ГЛАВА III. ПЛОЩАДЬ КРУГА.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Измерение площадей

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

259—260. Определение площади круга.

259. Площадью круга называется предел, к которому стремится
площадь вписанного или описанного многоугольника, если длины всех
его сторон стремятся к нулю.
Чтобы доказать, что такой предел существует и не зависит от закона,
по которому длины сторон стремятся к нулю, надо провести
рассуждения, аналогичные тем, которые мы проводили, определяя
длину окружности.
Сначала рассматривают правильные вписанные многоугольнику,
число сторон которых неограниченно удваивается, и соответствующие
описанные многоугольники (черт. 177). При этих условиях:
Площади вписанных многоугольников будут возрастать, потому
что каждый из них заключает предыдущий внутри себя. При этом
каждая из этих площадей будет меньше площади какого-либо описанного
многоугольника. Поэтому эти площади стремятся к пределу.
Точно так же площади описанных многоугольников будут убывать>
потому что каждая из них находится внутри предыдущего.
При этом каждая из этих площадей будет больше площади какого-
либо вписанного многоугольника.

236 ПЛОЩАДЬ КРУГА. 

Поэтому площади описанных многоугольников также стремятся
к пределу.
Эти два предела равны между собой, потому что отношение
площадей вписанного многоугольника и соответствующего описанного
равно квадрату коэффициента подобия, который стремится к единице
(п. 176).
260. Пусть 5 —значение общего предела, которое получается,
например, если исходить из квадрата и рассматривать последовательно
правильные многоугольники с 4, 8, 16, 32, . . . , 2″,.., стороздми.
Возьмём теперь какие-нибудь вписанные многоугольники а’Ь’с’…
(черт. 178) и соответствующие описанные многоугольники А’В’С’ . . , ,
налагая единственное условие, чтобы число сторон этих многоугольников
увеличивалось безгранично так, чтобы длины всех сторон стремились
к нулю.
Площадь вписанного многоугольника db’d … меньше, чем S, потому
что S является пределом для площадей описанных многоугольников,
каждая из которых больше, чем площадь многоугольника a r b f c f . . .
Величина 5, будучи заключена между площадями многоугольников,
вписанного и описанного, отличается от каждого из них на величину,
меньшую разности между площадями обоих многоугольников.
Но эта разность стремится к нулю. В самом деле, она состоит из
суммы площадей треугольников arbrA\ Ъ’с’В* , . ; следовательно,
она измеряется величиной
i {ftV • А’НА- Ь’с’. В’КА- . . . ) <i- (a’b’ + Ь’с’ -|-
где А’Н, В’К, … — высоты треугольников a f b f A \ V c f B \ … и I
представляет наибольшую из этих высот.
Множитель a f b r -f- V c f -)-••• стремится, как мы знаем, к длине
окружности. Что касается высот А’Н, В’К, … , то они стремятся
к нулю. Действительно, например, длины отрезков ОН и О А! стремятся
к радиусу круга, и, следовательно, их разность А’Н имеет
своим пределом нуль.
Поэтому площади вписанных и описанных многоугольников
стремятся к одному и тому же пределу S, который есть площадь
круга 1).
*) Это рассуждение распространяется на любые выпуклые кривые при
условии, что высота, опущенная из вершины с треугольника abc (сноска 1
к п. 179), стремится к нулю вместе с расстоянием аЬ независимо от положения
дуги ab на данной кривой. Это условие выполняется одновременно
с аналогичным условием, указанным в сноске п. 179* При этом разность
между площадью ^писанного многоугольника и площадью соответствующего
описанного “необходимо стремится к нулю вместе с ^длинами сторон этих
многоугольников. Как было отмечено в сноске, о которой идёт речь, доказательство
разделяется на две части, соответствующие содержанию ад. 259 и 260.
Что касается площадей невыпуклых фигур, то их вычисляют как сумму или
разность площадей выпуклых фигур.

237 ПЛОЩАДЬ КРУГА. 

261—262. Формула для площади круга. Площадькругового сектора

261. Теорема. Площадь круга измеряется длиной окружности,
умноженной на половину радиуса.
Действительно, площадь правильного многоугольника измеряется
произведением его периметра на половину апофемы. Когда число
сторон его неограниченно увеличивается, периметр стремится
к длине окружности, апофема — к длине радиуса.
П р и м е ч а н и е . Можно получить тот же результат, применяя
теорему т 254 об описанном многоугольнике. В самом деле, периметр
такого многоугольника стремится к длине окружности, когда
число сторон его неограниченно возрастает.
Следствие. Площадь круга радиуса R есть тс/?2.
Действительно:
262. Круговым сектором называется часть плоскости, ограниченная
дугой окружности и радиусами, проведёнными в концы этой дуги.
Площадь сектора есть предел, к которому стремится площадь вписанного
многоугольного сектора, когда все стороны соответствующей
ломаной линии неограниченно уменьшаются. Существование этого
предела устанавливается так же, как и для площади круга.
Теорема. Площадь кругового сектора равна длине дуги, которая
служит его основанием, умноженной на половцну радиуса.
Действительно, периметр вписанной правильной ломаной линии,
когда число сторон её неограниченно возрастает, стремится к длине
дуги, а апофема её стремится к радиусу. в
Длина дуги окружности радиуса /?, содержащей я.градов, равна
тг Rn nR2 “ n 2qq-, а площадь кругового сектора равна
Аналогично этому площадь кругового сектора радиуса /?, имеющего
центральный угол в т°пгрг\ равна

263. Площади фигур, ограниченных дугами круга

263. Круговым сегментом (черт. 226 и 227) называется часть
плоскости, заключённая между дугой и её хордой. Ясно, что для по-
2 k R . ^ = izR\

238  ПЛОЩАДЬ КРУГА

лучения площади сегмента надо из площади сектора вычесть площадь
треугольника, имеющего основанием хорду, а вершиной — центр
круга, если соответствующая дуга меньше половины окружности
(черт. 226), и надо прибавить площадь того же треугольника в противоположном
случае (черт. 227).
Измерение площади фигуры, ограниченной дугами окружности,
сводится к вычислению площади многоугольника с последующим прибавлением
или вычитанием из неё площадей секторов или сегментов.
Например, площадь криволинейной фигуры ABCD (черт. 228)
равна площади четырёхугольника ABCD, уменьшенной на сумму
площадей сегментов АВ и ВС и увеличенной на сумму площадей
сегментов CD и DA.
Резюмируя, скажем, что мы можем найти площадь всякой части
плоскости, ограниченной прямыми или дугами окружности.

УПРАЖНЕНИЯ.

312. Найти длину радиуса круга, площадь которого равна 1 м2.
313. Найти длину радиуса круга, в котором площадь сектора с углом
в 15°25′ составляет 1 ж2.
314. Найти длину радиуса круга, в котором площадь сегмента, ограниченного
дугой в 60° и её хордой, равна 1 м2.
315. Площадь кругового кольца, заключённого между двумя концентрическими
окружностями, равна площади круга, который имеет своим диаметром
хорду большей окружности, касающуюся меньшей окружности (доказать).
316. В и D — две точки, лежащие на дуге ABC, представляющей собой
четверть некоторой окружности, и находящиеся на одинаковом расстоянии
от её концов; если из этих двух точек опустить перпендикуляры BE и
DF на радиус ОС, то полученная криволинейная трапеция BEFDt ограниченная
прямыми линиями и дугой окружности, равновелика сектору OBD
(доказать). ‘
317. На катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника, как на
диаметрах, построены полуокружности — две первые вне треугольника,
третья, наоборот, расположена по ту же сторону от гипотенузы, где лежит
треугольник. Показать, что сумма плрщадей двух луночек, заключённых
между каждой из меньших окружностей и большой окружностью,
равна площади треугольника.
318. На стороне АВ квадрата, вписанного в окружность с центром О,
как на диаметре, описана полуокружность, расположенная вне квадрата.
Радиус OMN пересекает эту полуокружность в точке Л/, а первоначальную
окружность —- в точке М. Показать, что криволинейный треугольник, заключённый
между отрезком прямой MN и дугами МЛ, NA, квадрируем, т. е.
что можно найти1) сторону равновеликого ему квадрата,

239 ПЛОЩАДЬ КРУГА

Околоadmin