таким образом, две полуокружности.
Точно так же круг делится диаметром на две равные части, которые
совмещаются друг с другом при совмещении двух полуокружностей.

24 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВВЕДЕНИЕ