О МЕТОДАХ,
ПРИМЕНЯЕМЫХ В ГЕОМЕТРИИ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Измерение площадей

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

268. Под этим названием мы хотели бы собрать некоторые указания,
которые, по нашему мнению, полезны как для понимания математики
вообще, так в частности для решения задач.
Действительно, учащийся должен твёрдо знать, что для того,
чтобы изучение математики принесло ему пользу, не требовало от
него чрезмерных усилий и привело бы его к правильному представлению
о геометрии, мало понимать предлагаемые ему рассуждения;
он должен в той или иной мере научиться самостоятельно строить
на основании изученного новые умозаключения, находить доказательства
теорем и решать задачи. .
Вопреки укоренившемуся предубеждению этого результата могут
достичь все или по крайней мере все те, кто будет заставлять себя#
размышлять и следовать в своих рассуждениях определённому методу.
Указания, которые мы хотим здесь сделать, вытекают просто из здравого
смысла (le bon sens le plus vulgaire). Среди них нет ни одного,
которое не могло бы показаться читателю совершенно тривиальным.
Однако опыт показывает, что несоблюдение того или другого из этих
очевидных правил является почти единственной причиной тех затруднений,
которые возникают при решении элементарных задач; то же
самое имеет место чаще, чем это можно было бы думать, при занятиях
более или менее высокими областями математических наук.

а) Теоремы, предлагаемые для доказательства.

269. Доказать теорему — значит перейти с помощью рассуждения
от условия теоремы к её заключению.
П р и м е р . В теореме:
Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково удалена от
сторон угла (п. 36, черт. 38),
условием и заключением будут:
Условие: Если точка М лежит на биссектрисе угла ВАС,
Заключение: то она будет одинаково удалена qj его сторон АВ и АС.
Мы должны вывести второе из первого, т. е. представить свойства,
выраженные в условии теоремы, в такой форме, чтобы из
них получить свойства, составляющие её заключение.

244 О МЕТОДАХ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В ГЕОМЕТРИИ. 

Очевидно, необходимо прежде всего точно знать, в чём состоит
условие и в чём — заключение теоремы; следовательно, учащийся
должен прежде всего учиться их уверенно формулировать.
270. Но этого ещё мало, и мы можем теперь же сделать первое
важное замечание. Всякое доказательство имеет своей целью показать,
что заключение теоремы верно, если предположить, что условие теоремы
выполнено. Если бы условие теоремы не рассматривать как выполненное,
не было бы никаки! оснований утверждать, что выполнено
её заключение. Так, если бы в примере, приведённом в предыдущем
пункте, точка М не лежала на биссектрисе, то она не была бы,
как мы знаем (п. 36), равноудалена от сторон угла.
Очевидно, что не имеет смысла делать какие-либо предположения,
если не пользоваться ими в своих рассуждениях, иначе говоря, если
сделанное предположение не входит где-либо в доказательство. Мы
видим, таким образом, что в рассуждениях необходимо использовать
условие теоремы и даже использовать его, вообще говоря, полностью.
271. Несколько ниже мы ещё вернёмся к только что изложенному
правилу. Но раньше мы должны дать ещё одно правило, вполне аналогичное
предыдущему. На него надо обратить .особое внимание,
так как о нём чаще всего забывают, несмотря на то, что оно является
совершенно необходимым. Это правило относится к определениям
тех понятий, которыми мы пользуемся.
С одной стороны, очевидно, что мы не можем пользоваться в наших
рассуждениях такими понятиями, которые не были нами определены;
с другой стороны, понятно, что не пользоваться каким-либо
определением при доказательстве ~ всё равно, что не знать этого
определения.
Мы дидим, таким образом, что прежде всего необходимо использовать
определение каждого из тех понятий, которые нам встречаются.
П р и м е р . Возьмём снова ту же теорему:
Любая тонка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково удалена от
сторон угла.
Мы должны прежде всего задать себе следующие вопросы:
Что значит, что прямая AM (черт. 38) есть биссектриса угла?
Ответ. Это значит, что она делит угол ВАС на две равные части.
Что называется расстоянием точки М от прямой АВ?
Ответ. Длина перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую АВ.
После этого формулировка теоремы принимает следующий вид:
( ~Z. MAD = Z МАЕ;
Условие < MD перпендикулярно к AD;
\ ME перпендикулярно к АЕ.
Заключение: MD = ME.
Мы надеемся, что этот пример достаточно уясняет смысл следующего
правила, которое Паскаль даже считал основой всей логики:
Необходимо заменять определяемые понятияихопределениями1).
1) В тех случаях, когда определение состоит из нескольких частей,
вообще говоря, бывает необходимо использовать все части определения;
по этому поводу можно было бы повторить сказанное ниже (в п. 275) относительно
условия теоремы.

245 О МЕТОДАХ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В ГЕОМЕТРИИ. 

272. Определение одного и того же понятия часто может быть
дано в различных формах; в этом случае следует выбрать форму
определения, наиболее подходящую для той дели, которая имеется
ввиду. Так, например, можно было бы ещё определить биссектрису AM
угла, как прямую, которая образует с одной из сторон данного угла
угол, равный его половине и имеющий надлежащее направление.
Эта форма определения не подходит для доказательства приведённой
выше теоремы; напротив, именно этой формой определения
мы пользовались при доказательстве теоремы п. 15а.
Некоторые теоремы точно также позволяют заменить одно определение
известного понятия другим определением, равносильным первому.
Так, например, первоначальное определение параллельных прямых
(п. 38) мы вовсе не употребляли, начиная с п. 39, где мы
заменили его следующим определением, вполне ему равносильным;
Параллельные прямые — это две прямые, которые с одной и той
же секущей образуют равные внутренние накрестлежащие углы
(iили равные соответственные углы, или пополнительные внутренние
односторонние углы).
273. Только что высказанное правило является, быть может, самым
важным из всех, которые нам придётся здесь рассматривать. Его значение
становится особенно ясным,если учесть,что многие вспомогательные
построения, которые иногда представляются на первый взгляд совершенно
произвольными, являются простым приложением этого правила.
Приведём только один пример. В начале второй книги мы при всех
рассуждениях, относящихся к точке, лежащей на окружности, начинали
с того, что соединяли эту точку с центром окружности. Читатель,
который продумал предшествующие замечания, поймёт, что
в этом построении нет ничего искусственного и что оно является непосредственно
необходимым. Действительно, оно вытекает из самого
определения окружности. Согласно определению, для того чтобы
показать, что точка Ж лежит на окружности, надо показать, что
расстояние ОМ равно радиусу окружности.
Начиная с главы IV (пп. 73 и сл.), положение меняется. Здесь уже
не всегда приходится соединять с центром те точки окружности, которые
мы рассматриваем. Это происходит потому, что здесь мы уже
знаем, что первоначальное определение окружности можно заменить
другим, данным в п. 82а. Согласно этому определению, для того чтобы
показать, что точка М лежит на окружности, можно соединить её
с тремя точками А, В и С этой окружности и показать, что четырёхугольник
АВСМ обладает одним из свойств вписанного четырёхугольника,
указанных в п. 81. В дальнейшем во всех рассуждениях, относящихся
к окружности, мы можем выбирать между этими двумя
определениями: в зависимости от обстоятельств^ мы пользуемся тем
или другим определением 1).

*) В дальнейшем, например в п. 131, встречаются и другие определения
окружности, равносильные двум предыдущим.

246 О МЕТОДАХ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В ГЕОМЕТРИИ.

274. После того как выполнено то, о чём мы говорили (т. е. определяемые
понятия заменены их определениями), необходимо преобразовать,
как было указано, условие теоремы так, чтобы обнаружить
справедливость её заключения.
В наиболее простых случаях непосредственно видна та теорема,
с помощью которой можно выполнить такое преобразование.
П р и м е р . Условие, приведённое в п. 271 (пример), непосредственно
даёт соответствующее заключение, если воспользоваться одним из признаков
равенства прямоугольных треугольников.
В противоположность этому, в других случаях приходится проходить
через несколько промежуточных этапов. При этом можно, например,
попытаться придать условию теоремы другую форму, которая
возможно ближе подходит к её заключению.
П р и м е р . Пусть требуется доказать теорему
(п. 25):
Во всяком треугольнике против большей стороны
лежит и больший угол.
Мы должны выразить, что АВ больше, чем АС
(черт. 28). Для этого мы откладываем на АВ отрезок
AD = AC, так что точка D лежит между Ап В.
Условие и заключение теоремы будут поэтому
таковы:
(I) Условие: { продолжение Черт. 230.

Заключение: L АС В > L ABC.
Равнобедренный треугольник ADC, в котором углы при основании
равны, позволяет придать теперь условию теоремы новую форму:
VrnnmiP- i DA есть (II) Условие. I продолжение DB\ z ADC=== £ ACD.
Заключение: L ACB = ADC -f L DCB~> L A B C ,
или проще:
(III) Условие: DX есть продолжение DB (черт. 230).
Заключение: L XDC -j- L DCB»> L XBC.
Последнее заключение очевидно в силу теоремы о внешнем угле треугольника
(в том же п. 25).
Как видно из разбора доказательства, мы достигли цели с помощью
ряда последовательных преобразований условия теоремы.
275. При каждом из таких преобразований следует, в частности,
не забывать нашего первого правила (п. 270) и каждый раз следить,
не осталась ли неиспользованной какая-либо часть условия,
в чём можно убедиться, исследуя, сводится ли новое условие в точности
к предыдущему, будет ли оно ему вполне равносильно.
П р и м е р . В предыдущем примере формулировка (II) условия теоремы ,
вполне эквивалентна формулировке (I): это значит, что если условие (I)
выполнено, то выполняется и условие (II), и обратно. В самом деле, разница
между ними заключается только в том, что равенство DA ~ АС заменено
через L ADC = L ACD. Но мы знаем, что любое из этих двух
условий влечёт за собой другое. Условие (II) поэтому может быть безоговорочно
поставлено на место условия (I): безразлично, дано ли условие
теоремы в той или в другой форме.

247 О МЕТОДАХ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В ГЕОМЕТРИИ. 

Иногда может случиться, что какая-либо часть условия теоремы
может быть отброшена без всякого ущерба *); однако этого в общем
случае не будет2), и если мы встретим затруднение при доказательстве
какой-либо теоремы, то мы должны всегда выяснить, не возникло
ли это затруднение потому, что в процессе рассуждений мы
опустили какую-либо часть данного условия.
П р и м е р . Пусть требуется доказать следующую теорему:
В плоскости треугольника ABC выбрана тонка М; если построить
L ВАР= L MAC (черт. 231) и отложить А Р = А М , если далее построить
L CBQ=LMBA; BQ=BM и £ACR~
ки AM и АР. Следовательно, точка Р симметрична с точкой М относительно
прямой dt; точно так же точка Q симметрична с точкой М относительно
биссектрисы d2 угла В, а точка R симметрична с точкой М относительно
биссектрисы ds угла С. Поэтому мы могли бы попытаться преобразовать
условие следующим образом:
Заключение: Точки М, Р, Q, R лежат на одной окружности.
Однако, исходя из этой формы условия, невозможно доказать теорему:
действительно, сформулированное таким образом предложение неверно.
Неверно, что произвольна# точка М и точки Р, Q> R, симметричные с ней
относительно- трёх произвольных прямых, лежат на одной окружности.
*) Это имеет место в том же примере при переходе от условия (II)
к условию (III), Условие (II), в самом деле, равносильно следующему:
DX есть продолжение DB;
( на полупрямой DX существует такая точка, что треуголь-
(1Г) < ник, имеющий эту точку своей вершиной, а отрезок DC—
( своим основанием, имеет равные углы при основании.
Действительно, последнюю точку можно, очевидно, обозначить через А.
Но эта точка может и не существовать, даже если выполнено условие (III):
DX есть продолжение DB.
Для того чтобы она существовала, необходимо, в силу теоремы о внешнем
угле треугольника, чтобы £ XDC был острым.
Следовательно, условие (III) может иметь место и без того, чтобы выполнялось
условие (II). * .
2) Следует стремиться к тому, чтобы давать такие формулировки теорем,
в которых условие не содержало бы ни одного лишнего элемента, В более
тонких вопросах, и особенно в приложениях математики, наибольшая трудность
часто заключается именно в том, чтобы выяснить, какими из имеющихся
данных следует воспользоваться для решения вопроса.

248 О МЕТОДАХ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В ГЕОМЕТРИИ. 

В этом можно убедиться при одном взгляде на чертёж 232, или ещё, принимая
во внимание, что любые три точки Р, Q, R можно рассматривать как симметричные
с некоторой точкой М относительно прямых du d2> ^ — перпендикуляров
в серединах отрезков МР, M.Q, MR.
Таким образом, мы сделали ошибку, заменив формулировку (I) теоремы
формулировкой (И). Ошибка заключается в том, что прямые du d2, ds не
произвольны: они служат биссектрисами углов данного треугольника и потому
проходят через одну точку. Следовательно, правильной формулировкой
преобразованного условия теоремы будет следующая х).
[ Точка Р симметрична с точкой М относительно прямой 4и
(II ) Условие: ; « ; 1 М \ %
\ прямые du d f > > d3 проходят через одну точку О;
эта форма условия непосредственно приводит к результату, так как непосредственно
очевидно, что четыре точки M t Р,
Q, R лежат на одном круге с центром в точке О.
276. Вместо того чтобы преобразовывать
условие теоремы так, чтобы сблизить его с
заключением теоремы, часто оказывается предпочтительнее
сначала обратить внимание на
заключение и постараться заменить первоначальное
заключение другим, из которого
вытекает первое и которое легче было бы
вывести из условия теоремы.
П р и м е р . Рассмотрим теорему (упр. 72):
Если из тонки М, лежащей на окружности, описанной около треугольника
ABC, опустить перпендикуляры МР, MQ, MR на его стороны,
то оснотния этих перпендикуляров
лежат на одной прямой.
Мы докажем, что точки Р, Q, R
(черт* 233) лежат на одной прямой,
если докажем, что углы BPR и CPQ,
получающиеся при соединении точки
Р с точками Q и Р, будут равны
между собой. Следовательно, в то время
как условие теоремы будет:
( Точки Д В, С, М лежат на одном
< круге; МР, MQ, MR соответственно
{ перпендикулярны к ВС, С А, АВ,
заключению теоремы мы можем придать
следующую форму:
L BPR = Z. CPQ.
Но так как углы BRM и ВРМ —
прямые, то четырёхугольник BRPM может
быть вписан в круг (п. 81), и потому
£ BPR = Z BMR; точно так же четырёхугольник CQMP может быть
вписан в круг и потому L CPQ = £ C M Q . Следовательно, нам достаточно
(при том же условии) доказать следующее заключение:
L B M R = L C M Q .
*) Эта новая формулировка условия теоремы может заменить лврвена-
чальную; три прямые, проходящие через одну точку, можно, вообще говоря,
рассматривать
упр. 38).

249 О МЕТОДАХ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В ГЕОМЕТРИИ. 

Первоначальное заключение, таким образом, заменено другим, более
простым для доказательства; читатель легко докажет это последнее заключение1).
Пользуясь при доказательстве теоремы этим новым способом, мы
должны, конечно, подобно тому, как мы это делали выше, убедиться
в том, что, изменив заключение, мы не стремимся доказать больше
того, что содержится в первоначальном заключении, за исключением
тех случаев, когда у нас есть основание думать, что и новое заключение,
более общее, чем первоначальное, также будет справедливо.
277. Теперь следует сделать ещё одно важное замечание, на котором
мы не имели возможности остановиться в самом начале наших
указаний. Его следует использовать непосредственно по ознакомлении
с формулировкой той теоремы, которую требуется доказать.
Замечание это заключается в том, что многие теоремы могут
быть сформулированы несколькими различными способами. Мы приводили
соответствующие примеры в тексте книги.
П р и м е р I. Мы отметили в п. 32, что предложение:
Всякая точка, одинаково удалённая от А и В, лежит на перпендикуляре,
восставленном в середине отрезка АВ,
можно сформулировать так:
Всякая точка, которая не лежит на перпендикуляре, восставленном
в середине отрезка АВ, не одинаково удалена от двух концов отрезка.
Мы видели2), что здесь имеется общее положение: предложение,
противоположное какому-либо предложению, и предложение, обратное
тому же предложению, равносильны.
К тому же порядку идей относится и метод доказательства, называемый
доказательством от противного. Этот метод состоит
в том, чтобы показать, что получается противоречие, если предположить
условие теоремы выполненным, а её заключение неверным.
П р и м е р И. Предложение (п. 23):
Во всяком равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине
перпендикулярна к основанию и делит его пополам,
сводится, как мы видели 3), к любому из следующих:
Высота равнобедренного треугольника, проведённая из его вершины,
проходит через середину основания и делит угол при вершине пополам.
-1) В своём рассуждении мы допускали, что точки фигуры расположены
так, как это показано на чертеже (черт. 233). Следовало бы видоизменить
доказательство так, чтобы оно не зависело от этого расположения; это
легко выполнить, пользуясь замечаниями, сделанными в п, 82. Однако в данном
случае можно всегда предполагать, что имеет место случай, к которому
относится наше рассуждение: для этого достаточно изменить в случае
надобности расположение букв Л, В, С.
2) См. п. 32, примечание 2°. Прим. ред. перевода.*
3) Напомним (ср. ещё п. 41), что равносильность обеих формулировок
проистекает йз того, что существует только одна биссектриса угла при
вершине, только одна высота, только один перпендикуляр в середине основания,
и т. д.

250 О МЕТОДАХ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В ГЕОМЕТРИИ. 

Перпендикуляр к основанию, восставленный в его середине, проходит
через вершину равнобедренного треугольника и является биссектрисой
угла при вершине.
. И т. д.
Ясно, что этот пример носит, как и предыдущий, общий характер;
мы встречались с тем же обстоятельством, например, в п. 63.
Впрочем, с ним приходится встречаться с самого начала геометрии.
Доказательство теоремы, обратной теореме п. 38, проведённое в п. 41,
представляет собой пример доказательства такого рода.
Эти два случая, в которых данная формулировка может быть заменена
другой формулировкой, ей эквивалентной, не являются единственными.
В каждом отдельном случае следует всегда подумать о
различных возможных формулировках одной и той же теоремы. Очевидно,
существенно иметь их в виду, чтобы выбрать из них ту, которая
наиболее подходит для доказательства; короче говоря, следует
ставить перед собой вопрос таким образом, чтобы его решение
становилось возможно легче1).
278 . Этим последним замечанием мы заканчиваем изложение тех
основных правил, на которые мы хотели здесь указать. Очень полезно
изучить с точки зрения этих принципов те доказательства, которые
были даны в уексте книги, ставя перед собой, например, вопросы,
аналогичные следующим.
При доказательстве теоремы о медианах треугольника (п. 56) мы рассматривали
середины отрезков BG и CG (черт. 57). Можно ли было логическим
путём прийти к такому построению? Можно ли заменить его другими
построениями? 2)
Можно ли заменить формулировку теоремы п. 55 (прямая, соединяющая
середины сторон треугольника) другой, ей равносильной? Можно ли доказать
теорему в этой последней формулировке непосредственно?
Обе ли части заключения упражнения 8 предполагают, что данная
точка лежит внутри треугольника? Не указывает ли ответ на этот вопрос
на ту теорему, которой следует воспользоваться для доказательства каждой
из двух частей этого заключения?
В каком месте доказательств, данных в п. 27, мы воспользовались предположением,
что объемлемый многоугольник — выпуклый?
И т. д.

251 О МЕТОДАХ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В ГЕОМЕТРИИ.

О МЕТОДАХ ГЕОМЕТРИИ