Геометрические места. Задачи на построение..

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Геометрические места

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

279. Сказанное только что о доказательствах предлагаемых теорем
избавляет нас от необходимости подробно останавливаться на других
возможных формах геометрических задач; решение последних
следует искать, руководствуясь теми же принципами, что и выше,
как мы это сейчас увидим при рассмотрении вопроса о геометрических
местах и о задачах на построение.
Геометрические места. Некоторые геометрические места были
нами рассмотрены в самом тексте книги; например, геометрическое
*) „Каждой задаче следует придать такую форму, чтобы её можно было
решить» (А б е л ь).
2) Одно из таких построений дано в упражнении 37.

251 Геометрические места. Задачи на построение. 

двух данных прямых, геометрическое место точек, находящихся на
данном расстоянии от данной прямой, и т. д.
Другие геометрические места очевидны сами по себе; например,
точка, обладающая тем свойством, что прямая, соединяющая её с данной
точкой Ау параллельна данной прямой ХУ, имеет своим геометрическим
местом прямую, проходящую через точку А и параллельную XV.
Таким образом, если дано какое-либо свойство точки М или общее
-какие-либо, свойства изменяемой фигуры, в состав которой входит
точка М, то для отыскания геометрического места точки М следует
преобразовать данные условия в другие, дающие для точки Ж
уже известное геометрическое место.
Мы имеем здесь, следовательно, перед собой вопрос, аналогичный
тому, который стоял перед нами, когда требовалось доказать теорему.
В самом деле, там требовалось из совокупности данных свойств
(условие) вывести другие свойства, так же заданные (заключение).
В данном случае требуется точно так же преобразовать данное условие.
Единственное различие состоит в том, что в данном случае известна
отправная точка — условие, но не известен конечный.результат-—
заключение: мы знаем только, что этот результат должен нам дать
искомое геометрическое место. (Ясно, что при этом следует прежде
всего искать общие свойства различных положений подвижной фигуры,
и, в частности, свойства, не изменяющиеся при её перемещении.)
Следовательно, здесь приходится идти тем же путём, как
и выше, и, нам ничего не оставалось бы, как только повторить те
указания, которые мы только что сделали.
Одно из этих указаний следует соблюдать здесь даже с большей
строгостью, чем при. доказательстве теорем. Мы уже видели, что
в вопросах, относящихся к доказательству теорем, иногда случается,
что при последовательных преобразованиях условия некоторые части
его могут оставаться неиспользованными. Подобное обстоятельство
никогда не может встретиться при отыскании геометрического места,
так как искомое геометрическое место должно состоять из точек,
удовлетворяющих данному условию, и только из них. Следовательно,
мы должны каждый раз проследить за тем, чтобы наше заключение
было вполне равносильно условию.
Мы делали это для большинства геометрических мест, которые мы
искали (см. пп. 33, 36, 77 и др.); мы опускали эту вторую часть
рассуждения только в некоторых случаях, где она представлялась
настолько лёгкой, что на ней не было надобности останавливаться.
280. Задачи на построение. Предположим далее, что требуется
построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую данным условиям.
Результат решения такого рода задачи может быть весьма
различным, в зависимости от того, будет ли число’данных условий
как раз достаточным для определения неизвестной фигуры или нет
П р и м е р ! . Пусть требуется построить прямую, касательную
к данной окружности.

252 Геометрические места. Задачи на построение.

Касательная в любой точке данной окружности будет отвечать условиям
задачи. Имеется бесчисленное множество решений; следовательно,
данных условий недостаточно для определения искомой фигуры. Такая
задача называется неопределённой.
П р и м е р II. Пусть требуется построить общую касательную
к двум данным окружностям.
Очевидно, что по сравнению с предыдущим примером мы имеем одним
условием больше.
Теперь задача — определённая: от имеет (самое большее) четыре решения
(п. 93).
П р и м е р III, Пусть требуется построить общую касательную
к трём данным окружностям,
В общем случае не существует ни одной прямой, удовлетворяющей
поставленным условиям. Действительно, первые две окружности имеют
(самое большее) четыре общие касательные, так что искомой прямой может
быть только одна из этих четырёх прямых, но третья окружность,
заданная произвольно, в общем случае, не будет касаться ни одной из
этих прямых. Следовательно, задача будет, за исключением некоторых
частных случаев, невозможной. На искомую фигуру наложено слишком
много условий.
Задачи, предлагаемые учащимся, являются, как общее правило,
определёнными.

281. Задача на построение часто сводится к построению некоторой
точки

П р и м е р I. Провести окружность через три данные точки (п. 90),
Достаточно определить её центр.
П р и м е р II. Построить треугольник, зная одну из сторон, проти-
волежащий угол и соответствующую высоту.
После того как выбрано положение данной стороны (где именно —
безразлично), остаётся только построить противолежащую вершину.
В этом случае обычно применяемым способом построения является
метод геометрических мест, который заключается в том, чтобы
вывести из условий задачи два геометрических места, на которых
должна лежать искомая точка: пересечение обеих линий и определит
положение этой точки.
Р е ш е н и е п р и м е р а I. Чтобы найти центр окружности, проходящей
через три данные точки А, В, С, достаточно заметить, что требование,
чтобы искомая точка была равноудалена от точек А и В, даёт одно
геометрическое место, а требование, чтобы искомая точка была равноудалёна
от точек А и С, — другое геометрическое место.
Р е ш е н и е п р и м е р а II. Пусть требуется построить треугольник
ABC, зная сторону ВС, противолежащий угол А и соответствующую
высоту. Если выбрано положение стороны ВС, мы имеем два геометрических
места для точки Л: 1) дуга, вмещающая данный угол и построенная
на ВС, как на хорде; 2) прямая, параллельная ВС и отстоящая от нее на
расстояний, равном высоте.
Условие, налагаемое на положение точки, называется простым
условием, если существует некоторая линия — геометрическое место
точек, удовлетворяющих этому условию. При этом точка определяется
двумя простыми условиями, и если известны два соответствующих гео

253 Геометрические места. Задачи на построение. 

пересечения.
Вообще, всякая фигура определяется некоторым числом простых
условий (мы вернёмся к этому вопросу во II томе, кн. X и Прибавление
F). Многоугольник, имеющий п сторон, определяется по величине
и положению 2п простыми условиями, так как при этом требуется
определить положение п точек. Чтобы определить его только по величине
и по форме, достаточно 2п—3 простых условий, так как
можно задать произвольно одну вершину и направление одной из выходящих
из этой вершины сторон. Это число 2п — 3 равняется п
для треугольника, но не равняется пу если п превосходит 3; отсюда
и вытекают те замечания, которые были нами сделаны в п. 46а
(примечание III) и п. 147 (примечание). ~
282. |В силу этого, когда мы встречаемся с какой-либо задачей
на построение, мы должны постараться преобразовать условие задачи
таким образом, чтобы свести её к одной из тех задач, которые
мы умеем решать; например, преобразовать условие так, чтобы
вывести из него два геометрических места для одной из точек, связанных
с искомой фигурой.
Для этого мы рассматриваем фигуру, которая по предположению
удовлетворяет поставленным условиям2), и эти условия служат нам
как бы условием теоремы; однако, как и в случае задач на геометрические
места, заключение мы должны найти сами.
И в этом случае следует соблюдать те же общие правила, как и
при доказательстве теорем. Как и в случае задач на геометрические
места, полученное заключение должно быть вполне равносильно условию.
Действительно, если, с одной стороны, из условий задачи должно
следовать найденное построение, то, с другой стороны, мы должны
убедиться в том, что любая фигура, построенная найденным нами
способом, необходимо удовлетворяет всем условиям задачи.
Мь| не будем подробнее останавливаться на тех особенностях,
которые представляют различные задачи на построение. Ограничимся
в этом направлении ссылкой на книгу Петерсена „Методы и теории
решения геометрических задач на построенией 3), книгу во всех
отношениях превосходную, из которой мы многое позаимствовали.

254 Геометрические места. Задачи на построение.

Околоadmin