ГЛАВА II. СРАВНЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Измерение площадей

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

256. Теорема. Если уЗол одного треугольника равен углу другого
(или является углом ему пополнительным), то площади
обоих треугольников относятся между собой как произведения
сторон, заключающих этк углы.

Мы можем совместить друг с другом равные углы или сделать
прилежащими друг к другу пополнительные углы; тогда в треугольниках
АВСУ АВГС совпадут по направлению стороны АС и АО; стороны
АВ и АВ’ либо также совпадут по направлению (черт. 222), ушбо
будут служить продолжением одна другой (черт. 223). Отношение
площадей двух треугольников равно отношению оснований АВ и АВ

233 СРАВНЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ. 

умноженному на отношение высот СИ и СГН\ а это последнее,
очевидно, равно отношению.

257. Отношение площадей двух подобных многоугольников

257. Теорема. Отношение площадей двух подобных многоуголь-
д* ников равно квадрату коэффициента
подобия.
Мы будем различать два
случая:
1°. если речь идёт о двух
подобных треугольниках ABC,
AfBrC’, то достаточно заметить,
что эти два треугольника имеют
равные углы 2. А — L Ar. Следовательно,
отношение их площадей
равно произведению отношений
АВ
А’В’
АС
Л’СМ т. е. квадрату одного из них, потому что эти
отношения равны между собой.
2°. пусть даны теперь два каких-нибудь подобных многоугольника
ABCDE и ArBrCfDrEr (черт. г
224), коэффициент подобия
которых пусть будет k.
Эти многоугольники
можно разложить на подобные
и одинаковым образом
расположенные треугольники
ABC, ACD, ADE\ А’В’С,
ArCrD\ NDrE, и мы будем
иметь:
гм. ABC __ пл. ACD _
пл. А’В’С’ — пл. A’C’D’
пл. ADE _______ , 2
— пл. Л’£>’£’ ‘
Складывая предыдущие
и последующие члены, получим:
пл. ABCDE _____
пл. A’B’C’D’E’ ~ *

258. Квадрат гипотенузы

258. Теорема. Квадрат,
построенный на гипо- Черт. 225.
тенузе прямоугольного
треугольника, равновелик сумме квадратовк построенных на катетах.
Пусть дан прямоугольный треугольник ABC (черт. 225). На катетах
АВ, АС и на гипотенузе ВС построим квадраты ABEF,
ACQH, ВСЛ, расположенные вне треугольника. Из вершины А

234 СРАВНЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ.

опустим на гипотенузу ВС перпендикуляр AD, продолжение которого
пусть пересечёт IJ в точке К. Я утверждаю, что прямоугольник BDKI
равновелик квадрату ABEF.
Чтобы это доказать, проведём AI и СЕ. Треугольник ABI и прямоугольник
BDKI имеют общее основание BI и общую высоту AL =
— BD\ следовательно, площадь треугольника равна половине площади
прямоугольника. Точно так же треугольник ЕВС имеет то же основание
BE и ту же высоту СМ — АВ, что и квадрат ABEF; следовательно,
площадь этого треугольника равна половине площади
квадрата.
Но два треугольника ABI и ЕВС равны, так как имеют равные
углы при вершине В (к углу В треугольника ABC прибавляется прямой
угол), заключённые между равными сторонами (АВ=ВЕ и /?/*=
= ВС). Поэтому прямоугольник BDKI равновелик квадрату А ВЕР.
Можно точно так же доказать, что прямоугольник CDKJ равновелик
квадрату ACQH. Квадрат BCJI, представляющий сумму двух прямоугольников,
тем самым равновелик сумме квадратов ABEF и ACGH.
П р и м е ч а н и е . Эта теорема по существу сводится к той, которую
мы доказали в п. 124, .потому что квадраты ABEF и ACGH,
BCJI измеряются соответственно квадратами чисел, измеряющих длины
их сторон. Даже и доказательство идёт по тому же пути, потому что
равновеликость прямоугольника BDKI и квадрата ABEF выражает
то же самое, что и равенство АВ* — ВС * BD, которым мы пользовались
в указанном п. 124.

УПРАЖНЕНИЯ.

302. Каждая сторона треугольника разделена в данном отношении.
Требуется найти отношение площади треугольника, вершины которого
лежат в точках деления, к площади данного треугольника. Рассмотреть
случай, когда одна или более сторон разделены внешним образом. Вывести
отсюда теоремы пп. 192—193.
303. Разделить треугольник прямыми, параллельными основанию, на
данное число равновеликих частей.
304. Разделить трапецию прямыми, параллельными основанию, на данное
число равновеликих частей.
305. Радиусы окружности, проведённые в вершины вписанного в неё
равностороннего треугольника, продолжены до пересечения с окружностью,
которая проходит через вершины квадрата, описанного около данной
окружности. Полученные три точки пересечения определяют треугольник,
равновеликий вписанному в эту окружность правильному шестиугольнику
(доказать).»
306. Через каждую вершину четырёхугольника проведена прямая, параллельная
заданному направлению, до её пересечения с диагональю, которая
не проходит через эту вершину; доказать, что:
1°. четырёхугольник, вершины которого находятся в этих точках пересечения,
равновелик данному;
2°. он будет трапецией или параллелограммом, если первый будет трапецией
или параллелограммом;
3°. в общем случае отношения, в которых противолежащие стороны
делят друг друга в точке пересечения, будут одни и те же для обоих четырёхугольников.

235 СРАВНЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ.

307. На плоскости даны несколько многоугольников; через все их вершины
проведены прямые, параллельные данному направлению, и, на этих
прямых отложены отрезки, пропорциональные расстояниям соответствующих
вершин от заданной прямой (так что все эти отрезки направлены от
вершин либо в сторону заданной прямой, либо в противоположную сторону).
Доказать, что площади многоугольников, вершинами которых служат
концы построенных таким образом отрезков, пропорциональны площадям
данных многоугольников (упр. 297).
В каком случае новые многоугольники будут равновелики первым?
308. Показать, что предыдущее упражнение содержит как частный
случай упражнение 306

Другие доказательства теоремы о квадрате гипотенузы.

309. В задаче 44 (книга первая) доказать, что третий квадрат HBKF
равновелик сумме двух данных квадратов. Вывести отсюда теорему п. 258.
310. Доказать теорему о квадрате гипотенузы с помощью теоремы
п. 257, замечая, что прямоугольный треугольник представляет сумму двух
треугольников, на которые он делится своей высотой.
311. На сторонах АВ и АС некоторого треугольника ABC, как на соответствующих
основаниях, построены два каких-либо параллелограмма ABEF,
ACGH, расположенные вне треугольника, а в остальном совершенно произвольные;
стороны EF и GH продолжены до взаимного пересечения в
точке М. Показать, что параллелограмм, построенный на стороне ВС и
имеющий другую сторону, равную и параллельную ДМ, равновелик сумме
первых двух.
Показать, что эта теорема включает в себя как частный случай теорему
о квадрате гипотенузы.

236 СРАВНЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ.

 

СРАВНЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ