§ 3. Геометрическая прогрессия

ЧАСТЬ II. ГЛАВА V
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Геометрическая прогрессия

Последовательность, каждый член которой, начиная со второго,
равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, постоянное
для этой последовательности, называется геометрической прогрессией.

В геометрической прогрессии частное от деления последующего
члена на предыдущий постоянно для всей последовательности. Оно
называется знаменателем прогрессии и обозначается буквой q.
Общий вид геометрической прогрессии
щ, а д ад®, . . .
Например, последовательность
2, 2®, 2», . . . ,
общий член которой ия = 2“,— геометрическая прогрессия. Здесь
каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному
на 2, т. е. здесь q — % Последовательность
2 I 4 » g » •••»
общий член которой «я — 2я» — геометрическая прогрессия. Здесь
q — ~ . Последовательность
— 3, 9, — 27, . . . ,

348 Геометрическая прогрессия. Паспорт кабинета математики 2016.

общий член которой ия= ( — 3 )»— геометрическая прогрессия. Здесь
q — — 3.
Если члены прогрессии образуют возрастающую последовательность,
прогрессия называется возрастающей.
Если члены прогрессии образуют убывающую последовательность,
прогрессия называется убывающей.
Так, .если первый член прогрессии положителен и <7^> 1, то прогрессия—
возрастающая. Например, геометрическая прогрессия
2, 6, 18, 54, . . .
— возрастающая.
Если первый член прогрессии положителен и 0 < 9 < ^ 1 , то прогрессия
убывающая. Например, геометрическая прогрессия
10 5 5 А А 2 9 4 9 8 ***
— убывающая.
Если первый член прогрессии отрицателен и q 1, то прогрессия—
убывающая. Например, геометрическая прогрессия
— 2, — 6, — 18, — 54, . . .
— убывающая.
Если первый член прогрессии отрицателен в 0 ^ < 1 , то прогрессия
возрастающая. Например, геометрическая прогрессия
1 л к 5 5 5
““ * 2 * 4 9 8 * * *
— возрастающая.
Если 9 = 1 , все члены прогрессии равны между собой. Если
9 = 0, все члены прогрессии, начиная со второго, равны нулю. Случаи,
когда 9 = 1 или 9 = 0, не представляют интереса.
Если д<С.О, члены прогрессии поочередно меняют знак и прогрессия
в этом случае не является ни возрастающей, ни убывающей.
Теорема . Общий член и„ геометрической прогрессии, знаменатель
которой q, определяется формулой
= (1)
До к а з а т е л ь с т в о . Доказательство проводится методом математической
индукции. Для второго члена утверждение справедливо,
так как при rt— 2 формула (1) дает щ = Допустим, что утверждение
справедливо для го члена, где k — некоторое натуральное
число, большее единицы, т. е.
= (2)
Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего
(k -}- 1)-го члена, т. е.
Я*+1 = «1?*.

349 Геометрическая прогрессия. Паспорт кабинета математики 2016.

Действительно,
%+i = »*?•
Отсюда на основании равенства (2)
Теорема доказана для любого натурального я ^ 2 .
Если условиться считать, что ^° = 1, как это и будет сделано в даль- ;
нейшем (см. гл. VI), теорема справедлива и для я = 1.
Теорема. Сумма членов конечной геометрической прогрессии,
знаменатель которой отличен от единицы, может быть
вычислена по формуле
с
я q — 1 *
Д ок а з а т е л ь с т в о . Пусть
= … (3)
Умножив обе части равенства (3) на q, получим
= + . . . + йл-|? + ия9.
Так как по определению
uxq = ub щд = иг$ . . . ип^ = и„
то
5п9 = «* + «з+ . . . + « я + и л9. (4)
Вычитая из равенства (4) почленно равенство (3), получим
S„(q— l) = unq — иь
отсюда
с uaq — ut
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧИСЕЛ [ГЛ. V
7 — 1 — •
Следствие. Сумма членов конечной, геометрической прогрессии,
знаменатель которой отличен от единицы, может быть вычислена
по формуле
с _ в , ( 7 п —1)
q— i » ‘
Д о к а з а т е л ь с т в о . По доказанному
‘ 7 — 1 »
но un = uiqa~i. Следовательно,
о _ в , ( 9 * — 1 )

350 Геометрическая прогрессия. Паспорт кабинета математики 2016.

Пример. Определить сумму 6 .членов следующей прогрессии:
14 * 12 * 1 J 2 ’ *’*
Р еш ен и е ..З д е с ь щ — q— 2. Следовательно,
Т (2* — !) з
2 — 1 — 15Т*
Прием, который мы применили для подсчета суммы членов геометрической
прогрессии, применяется и для подсчета других сумм, члены которых
не образуют прогрессии.
Пример. Вычислить следующую сумму:
S s ~ l + 2g + 3tfJ+ … +лд»-‘. (5)
Решение. Умножим обе части равенства (5) на q:
,Sq s=s q 4 — 2q* + 3q* 4~ ••• Л~Щп- (6)
Вычитая из равенства (5) почленно равенство (б), получим
5(1 —?) = (! + ? + ? 2 + 4″ <Г1) — пЯп»
1 — ап
Если д?61, то l+ q + q* + ••• + 0* 1 = ‘\ZL-q • Поэтому
о__ \ —дп пдп
§ 4 ] ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 3 5 1
( \- д У 1 ^ д *
Если q=s 1, то
<S= 14“24“з 4“ ••• 4-л = п(п+ 1)
Ответ. Если 09М, то S
2
_ 1—qn . nqn
1 — Я e , с Л (П 4-1)
Если q = h TO S===-^Y— •
Упражнения
1. Доказать, что
j _1_ 4д -+L 9да +_(_ … +| пn,дq „-i -_ 2? (1 -j, — L -( (12_я ^~ ) 3I ) g» j«_У? ,
если ^ 961.

351 Геометрическая прогрессия. Паспорт кабинета математики 2016.

Околоadmin