ГЛАВА IV. ПОСТРОЕНИЯ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ПОСТРОЕНИЯ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

264. Задача. На данном основании построить треугольник,
равновеликий данному треугольнику. ^
Высота искомого треугольника, очевидно, будет четвёртой пропорциональной
к данному основанию и к основанию и высоте данного тре-
*) Пользуясь только циркулем и линейкой. Прим. ред. перевода

239 ПОСТРОЕНИЯ. 

угольника, так как четыре таких числа, что произведение двух из них
равно произведению двух других, составляют пропорцию. Когда высота
найдена, мы отложим её на каком-либо перпендикуляре к данному
основанию и, таким образом, получим вершину одного из бесчисленного
множества треугольников, который удовлетворяет условиям.
Ясно,, что точно так же можно построить треугольник, имеющий
данную высоту и равновеликий данному треугольнику.
265. Задача. Построить треугольник, равновеликий данному
многоугольнику.
Разложим многоугольник на треугольники и превратим их в треугольники
с общим основанием с помощью предыдущего построения.
Треугольник, имеющий то же основание и высоту, равную сумме
высот всех составляющих треугольников,
будет равновелик сумме этих треугольников,
т. е. данному многоугольнику.
Это построение может быть значительно
сокращено; мы это сейчас пока-
В жем, предполагая для простоты, что
многоугольник выпуклый.
Пусть дан многоугольник ABCDE

(черт. 229). Проведём диагональ СЕ, которая
соединяет две верщины, смежные с
Черт. 229. одной и той же вершиной D, и через эту *
. вершину D проведём параллельно СЕ прямую
DU до пересечения с продолжением стороны АЕ в точке D\
Треугольник CEDT равновелик треугольнику CED (п. 250), а многоугольник
АВСП — соответственно многоугольнику ABCDE; таким
образом, мы заменим данный многоугольник равновеликим ему многоугольником,
имеющим на одну сторону меньше, чем первоначальный. Мы
продолжаем это построение до тех пор, пока не придём к треугольнику.
Задача. Построить квадрат, равновеликий данному многоугольнику.
Сторона искового квадрата будет средним пропорциональным
между основанием и половиной высоты треугольника, полученного
предыдущим построением.
266, Задача. Построить многоугольник, равновеликий данному
многоугольнику и подобный другому данному многоугольнику.
Пусть требуется построить многоугольник Р, подобный данному
многоугольнику F и равновеликий другому данному многоугольнику
Рх. Пусть d — сторона квадрата, равновеликого многоугольнику Р’,
а — сторона квадрата, равновеликого многоугольнику Рх; эти стороны
можно определить тем же путём, как это было указано выше. Отношение
площадей многоугольников Рг и Р%, т. е. отношение площадей
многоугольника Р’ и искомого многоугольника, 6yAej

240 ПОСТРОЕНИЯ. 

Следовательно, если A!Bf — какая-нибудь сторона многоугольника
F, то соответствующая сторона АВ искомого многоугольника
определяется из пропорции
а’ АВ’
а АВ ’
поэтому её можно найти построением четвёртой пропорциональной
(п. 151), и задача приведена к построению За, п. 152.
267, Знаменитая задача о квадратуре круга состоит в построении
стороны квадрата, равновеликого данному кругу.
Эта сторона, как видно из выражения для площади круга, есть
средняя пропорциональная между радиусом и длиной полуокружности,
и задача была бы разрешена, если бы была известна последняя.
Обратно, если бы была построена сторона квадрата, равновеликого
данному кругу, то длина полуокружности получилась бы как третья
пропорциональная к радиусу и стороне квадрата. Задача о квадратуре
круга сводится к той задаче, о которой мы говорили в п. 184: Построить
отрезок, равный длине окружности данного радиуса. Как
мы уже говорили, эта задача, а следовательно, и задача о квадратуре
круга не могут быть решены с помощью линейки и циркуля.

УПРАЖНЕНИЯ.

319. Построить прямоугольник, зная его периметр и площадь.
Какой из прямоугольников, имеющих данный периметр, будет имёть
наибольшую площадь?
320. Вписать в круг прямоугольник данной площади.
Какой из прямоугольников, вписанных в данный круг, будет иметь наибольшую
площадь?
321. Разделить треугольник на равновеликие части прямыми данного
направления.
Та же задача для произвольного многоугольника.
322. Разделить четырёхугольник прямыми, выходящими из одной его
вершины, на данное число равновеликих частей. Показать, что для построения
точек пересечения искомых прямых со сторонами четырёхугольника
достаточно разделить на равные части диагональ, которая не проходит
через данную вершину, и через точки деления провести прямые, параллельные
другой диагонали, до пересечения со сторонами четырёхугольника.
323. Разделить произвольный многоугольник на равновеликие части
прямыми, выходящими из одной и той же вершины.

ЗАДАЧИ К ЧЕТВЁРТОЙ КНИГЕ.

324. Показать, что формулировку предложений упражнения 296 можно
видоизменить так, что они будут верны, каково бы mi было положение
точки О на плоскости, условившись перед числом, выражающим площадь
треугольника, ставить знак + или в зависимости от направления вращения.
325. Если два многоугольника прямо гомотетичны и меньший расположен
внутри большего, то площадь любого многоугольника, описанного около
одного из них и вписанного в другой, будет средней пропорциональной между
площадями данных многоугольников.

241 ПОСТРОЕНИЯ. 

326. Найти отношение площади данного треугольника к площади треугольника,
имеющего своими сторонами медианы данного треугольника.
327. Через две вершины треугольника проведены прямые, делящие
противоположные стороны в данных отношениях. Найти отношения, площадей
тех частей, на которые эти прямые делят площадь треугольника.
328. Через три вершины треугольника проведены прямые, делящие
противоположные стороны в данных отношениях. Найти. отношение площади
треугольника, образованного этими прямыми, к площади данного
треугольника. Вывести отсюда теоремы пп. 197 и 198, которые дают условие,
при котором все три прямые проходят через одну и ту же точку.
329. Через точку внутри угла провести секущую так, чтобы она образовала
со сторонами угла треугольник данной площади. (Прежде всего
ртроим параллелограмм, имеющий заданную площадь, один из углов которого
совпадает с данным углом и одна из сторон которого проходит через
данную точку. Искомая секущая должна отсекать от этого параллелограмма
треугольник, площадь которого равнялась бы сумме площадей двух
других треугольников, лежащих вне построенного параллелограмма и
образованных этой “секущей, сторонами параллелограма и сторонами данного
угла.)
330. Среди всех прямых, которые проходят через точку, ‘заданную
внутри угла, и пересекают его стороны (но не их продолжения), найти ту,
которая образует со сторонами угла треугольник, имеющий наименьшую
площадь.
331. Среди всех многоугольников с одним и тем же числом сторон и
вписанных в один и тот же круг наибольшую площадь будет иметь правильный
многоугольник *) (доказать).
332. Построить треугольник, зная его сторону, соответствующую высоту
и радиус вписанной окружности.
333. В данный круг вписать трапецию, зная один из её углов и площадь.
334. Треугольник и параллелограмм имеют одно и то же основание,
по равному углу при основании и одну и ту же площадь. Разрезать одну
из этих фигур на такие две части, чтобы они, будучи сложены иначе, давали
бы другую фигуру.
335. Два треугольника имеют одно и то же основание и одну и ту же
высоту. Разрезать один из них на части так, чтобы сложенные иначе они
дали бы другой. (Свести эту задачу к подобному же вопросу о параллелограммах,
пользуясь результатом предыдущей задачи.)
336. Та же задача для каких-либо двух равновеликих треугольников.
337. Та же задача для каких-либо двух равновеликих многоугольников.
338. Пусть даны четыре точки А, В, С, D; произведение площади треугольника
BCD на степень точки А относительно круга, описанного около
этого треугольника, равно каждому из произведений, образованных таким
же образом точкой В и треугольником CAD, или точкой С и треугольником
ABO, или точкой D и треугольником АС В (доказать).

1) Если в круг вписан многоугольник, отличный от правильного, то
по крайней мере одна из его сторон больше стороны правильного многоугольника
с тем же числом сторон и по крайней мере, одна из его сторон
меньше стороны того же правильного многоугольника; всегда можно,
не изменяя ни площади многоугольника, ни описанного круга, сделать так,
чтобы эти две’ стороны АВ и ВС были смежными. Перемещая теперь вершину
В так, чтобы сделать ВС равной стороне правильного вписанного
многоугольника, мы^лощадь многоугольника увеличим; выполняя эту операцию
столько раз,’ сколько будет необходимо для того, чтобы заменить
данный многоугольник правильным многоугольником, получим искомое
предложение.

242 ПОСТРОЕНИЯ. 

Показать, кроме того, что эти равенства можно считать верными как
по величине, так и по знаку, если использовать соглашение, установленное
в задаче 324.
339. Каждое из произведений, рассмотренных в предыдущей задаче,
равно площади треугольника, стороны которого выражаются теми же числами,
что и произведения АВ • СД АС « DB, AD — ВС (доказать; см. п. 218,
упр. 270а).
340. Разрезать треугольник на равнобедренные треугольники. Та же
задача для произвольного многоугольника.
341. Вычислить площадь треугольника, образованного тремя дугами окружности
одного и того же радиуса R, попарно пересекающимися под прямым
углом.
342. Если два треугольника симметричны друг с другом относительно*
центра их общей вписанной окружности, то площади восьми треугольников,
которые образуются их сторонами, дают в произведении шестнадцатую степень
радиуса этой окружности.

243 ПОСТРОЕНИЯ. 

Околоadmin