ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ДЕЛИМОСТИ НА
ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ
В 7-8 КЛАССАХ

ЯСИНОВЫЙ Э. А. (г. Куйбышев)

Скачать или посмотреть книгу онлайн
в формате PDF можете на странице Учебники Скачать.

Главная страница ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Ниже текст только для быстрого ознакомления с темой. В нём формулы отображаются некорректно. Качественный текст смотрите в оригинале (формат PDF) по ссылке выше.

Ниже рассматривается система упражне-^
нений по теории делимости в VII—VIII классах. Эти
упражнения имеют большое значение для общего’
развития школьников. Число упражнений, представленных
в статье, превышает необходимый минимум.
Поэтому некоторые из них могут быть опущены или
предложены тем, кто проявляет особый интерес к рассматриваемым
вопросам.
Занятия по теории делимости в VII классе начинались
с повторения формул сокращенного умножения
и деления, закрепления навыков тождественных
преобразований.
Следует отметить, что торопиться с доказательством
свойств делимости чисел не стоит. Вначале
достаточно опираться на элементарные знания учащихся
по этому разделу. Обычно все ученики знают,
что:
1) если каждое слагаемое делится на некоторое
число, то и вся сумма делится на это число;
2) если из двух слагаемых одно делится на некоторое
число, а другое не делится на него, то и сумма
не делится на это число.
Свойства делимости целых чисел излагаются после
шести-семи занятий. Вначале дается определение:
Целое число а называется делящимся на целое
число նփ О б том, и только^ в том случае, когда
112

существует третье целое т е л о с, т а к т , что
а = Ь-с.
Делимость а на b записывают так; а ; Ь.
Затем рассматриваются свойства делимости.
1. Свойство рефлексивности՝, число кратно самому
себе, т. е. а \ а. Это вытекает из того, что а —а՛ 1.
2.֊ Свойство транзитивности: если а ; b и b \ с, то
а \с.До к а з а т е л ь с т в о . Имеем: a = bqx-, b = cq2.
Подстановка дает:
a = (cq2)ql = c ( q lq2).
Отсюда следует, что а • с, что и требовалось доказать.’
3. Если а ] Ь, то (—а) \ Ь, а :■(*-#), {—а) \ (^ -Ь).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из условия имеем: a = bq.
Можно записать — а === Ъ (— q), или а== { ֊^ b) (— q),
или — а —1~~ Ե) q.
Отсюда, но определению, имеем: (— а) | Ь, а \ ( —Ь)
и {—а ) ; {— Ь), что и требовалось доказать._
4. Если а х ; Ь и а г • Ь, то (а1 ± а2) \Ь.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем: a x — bqx, a2 — bq2.
Сложив или вычтя почленно, получим: a i ± a 2^=bql ±
± bq, -֊= b (<7, ±, q2).
Отсюда, согласно определению, имеем: (а{ + а2) : Ь,
что и требовалось доказать.
5. Если одно из чисел а х и а% делится, а другое
не делится на Ь, то й сумма а х + а г и разность а , —
не делится на Ь.
6. Если хотя бы один из множителей делится на
число Ь,х то и произведение делится на Ь.
7. Число нуль делится на любое число b Ф 0.
8. ( Т е ор е ма о делении с о с т а т к о м . ) Дл?
любых двух целых неотрицательных чисел а и b (ЬфО
существует единственная пара целых чисел q и г
таких, что a — bq + r, где 0 < г < Ь, Число а назы
вают делимым, ծ — делителем, г —остатком.
Свойство 5 доказывается методом от противного
исходя из равенства (at + а 2) — а 2 = а г , или (а, + а 2) —
— «ւ = 0շ (смотря по тому, какое из чисел ах и а 2 н՛
113

кратно bj. Свойства б и 7 доказываются аналогично
свойствам 1, 2.
Теорема а делений с остатком иллюстрировалась
на мнотзс Примерах, но доказательств ее не давалось.
После теоремы о делении с остатком решались
задачи на нахождение наибольшего общего делителя
(ПОД) двух чисел с помощью алгоритма Евклида.
Затем вводились понятия: наименьшее общее кратное,
простые числа*, взаимно простые числа, каноническое
разложение числа (без теоремы а единственности!
разложения), позиционная форма записи числа. Все
эти понятия закреплялись при решении большого; числа
задач. .
Выводились признаки делимости на 3, 9, 4, 25, II.
Решались уравнения в целых числах.
Мы нашли возможным решать неопределенные —
уравнения вида ху + ах փ by = с, -А. ֊ք — = —, а2х2 —
х у я
— Ь2у 2 = с — до решения уравнений в*д» ах + by = е.
До решения первых двух видов уравнений учащиеся
решали нримери не « ш о ш в е целой части
из алгебраической дроби видя -O—SX- -“1-**՜- Ъ- -, где а’ ‘■ а , .
՛ — Я(х +■ Ь{
В V1H классе давались некоторые сведения из теории
сравнений, п т яцш тш т форма записи целых тесел
(десятичная, двоичная и др. системы), решались не-
определенные уравнения первой степени.
Учащимся VIII класса давалез следующий материал.
Опр еде л ени е.
Два числа а и b называются сравнимыми ՈԺ модулю
т , если она дают одам а т о т же остаток
при делении на от.
Сравнимость- чисел & я b по модулю принято записывать
гак: а S3 b (at) мяк Ь ~ а (гп) — и читать:
„й сравнимо с b ш модулю м Л шю „ծ сравнимо с а
по модулю т “. На примерах следует разъяснять введенное
понятие.
Свойства сравнений. (К доказательству свойств
привиекжшсь сами учащиес՛#. В тех՜ слутя», когда
учащиеся затруднялись в доказательстве (например,
է-я часть свойства 2), доказательство давал учитель.)
114

1. Если a=sb{m), то ( a ֊b ) ‘ ; m, и обратно: если’
(а — Ь) \ т , то а = Ь(т).
2. Свойство рефлексивности: всякое число сравнимо
с самим собой по модулю ж, т. е. аг=а(от).
3. Свойство транзитивности: если а = Ъ{т) и
Ь = с {т ), то а з= с (т ). , ,
4. Число сравнимо со своим остатком, который
получается от деления данного числа на модуль т .
5. Сравнения можно почленйю складывать, т. е.
если asab(m) й о, տ ծ, (от), то а -f ал b + by (от).
6. Сравнения можно почленно вычесть, т. е. если
a ss b (т ) ъ а,х s (от), то а — ал Ъ — % (от).
7. Сравнения можно почленно перемножить, т. е.
если а^ЕЬ(т) и a, = Z>, (от), то a -a t щ Ъ~ЪЛ (от),
8. Обе части сравнения можно умножить на одно
и то же целое, число, т. е. если e ‘ s > ( « ) . то . ak’ss-
= bk (от).
յ 9. * Обе части сравнения ; можно возвысить в одну
и ту же натуральную степень, т. е. если as=b(m),
то а* н= //’ (от).
10. Обе части сравнения можно разделить на одно
и то же число, взаимно простое с модулем, т. е. если
а-й = b՝k(m) и (km) = 1, то а = Ь(т).
_ Многие из свойств сравнений учащиеся сами смогут
доказать под руководством учителя.
После доказательства каждого свойства давались
примеры на их применение. Например, после доказательства
свойства 9 решалась задача: „Какой остаток
дает число 17й при делении на ՜5?“
Р е ш е н и е 17 = 2(5).
— Возводя в 4-ю степень обе части равенства, получим:
174 = 16(5); .но 1 6 = 1 (5 ). Значит, по свойству
транзитивности имеем: 17* 5= 1(5).
Возводя обе части последнего равенства в куб,
получаем: 17^ = 1 (5), т. е. число 17 2 при делении на
5 дает в остатке 1.
В IX и X классах с целью повторения учащимся
-периодически даются задания на применение сведений
по теории делимости,
Перейдем теперь х рассмотрению задач, используемых
при изучении теории делимости на факультативных
занятиях в VII—VIII классах. .
115

7 КЛАСС

I. Разбиение целых чисел на классы
по остаткам

( задачи на делимость )
1. Разбить все целые числа по модулю 2. (Каждый
класс записать также в общем виде.)
2. Разбить все целые числа по модулю 3. (Записать
в общем виде.)
3. Разбить все целые числа по модулю: а) 4; б) 5.
4. Из всех целых чисел, разделенных на классы по
модулю 6, выписать отдельно четные и отдельно
нечетные (записать в общем виде).
5. Из всех целых чисел, разделенных на классы по
модулю 8, выписать отдельно: а) четные; б) нечетные;
в) кратные 4 (в общем виде),
6. Доказать, что произведение трёх последовательных
целых чисел кратно 6.
7. Доказать, что сумма двух нечетных чисел есть
число четное.
8. Доказать, что сумма четного и нечетного чисел
есть число нечетное.
9. Доказать, что сумма любых трех последовательных
целых чисел делится на 3.
10. Доказать* что сумма любых пяти последовательных
целых чисел делится на 5.
11. Доказать, что сумма двузначного числа и числа,
написанного теми же цифрами, но в обратном порядке,
делится на 11.
12. Доказать, что разность между двузначным числом
и числом, написанным теми же цифрами, но в обратном
порядке, делится на 9.
13. Доказать, что сумма любых семи последовательных
целых чисел кратна 7.
14. Доказать, что сумма любых шести последовательных
целых чисел не кратна 6.
15. Доказать, что разность квадратов двух последовательных
нечетных чисел кратна 8.
16. Доказать, что а2 —а делится на 2 при любом целом
значении а.
17. Доказать, что число ժ Գ а делится на 2 при любом
целом а.
116

18. Доказать, что число (2а + I)2 —.1 кратно 8 при
любом целом а.
19. Доказать, что разность (сумма) квадратов двух
любых четных чисел кратна 4.
20. Доказать, что разность квадратов двух любых
нечетных чисел кратна 8.
21. Доказать, что при любом целом га: а) га (га3 — п)’- 6;
б) (га3 + 5га) • 6; в) (га3 + lira) : 6; г) (л3 — 13га) • 6.
2„2 . Д- оказать, что выражение—т (1-т- -+— -1—)(-т- -+— -2)- есть це-
6
лое число при всяком целом значении перемен՝
ной /га.
23. Доказать, что число 6* + к3 + 6к2 -J- A\k + б кратно
6 при любом натуральном значении к.
24. Доказать, что если число га не кратно 3, то число
я2 + 2 кратно 3.
՝հե. Доказать, что число га (га + 1) (га + 2) кратно 3 при
любом целом га.
26. Доказать, что сумма (га — I}8 + га3 + (га -f I)3 кратна
9 при любом целом га.
27. Доказать, что га5 — га делится на 5 при любом
целом п.
28., Доказать, что га7 — га делится на 7 при любом целом
га.
29. Доказать, что а (2га + 1) (7га + 1) делится на 6 при
любом целом га.
30. Доказать, что Ь(ЬА—Щ делится на 6 4 при любом
четном Ь.
31. Доказать, что при любом четном га число п? + 20га
кратно 48.
32. Доказать, что п (га2 —.1) (я2 — 5га -!• 26) делится на
120 при любом пелом га.
33. Доказать, что га2 -I Зга + о не кратно 121 ни при
каком целом га.
34. Доказать, что га2 + га + 10 не кратно 169 ни при
каком целом п.
35. Доказать, что ни при каких целых значениях га:
а) я2 — га + 1 не кратно 5; б) га2 + 4га + 6 не кратно
5.
36. Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных
целых чисел никогда не является квадратом
натурального числа.
117

37. Доказать, что число виде Ап* —5 не может быть
квадратом натурального числа ни при каком целом
п.
38. Доказать, что 4я2 — 2 не может быть квадратом
натурального числа ни при каком целом п.
39. Доказать, что числа вида9я2 —1, 9/г2—3, 9/г2 —4,
9/г2 — 6, 9п։ — 7 не могут б«ть квадратами натурального
числа ни при каком целом п.
40. Доказать, что равенство 5л2 + 6х 4- 15 —у2 невоз-
. можно ни при каких целых значениях х я у.
41. То жо самое доказать относительно равенств:
а) 5х2 ֊Է 16х + 26 = у * ‘, б) 5х2 4- 6х + 14 ~ у 2 — 2у,
42. Доказать, что 5т + 6я 4- 11* ни при каких натуральных
т , п и А не может быть квадратом натурального
числа.
43. Какой цифрой может оканчиваться: а) квадрат
целого числа; б) куб целого числа; в) четвертая
степень целого числа?
44. Доказать, что число ш5 оканчивается той же цифрой,
что и само число т .
45. Доказать, что равенство 5х~ + 26х 4- 2у = у 2 4 ֊ 46
невозможно ни при каких целых х н у .
46. Доказать, что число 3 » ֊2 ни при каком натуральном
я не кратно Ш.

II. Позиционная форма записи чисел
( десятичная система)

47.ч3аписать в позиционной форме следующие числа:
10» 4- Ь, 100а + 10ծ 4- с, ЮООа .4- 1005 4 ֊ Юс- 4- d,
100а 4- 10с 4 ֊ Ь, 100ծ 4 ֊ 10а 4՜ с, 100ծ. + 10с 4- а,
ЮОл- -г у, 10()х 4- Н|у 4- 4.
48. Из позиционной формы записи числа перейти к записи
числа в виде суммы: ab, Ъа, cba, cab, ааа,
aab, aabb, abdck.
49. Найти число aabb, являющееся точным квадратом.
50. Из различных цифр х, у и z образованы все возможные
треханачные числа; сумма их в Ш раза
больше трехзначного числа ххх. Найти хТ у и z.
51. Найти 4-значное число abed, являющееся квадра.

118

том натурального числа, цифры которого удовлетворяют
соотношениям: a +’b+c-{-d== ab, b—c-\-d.
52. Убедиться в справедливости равенств: abc — сию +
+ be, abcd.— aboo + cd, abcdk — аЬсооА֊dkv использовать
эти равенства для доказательства признака
делимости чисел на 4, на 25. __
53. У бедиться в справедливости равенств: ab = 9а +
+ {a -f b), abc = (99я + 9Ь) + (а + b + с), abed =
— (999.г -f 99b -Է 9с) + (а + b ■+ с -Է d), abcdk —
!= (9999а -j- 999b -4- 99c -f- 9d) -f- (a -i- b -f- с -j- d -Է k);
использовать эти равенства для доказательства
признака делимости чисел на 3 и на 9,
54. Число \ab\c кратно 924. Найти его.
•.^55. Известен такой признак делимости чис^л на 11:
число делится на 11 тогда, и только, тогда, если
разность между суммой цифр, стоящих на нечет-
г ных местах, и суммой : цифр, стоящих на четных
местах, делится на 11, Доказать этот признак для
чисел: трехзначных, четырехзначных, пятизначных,
шестизначных, , — , __ ■ . .
56. Найти число abed, если a, cd, ad я abed — квадраты
натуральных чисел.
57. Решить уравнение 6 ‘хх-ху = ххуу.

III. Деление с остатком

58. Написать общий вид чисел, дающих при делении
на 7 остаток, равный: а) 3; б) 5; в) 6.
59. Если число п при делении на 7 дает остаток 1
или 2, то его квадрат при делении на 7 дает
остаток соответственно 1 или 4. Доказать это.
60. Если число п при делении на 10 дает остаток 1, 2
или 3, то его квадрат при делении на 10 дает
остаток 1, 4 или 9. Доказать это.
61. Число п при делении на И дает остаток 2. Какой
остаток при делении на 11 дает куб данного числа?
62. Тот же вопрос при условии, что число д при делении
на 11 дает остаток 3, 4, 5 или 6.
63. Число 16 при делении на Ь дает остаток 5. Число
30 при делении на b дает остаток 7. Какой оста-
‘ ток при делении на Ъ даёт число 46?
119

64. При делении чисел а, Ь и с на 7 получаются
остатки соответственно 1 ,4 и 5. Какой остаток
при делении на 7 дает сумма а + 3-+ с?
65. При делении чисел а и 5 на 7 получаются остатки
2 и 3. Какой остаток при делении на 7 дает произведение
а՝Ь?
66. Числа a vi b при делении на 8 дают остатки 3 и 5.
Какой остаток получится, если а՝Ь разделить на 8?
67. При делении чисел а, Ь, с и d на 5 получаются
остатки соответственно 1, 2, 3 и 4. Какой остаток
получится при делении й + b + с + d на 5?
68. При делении а на 4 получается остаток 1. Какой
остаток при делении на 4 дает число а 3 4- а2 + о?
69. При делении чисел а, b и с на 5 получились остатки
соответственно 1, 2 и 3. Найти остаток от
деления а2 + Ь2 + Ժ на 5.
70. Число а при делении на 7 дает остаток 6. Какой
остаток при делении на 7 дает а 2, а 3?
71. Число а = 13127 при делении на некоторое целое
положительное число’ծ дало в частном ‘# = 1 2 1 .
Найти делитель Ъ и остаток г:
72. Числа а, Ь, с — остатки от деления целого числа N
соответственно на 3, 5, 7, Доказать, что число
70а + 2 1 £ + 1 5 с— N кратно 105.

IV. Решение уравнений в целых числах

73. Исключить целую часть из каждой дроби:
х «Ь 7 2х ՜Ւ о t лг -j- 7 _ Зх — 1. ^ 5х ~f~ 8 ^ Зх ~Ь 3 й Հ
х + 3 х-+ I ’ х — 3 ’ х + 5 ’ х — 4 ’ —х + 7 ’
Зх 4- 9 < \х + 19
՛— х -}՜ 7 х ՜ք՜ 3
74. Исключить целую часть из каждой дроби:
х ֊հ 3 _ 2х + 3 _ 2х + 1 _ х ❁ х . 4х ֊ 3 #
х + 7 ’ 2х + 1 ’ 2х + 7 ’ * — 4 ’ х + 4 ՝ х ’
Зх , 4х _ 5х
X — 3 ’ X — 4 ’ X ;■ 2
75. Решить уравнения в целых числах:
а) ху + За- — 5у = — 3; г) ху + 2у + * = ~ 8 ;
б) ху + 2у ■= 7х + 11; д) ху — Зу + 2х== 11;
в) ;су-Му—З х+18 = 0; е) ху — Зу — 25л: + 17 =*0.
120

76. Решить уравнения в целых числах,:
а) Зу — ху — 2х 4; г) ху оу 2х*= —2;
б) Зу — x y = S — \х\ д) ху — у = 2 — Зх;
в) лг>» — 2л՝ = Յյ — 13; е) 2ху — 5_у = 11 — 2х.
77. Решить уравнения в целых числах:
а) ֊’ 1+ ,֊ 1 =1 ֊ ; г)ч -1 +, -1 = ֊1; х у 3 х у 13
, ч 1 , 1 1 ч 1 . 1 1 . б) ֊ + — = ֊- ; д) — + — = — *,
х у 4 х у 14
в)ч —1 I—, 1֊ = 1— е,) 1—, + 1 — — г1г > х у 5 х у 15
78. При каких целых х и у возможно каждое из ра-
венств: . ,
а) Зу — 2 + — ^ ֊ ; в) 2у = 1 + : 17 ֊
З х—г — : 2л —з
б) 4у = 3 + —Ц ; г) зу = 7 + 14 ‘
4х — 1 2л՜ — 3
79. При каких целых значениях х каждое из написанных
ниже дробных выражений будет являться
целым числом:
ч 2х + 8 Зх + 1 v 5л: — 1 , 2х — 7
* > — c n i e ) в) s j i — г) 3— :
) 2 £ + 9 յ £ + 7 յ — з)
х + 1 2х — 3 ’ Ъх — 7 ’ Ьх
s80, Решить в целых числах уравнения:
а) л2 — У ==15; г) 4х2 —_у2 = 8;
б) X2 — у2 = 33; д) 4х 2 —9^2 = 7;
в) * е) О*2 — _У2 = 27. .
81. Доказать, что. уравнение я2—3_у2== 17 решений
в целых числах не имеет.
82. Решить каждое из уравнений в целых числах:
а) (х — 2f — у2 = 3; в) (л: + 6)2 г- (у — 5)2 = 33;
б) х 2֊- ( у — 3)2 = 12; г) (х + 2)2 — (у + 2)2 = 5.
83. Каждое из уравнений решить в целых числах;
а) л:2 —у2 — 6у + 44; в) л:2 — 6л: — 19= у 2 — Ю_у;
б) х2 — 8х = y + 6 j / + 13; г) л:2 — 8л: —у2 + 14у = 2.
4 121

V. Простые и составные числа.
Каноническое разложение числа.
Алгоритм Евклида

84. Выписать простые числа из первой сотни цель
чисел, т. е. из промежутка от 1 до 100. \
85. Выписать отдельно составные и отдельно прост*
числа из следующих чисел: 1227, 111, 299, 12
132, 137, 139, 857, 859, 1397.
86. Не пользуясь таблицей простых чисел, доказат
что числа 101, 103, 107, 109, 113, 131, 733, 99
2647, 2657, 2719 являются простыми.
87. Представить в каноническом разложении следуй
щие числа: 12, 120, 800, 1200, 1800, 1227, 100, 100(
10 000. ■■■■■>
88. С помощью алгоритма Евклида найти НОД сл1
дующих пар чисел: {588, 2058), (588, 2849), (29$
391), (391, 667), (6188, 4709).
89. Наименьшее общее кратное чисел а и ծ обознг
чают символом [а, b], их наибольший общий дели
тель — символом (а, Ь). Доказать: { а ,՜ծ) — Հ— ,
\ а ։ Ъ]
90. Найти: 172, 108], [40, 5648], [14, 2128], [588, 20581
J391, 667].
91. Дано: дробь -^ сократима. ь Доказать, что сокра
тима также каждая из дроб- ей„ : —а +— Ь , 2а + ЗЬ ,
а — ֊ Ъ Ъа + 1Ь
4 а + 9&
Зй — ‘2Ь
92. Дано: дробь —а *}* -Ъ сократима. Доказать, что дробь
հО- тоже сократима.
93. Если неправильная дробь сократима, то после
исключения целой части оставшаяся дробная часть
тоже сократима. Доказать.
94. Сформулировать и доказать теорему, противоположную
предыдущей.
95. Доказать, ^то если целые положительные числа
а и Ъ взаимно простые, то՜ взаимно простыми будут
также и следующие пары чисел: 1) а и а + Ь;
֊2 ) а + Ь и 2а + Ь; 3) а -и 2а -f Ь.

122

96. Дано; а и Ь — вЗйййно простые^гбсла. Доказать,
что сумма —I 4- —I— * после при/ ведения к общему
a a + b г
знаменателю не может быть сократимой дробью.
9ГУ77. ДfT оказать, что каждая из дробА ей% —14—/1 +—3 , —Ю—п + т ,
2\п + 4 15л + 11
20я->6-
не сократима ни при каком целом п.
24л — 7
98. Найти все целые значения п, при которых дро^ь
Зл*-г-Зя-+20. обращается в целое число,
глые значения а, при котор
обращается в целое число.
я ~ 1
99. Найти все целые значения а, при которых дробь
4а* + €а + 35
2а + 3
г ‘ £ jr3 _1_ 109. Доказать, что каждая из дробей ———— — , а 1 -Ь За2 + I
-—2п՛ ■+■֊՛— 1 , —-а- —— -1- — , —-З-х- +—2— не сократима ни
2п* + 2п в » — а » + 8 w — Հ — ւ —
при каких целых значениях букв.
101. Узнать, при каких значениях а дробь сократима:
а ^ + З а — 7 а — 1 За? + 5 а ֊~ 6
я + 2 ’ а2 —4а + 6 ’ 4s ~ ֊a + 3 ՛ — г ,
102. Доказать, что если натуральное х > 1, то х 4 4- 4
всегда составное число.
103. Доказать, что если натуральное х > 1 , то х 4 4-х2 4-1
всегда составное число.
104. Доказать, что при любом целом х число (х4-1)Х
X (֊х 4- 3)-<х + 5)-(х 4- 7) + 15 составное.
105. Доказать, что при любом целом х число (х4-1)Х
X (х 4-3)-(х 4-5)»(х 4՜ 7) + 10 составное.

8. КЛАСС
I. Неопределенные уравнения первой
степени с двумя неизвестными

106. Решить в целых числах уравнения:
1 )3 х + 5у**6՛, 4) 23* 4* 53у 109; 7) 12* + 17у = 41;
2) 7х — 4у «■= 2; 5) 6х — 5);*= 21; 8) 11х — 20у = 49;
3) 5х + у = 18; 6) 9х + 14у = 105; 9) 15* + 28у *= 59.
123

107. Решить в целых положительных числах уравнения:
1) Зх — 5 у = 1 1 ; 4) Зх + 7у = 55; 7) 7х + 5^ = 157;
2) 8х — 3>» = 13; 5) 5х + 4у = 3; 8) 5х — 11у = 17;
3) 4х + 5у = — 7; 6) Зх + 2у = 10; 9) 8х + 11у = 13.
108. Разложить число 118 на такие два слагаемых,
■’՝■ из которых одно делилось бы на 11, а другое —
на 17.
109. Для упаковки самоваров имеются ящики, из которых
в одни укладываются 4 самовара, а в другие
— 7. Сколько нужно взять тех и других hi
ков, чтобы упаковать 41 самовар?
110. Доказать, что каждое из уравнений не им(
целых решений:
1) 4х + 8у = 47; 3) 12х + 16у = 14;
2) Зх — 12\у = 8; . 4) 15х — 5 у = 6.
111. Разложить число 100 на такие два положительных
слагаемых, чтобы одно из них делилось на 7,.
а другое’—на 11.
112. Для настилки пола шириной в 3 м имеются
доски в И см и 13 см. Сколько нужно взять досок
того и другого размера? —
113. Для ссыпки ржи имеются мешки двух размеров:
мешок одного размера вмещает 60 кг, другого —
80 кг. Сколько нужно взять тех и других, чтобы
ссыпать 440 кг ржи и чтобы не было неполных
мешков?
114. Найти общий вид чисел, которые при делении
на 7 дают в остатке 3, а при делении на 11 дают
в остатке 4.
115. Даны три числа: 78, 210 и 346. Сравнимы ли они
‘с 27 по модулю И?
116. Среди чисел 123, 211, 134, 214, 303, 21 найти все
пары чисел, сравнимых между собой по модулю 4 ,^
117. Среди чисел 135, 226, 106, 181, 225, 167, 452 найти
все пары чисел, сравнимых֊ между собой по модулю
15.

II. Арифметические приложения теории
сравнений

124

118. Среди чисел 146, 1201, 182, 241 найти все пары
чисел, сравнимых между собой по модулю 12.
119. Записать с помощью сравнений следующие условия:
I
1) Число а дает остаток 3 при делении на 5.
2) Число b дает остаток 1 при делении на 5.
3) Числа т и п оканчиваются одной и той же
цифрой.
4) Число а оканчивается нулем.
5) Число а оканчивается цифрой 7.
120. Найти остатки от деления на 8 следующих степеней:
З13, 513, 713.
121. Найти остаток от деления суммы З13 + 5 3 + 7 3
на 8.
~~122^Лайти остатки от деления на 10 следующих степеней:
З14, 714, 914. 4
123. Найти остаток от деления 13 на 48.
124. Найти остаток от деления 219 + 419 -f 519 +-
+ 719819 на 9.
125. Найти остатки от деления 1630 на 3, 1630 на 5,
2719 на 4, 2719 на 7.
126. Доказать, что 4323 + 2343 делится на 66.
127. Доказать, что 255 + Г делится на 11.
128. Доказать, что 7 -f 72+ 7 3+ … + 744 делится на 100.
129. Найти две последние цифры чисел: 249, З101, 1728,
19321.

III. Позиционная форма записи целых
чисел

130. Записать с помощью степеней числа 10 следующие
числа: 372, 4892, 21037, 407122, 555555.
131. Записать в десятеричной системе следующие
: числа: ТШ7, 1010~կ, 12՜3, 1 Ж \ 2Г оЩ, 10 1013,
ատ;.
132. Записать в десятеричной системе следующие
числа: 12325, Ш 5 , 325 , 235, КН25.
133. Записать в двоичной системе счисления следую-
г щие числа: 2, 3, 5, 17, 20, 27.
134. Записать в троичной системе следующие числа:
2, 3, 4, 5, 17, 28, 38.

125

135. Записать в пятеричной системе следующие числа
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 28, 99.
136. Перевести в пятеричную систему счисления еле
дующие числа: 1012, 1!12, 10Ю2, 1 l l j , 2324.
137. Выполнить сложение в указанной системе счис՛
ления: 1) 101շ+111շ + 100շ; 2) 123g + 104g;
3) 1112 + 112 + 1; 4) -738,0+ 252Ie.
138. Записать с помощью степеней следующие числа
^(основание степени указано внизу около числа): ху2,
ху3, xyzt4, xyit4, xyzt5, xyzt10.
139. Выполнить умножение в указанной системе счисления:
1) П 2 X И շ; 2) Т35 X 135; 3) Y2- X 135;
4) 10,, X Иշ •

IV. Задачи по теории делимости цеиых
чисел, которые могут быть решены
методом полной математической
индукции

140. Доказать, что число* вида Э՞ —1 делится на 8
при любом натуральном п.
141. Доказать, что число вида 9* — 8я — 1 делится на
64 при любом натуральном п.
142. Доказать делимость при любом натуральном п:
1) (5я ֊ 2п) : 3, 2) (8՞ — 3я) : 5; 3) (17л — 11՞): 6.
143. Доказать, что 5 * 4 9 ՞ + 1 + 8я кратно 41 при любом
делом п > 0.
144. Доказать, что 4-6″ + 5я — 4 кратно 25 при любом
целом п > 0.
145. Доказать, что число вида 8я + 6 кратно 7 при
любом целом п > 0.
146. Доказать, что число 2-7я + 1 кратно 3 при любом
целом п > 0.
147. Доказать, что 7л + 3 я— 1 делится на 9 при любом
целом п > 0.
148. Доказать делимость при любом целом неотрицательном
п: 1) (22я+1 + 1 ) : 3; 2) (32в+1 + 2«+2) : 7;
3) (4^+1 + 3^+2) : 13; 4) (52,+1 + 4п+2). ■. 21. • f
149. Доказать, что для любого натурального а при
нечетном р > 0 разность ‘а?,—՝ а кратна 6.
126

V. Задачи на повторение и закрепление
теории делимости

159. Доказать, что произведете 4 последовательных
целых, чисел кратно 24-
• с Л i ‘ — _ а о ^ « о . յ Ճ 155. Доказать, что Xs փ — Эл3)/2 — 15х2>»3 + 4ху4 +
+ 12у* не может равняться 33 ни при каких целых
значениях х п у.
էՏ6. Доказать, что <z{a4—1) кратно 30 при любом
целом а.
157. Доказать, что число вида а (а4— 16) кратно 15
ори любом целом значении а.
158. Доказать, что число вида а ( а 4—-81) кратно 10
при любом целом а. ■ •
159. Доказать, что а ( а 4 —625) кратно 6 при любом
целом а.
160. Доказать, что а (о4 — 64) кратно 5 при любом
целом а.
161. Доказать, что а ( а *— 10000) кратно 3 при любом
целом а.
z 162. Решить уравнения в целых числах:
а) (ху— \)-(х + > ‘) = 1 в) (хг + у*)-(х + у) =* \Ъ
б) ( х + 2у)-(3х — 2у) — 35 г) (7х + Зу)-(5х + 2у) = 12
163. Решить уравнения в целых числах:
а) х2 ~ у 2 = 27 в) X? + 12х —у г + 1 Оу =* 22
б) х 2 — У = 4 г) у2 —2յ/ = * * + бх + 13
для которых X- 2 4- у■- 2 есть целое число?К
У յ
127

165. Сколько существует пар целых чисел от 1 до 100,
для которых —х2 *֊4“ — есть * целое число?
166. Доказать, что числа а 2 и а —1 взаимно простые
при любом целом а.
167. То же, что и в задаче 166, доказать относительно
каждой пары чисел (буквы обозначают целые числа):
1) 2ռ2 + 2ռ и 2а + 1; 2) Зх2 — х — 1 и Зх + 2;
3) а 3 + 2а и а4 + За2 + 1; 4) а5 + 4а3 + 3а и а4 +
+ За2 = 1.
168. Доказать, что число 2х2 + 2х + 1 не делится на 7
ни при каком целом х.
169. То же самое доказать относительно чисел Зх2+
-|~ 2х ՜ք- 1, 5х2 -f~ 2х -j- 1. /
170. Показать, что произведение 4 последовательных
целых чисел в сумме с единицей дает число составное.
Ш. ,П-, оказать, ч т о т* .1 —т—3 — ,1 —1-1- т—2- 1—. т есть целое
24 4 24 4
число при любом целом т Г
172. Доказать, что т { т — \ ) ՝( т ֊2 ) ■ -З тт/ւ ~ 5 есть целое
число при любом целом т .
173. Доказать, что х 54 —х 22 делится на 10 при любом
целом значении х.
174. Доказать, что I I 10 — 1 делится на 100.
175. Найти остаток от деления 6592 на 11.
176. Найти последнюю цифру числа 7101.
177. Найти последние три цифры числа 243402.
178. Доказать, что если числа я и 8 взаимно просты»
то п2 гг 1 (8).
179. Доказать, что если числа / гиб взаимно просты,
то п2 = 1 (24).
180. Доказать, что 22225э53 + 55 5 52222 кратно 7.
181. При каких целых значениях х выражение 1 + 4х
будет являться квадратом целого числа? (Вывести
формулу для х.) —
182. Решить в целых числах уравнение 9x-j-2 =
= )’•(> ‘+ 1)- :՛ ..
128

183. Доказать, что 3 + 4х не может являться квадратом
целого числа ни при каком целом х.
184. Доказать, что число 4п2 — 1 не может являться
. квадратом никакого целого числа.
185. Доказать, что уравнение 4х2 + 8пх + 1 = 0 не
может иметь рациональных корней, если п — целое
число.
186. Доказать, что уравнение х2 + Зрх + 1 = 0 не
имеет рациональных корней при целом р.

129

Математика в школе.
Библиотека учителя математики.
Интернет бизнес с нуля

МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТАТИВНЫЕ ЗАНЯТИЯ