КНИГА ЧЕТВЁРТАЯ.
ПЛОЩАДИ. Измерение площадей.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Измерение площадей
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
242. Два многоугольника называются смежными, если они
имеют одну или несколько общих сторон (черт. 212) или частей сторон
(черт. 213), но не имеют ни одной общей внутренней точки.
Если в двух данных смежных многоугольниках Р, Р’не рассматривать
их общих сторон, то образуется1) третий многоугольник Р»,
который называется суммой первых двух. Внутренняя область этого
многоугольника содержит все точки, расположенные внутри того
или другого из двух первоначальных многоугольников, и только
эти точки.
243. Определить площадь плоского многоугольника — значит поставить
в соответствие каждому плоскому многоугольнику величину
(её-то и называют поверхностью или площадью многоугольника),
обладающую следующими свойствами:
I. Два равных многоугольника имеют одну и ту же площадь
независимо от занимаемого ими положения в пространстве.
*) Мы отказываемся в четвёртой книге от ограничения, установленного
в п. 21 (книга первая) относительно смысла слова „многоугольник», так что
часть плоскости, заштрихованная на чертеже 21, будет рассматриваться
в этой книге как многоугольник. Впрочем, такой мнегоугольник можно
получить как сумму двух смежных обыкновенных многоуготьников, как
это показано на чертеже 213. . . —
Однако в этой главе рассматриваются лишь многоугольники в собствен-
ном смысле (п. 21).
8 Элементарная геометрия, ч. I
224 Измерение площадей.
II. Многоугольник Р”, представляющий собой сумму двух смежных
многоугольников Р и Рг, имеет своей площадью сумму площадей
многоугольников Р и Р\
Мы допускаем, что возможно установить подобное соответствие 1).
244. Площадь может быть определена бесчисленным множеством
различных способов, потому что, если каждому плоскому многоугольнику
поставлена в соответствие величина, обладающая свойствами I и
II, то величина, ей пропорциональная, также будет обладать этими
свойствами.
Для измерения площадей, которым мы сейчас будем заниматься,
сначала нужно выбрать некоторый многоугольник, площадь которого
будет принята за единицу площади; мерой какой-либо площади
будет отношение этой площади к единице площади.
Мы условимся здесь и во всём дальнейшем считать за единицу
площади площадь квадрата, имеющего своей стороной выбранную
единицу длины. В дальнейших теоремах мы всегда будем предполагать
это условие, не считая нужным включать его в формулировку
каждой теоремы.
245. О двух многоугольниках, имеющих одну и ту же площадь,
говорят, что они равновелики. Следовательно, два равных многоугольника
равновелики. Конечно, обратное утверждение будет
неверно; два многоугольника не будут обязательно равными, если
они равновелики. Например, мы покажем, что можно построить квадрат
равновеликий любому заданному многоугольнику.
246. Основанием прямоугольника называется одна из его сторон.
Длина стороны, перпендикулярной к первой, называется при этом высотой
прямоугольника. Основание и высота прямоугольника называются
его измерениями.
Основанием параллелограмма называют какую-либо его сторону;
высотой будет при этом расстояние от этой стороны до противоположной
стороны (измеренное, разумеется, по общему перпендикуляру
к обеим сторонам).
Основаниями трапеции будут её параллельные стороны, а высотой
трапеции — расстояние между параллельными сторонами..
Наконец, основанием треугольника называют какую-либо из его
сторон; высотой — перпендикуляр, опущенный на эту сторону (или на
её продолжение) из противолежащей вершины.
247. Площадь прямоугольника.
247. Теорема. Площади двух прямоугольников, имеющих равные
основания, относятся между собой как их высоты.
В самом деле:
1°. два прямоугольника, имеющие равные основаниями равные высоты,
равны между собою и, следовательно, равновелики на основании
свойства I.
*) Это допущение в действительности излишне, так как возможность установить
такое соответствие можно доказать (см. Прибавление D в конце
книги).
225 Измерение площадей.
2°. если три прямоугольника ABDC, A’B’D’C’, AfBTTDfTCTr (черт. 214)
имеют равные основания, а высота третьего составляет сумму высот
первых двух, то площадь третьего будет суммой площадей первых
двух (свойство II). Действительно, третий прямоугольник можно рассматривать
как сумму двух прямоугольников A»B”FE и C»DrfFE} равных
соответственно двум первым.
Поэтому можно доказать, так же как и в п. 113 (книга третья)
или в п. 17 (книга первая), что значение отношения двух площадей,
вычисленное с точностью до будет равно значению отношения двух
высот, вычисленному с точностью до —, 1это и доказывает теорему.
Следствие. Так как каждая сторона прямоугольника может быть
принята либо за основание, либо за высоту, мы могли бы об основаниях
высказать то, что мы говорили о высотах, и обратно; одним
словом, площади двух прямоугольников, имеющих по равной стороне,
относятся между собой, как их неравные стороны.
Теорема. Отношение площадей двух прямоугольников равно
произведению отношений их соответствующих измерений.
Действительно, мы только что видели, что площадь всякого прямоугольника
пропорциональна его основанию или его высоте, если
изменяется только высота или только основание. Отсюда уже следует,
что площадь прямоугольника пропорциональна их произведению.
Впрочем, здесь можно повторить то рассуждение, которое применяется
для этого случая в арифметике. Действительно, пусть А и А’ —
площади двух данных прямоугольников; а и b — измерения одного
из них, а! и Ъг — измерения другого. Рассмотрим прямоугольник,
у которого измерениями будут аи b. Если А” будет площадью
этого прямоугольника, то будем иметь:
А а А» Ъ
V А» а’ * А’ V
В этих равенствах мы можем полагать, что Л, А\ А!Т обозначают
не площади, как таковые, а числа, которые измеряют эти площади
в одних и тех же единицах, например в выбранных нами единицах пло-
8*
226 Измерение площадей.
щади (квадрат, сторона которого равна единице длины). При этих
условиях, если мы перемножим почленно предыдущие равенства, то
А А» ААп произведение • -у можно будет записать в виде дггдз=^т. Это, А
отношение дАе йствительно равно произведению отношений л h -г и -гг,й О
Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению двух
его измерений.
В самом деле, эта теорема представляет собой не что иное, как
предыдущую теорему, применённую к данному прямоугольнику и квадрату,
имеющему стороной единицу длины. Площадь А! этого последнего
является единицей площади, и каждое его измерение а? и b’
равно единице длины; таким образом, отношение-^ есАть не что иное,
как мера площади А, и отношения ~ суть меры длин а, b.
П р и м е ч а н и я . I. Эта формулировка имеет смысл только благодаря
соглашению, установленному в п. 18 (книга первая) и повторенному
в п. 106 (книга третья). Смысл сказанного таков: число,
которое измеряет площадь прямоугольника, равно произведению
чисел, измеряющих соответственно его основание и его высоту.
И. Эта формулировка верна только благодаря соглашению,
установленному в п. 244, которое в данном случае весьма существенно.
Очевидно, a priori, что доказанное равенство не будет
иметь места, если единица длины и единица площади будут выбраны
как-нибудь, независимо друг от друга.
Из этого видно, что единица длины может быть выбрана произвольно;
но если этот выбор сделан, то тем самым из него необходимо
вытекает выбор единицы площади.
Поэтому говорят, что единица площади —- единица производная
228 Измерение площадей.
248. Площадь параллелограмма.
248. Теорема. Площадь параллелограмма измеряется произведением
его основания на высоту.
Пусть имеем параллелограмм ABDC (черт. 215). Проведём перпендикуляры
к стороне АВ через точки Ат В до пересечения в точках
с и d со стороной CD так, чтобы образовался
прямоугольник ABdc. Этот прямоугольник равновелик
параллелограмму, потому что, нрибавг-
ляя к этим двум многоугольникам соответственно
два прямоугольных треугольника BdD,
АсС, которые равны как имеющие по рав-
Черт. 215. ному острому углу и по одной равной стороне,
мы получаем одну и ту же сумму (п. 242) —
трапецию AcDB< Теорема доказана, так как прямоугольник имеет
своими измерениями основание рараалелограмма и его высоту.
228 Измерение площадей.
249—251. Площадь треугольника
249. Теорема. Площадь треугольника измеряется половиной
произведения основания на высоту.
Пусть дан треугольник ЛВС (черт. 216). Через точку А проведём
прямую AD, параллельную ВС, и через точку С — прямую CD, параллельную
АВ. Таким образом, получается параллелограмм ABCD,
имеющий то же основание и ту же высоту, что и данный треугольник.
Но этот параллелограмм делится диагональю АС (п. 46) на два
равных треугольника ABC и CD А, Поэтому треугольник ABC составляет
половину параллелограмма.
250. Следствие. Геометрическое место вершин С треугольников,
имеющих одно и то же основание АВ (черт. 217) и одну и
ту же площадь, составляют две прямые, параллельные АВ.
Действительно, вершины этих треугольников будут расположены
на постоянном расстоянии от прямой АВ.
251. Задача. Вычислить площадь треугольника, если даны три
его стороны.
Мы видели (п. 130), что если а, b, с — стороны треугольника и
р -— его полупериметр, то высота АН, опущенная на сторону а, будет
равна
Следовательно, площадь треугольника 5 будет равна
S = ° ‘ = V р ( р — а ) ( р — ь ) ( р — с}==
— 26V2 -f 2с V + 2аЧ- — а4 — Ь1 — с4.
. П р и м е ч а н и е. Произведение трёх сторон треугольника р@фы&
учетверённому произведению плЬщади на радиус описанного кру&%.
Если в треугольнике ABC АН— высота, опущенйая из вершйны А,
и R — радиус описанной окружности, то имеем (п. Кфа):
ЯВ -АС = 2R • АН\
229 Измерение площадей.
умножая обе части этого равенства на ВС, получим
АВ • АС • BC=2R • АН • BC—4R • S.
252—252а. Площадь произвольного многоугольника; площадь трапеции
252. Площадь какого-либо многоугольника находят, разлагая его
на треугольники, площади которых складывают между собой. Следующие
две теоремы являются только приложением этого способа.
* Теорема. Площадь трапеции измеряется произведением полусуммы
её оснований на высоту.
Пусть имеем трапецию ABDC (черт. 218). Диагональю AD мы делим
эту трапецию на два треугольника ABD и ACDy за основания которых
мы принимаем стороны АВ и CD. Высоты DDf и ААГ треугольников
будут равны между собой и равны высоте трапеции /г.
Поэтому будем иметь:
площадь ABDC = h • , АВ — ,- Cj-D h h•( AB+CD) ^—— •
252a. Следствие. Площадь трапеции измеряется произведением
её высоты на отрезок, соединяющий середины её непараллельных
сторон.
Действительно, середины Е, F сторон
АС и BD (черт. 218) и середина / диагонали
AD лежат на одной и той же прямой,
параллельной основаниям; следова- .
тельно, отрезок EF равен полусумме этих
оснований, потому что две его части £7 и IF
соответственно равны -у-C иD АВ
253—254. Площадь правильного многоугольника; площадь многоугольного
сектора; площадь описанного многоугольника
253. Теорема. Площадь правильного многоугольника измеряется
произведением его периметра на половину апофемы.
В самом деле, правильный многоугольник ABCDEF (черт, 219)
разбивается радиусами, проведёнными в его вершины, на треугольники
ОАВ} ОВС, . . . , равные между собой и имеющие, следовательно,
одну и ту же высоту, равную апофеме ОН многоугольника; поэтому
имеем:
площадь ОАВ — ОН-
площадь О ВС = ОН •
АВ
2 ’
ВС
2 ’
площадь OF А = ОН •
Складывая, получим:
FA
2 •
площадь ABCDEF= ОШАВ+ВС + … + FA)
230 Измерение площадей.
П р и м е ч а н и е . Если число сторон многоугольника чётно, то
его площадь равна половине радиуса описанной окружности, умноженного
на периметр, многоугольника, полученного от соединения
вершин данного через одну.
Действительно, площадь треугольника ОАВ (черт. 219) равна
половине произведения ОВ на опущенную из точки А высоту А/,
равную половине отрезка АС.
Черт. 219.
253а. Многоугольным сектором (черт. 220) называется многоугольник,
ограниченный ломаной линией, вписанной в окружность,
и радиусами этой окружности, проведёнными в концы ломаной.
Многоугольный сектор называется* правильным, если ломаная
линия, которая служит его основанием, будет правильной.
Теорема. Площадь правильного многоугольного сектора измеряется
произведением периметра ломаной линии, которая служьуп
его основанием, на половину апофемы.
Доказательство этой теоремы точно такое
же, как и предыдущей (п. 253).
254. Теорема. Площадь выпуклого
многоугольника, описанного около круга
(и заключающего этот круг внутри себя)
(черт. 221) равна произведению его периметра
на половину радиуса этого круга.
Действительно, многоугольник можно
разложить на треугольники, соединяя вершины
многоугольника с центром круга. Эти
треугольники имеют своими основаниями стороны многоугольника,
высоты их все одинаковы — радиусы круга.
255. Задача. Найти площадь вписанного четырёхугольника, зная
четыре его стороны. . .
Пусть ABCD — вписанный четырёхугольник, у* которого АВ = а,
ВС = $\ CD = c, DA = d. Если R будет радиусом описанного круга, то
(п. 251, примечание)
а • Ъ • АС = 4R X площадь ABC,
• с • d • АС = 4R X площадь ACD.
231 Измерение площадей.
Сумма площадей ABC и ACD равна искомой площади S. Складывая
получим (в силу п. 240а):
4RS = АС ■ 0ъЬ 4-cd)=Y(ас + bd) (ad + be) (ab + cd)
и, заменяя R его значением (п. 240a), найдём:
S = Y ( p — a ) ( p — b ) ( p — c ) ( p — d).
П р и м е ч а н и е . Результат не зависит от последовательности сторон,
что было ясно и a priori, потому что четырёхугольники ABCD> ABEF,
ABGH (п. 240) равновелики, как составленные из попарно равных треугольников.
УПРАЖНЕНИЯ.
287. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной а.
288. Найти длину стороны равностороннего треугольника, площадь которого
равна 1 м2.
289. Каждая вершина данного квадрата соединяется с серединой стороны,
предшествующей противоположной вершине при обходе периметра
квадрата в определённом направлении. Полученные таким образом прямые
образуют стороны нового квадрата, составляющего пятую часть данного
(доказать).
290. Через точку, взятую на диагонали Л С параллелограмма ABCD проведены
прямые, параллельные его сторонам. Данный параллелограмм делится,
таким образом, на четыре параллелограмма, из которых два имеют своими
диагоналями части диагонали АС. Доказать, что два других параллелограмма
равновелики.
291. Какой из треугольников, имеющих равные основания и равные углы
при вершине, будет иметь наибольшую площадь? (
292. Во всякой трапеции два треугольника, образованные каждой из
двух непараллельных сторон и отрезками двух диагоналей, равновелики
(доказать). Сформулировать и доказать обратную теорему.
293. Через середину каждой диагонали четырёхугольника про&едена
прямая, параллельная другой диагонали; точка пересечения этих прямых
?оединена с серединами сторон четырёхугольника. Показать, что четырёхугольник
разбивается таким образом на четыре равновеликие части.
294. Через каждую вершину четырёхугольника проведены прямые,
параллельные диагонали, не проходящей через эту вершину. Показать,
что полученный таким образом параллелограмм вдвое больше четырёхугольника.
Если диагонали двух четырёхугольников соответственно равны и пересекаются
под равными углами, то четырёхугольники равновелики (доказать).
295. Внутри треугольника найти такую точку, которая, будучи соединена
с тремя его вершинами, разделила бы треугольник на три равновеликие
части или, общее, на три части, площади которых пропорциональны
трём данным отрезкам или трём данным числам.
295а. Исходя из рассмотрения площадей (см. предыдущее упражнение),
доказать, что произведение отношений, в которых прямые, соединяющие
какую-либо точку плоскости с тремя вершинами треугольника, делят его
противоположные стороны, равно единице (теорема, доказанная в п. 197).
296. Некоторая точка О плоскости соединена с вершинами параллелограмма
ABCD ( A C , B D ^ его диагонали); доказать, что:
1°. если точка О находится внутри параллелограмма^ то сумма площадей
противолежащих треугольников ОАВ и OCD равна сумме площадей треугольников
О ВС и ODA. ‘
2°; где бы ни лежала точка О, треугольник О АС равновелик сумме или
разности треугольников ОАВ и OAD.
232 Измерение площадей.
297. Площадь трапеции измеряется произведением одной из непараллельных
её сторон на перпендикуляр, опущенный из середины другой из
непараллельных сторон на первую. Доказать это предложение двумя способами:
1а преобразуя в другую форму выражение, данное в и. 252а;
2°. показав непосредственно, что трапеция равновелика параллелограмму,
имеющему указанное выше основание и высоту.
Если соединить середину одной из непараллельных сторон трапеции
с концами противоположной стороны, то получится треугольник, равновеликий
половине трапеции (доказать).
298. Сумма расстояний какой-либо точки, взятой внутри правильного
многоугольника, от вгех его сторон есть величина постоянная (доказать).
» 299. Площадь треугольника равна произведению полу периметра на радиус
вписанного круга (доказать).
Площадь треугольника равна произведению радиуса вневписанного круга
на разность между полупериметром и соответствующей стороной (или на полу-
разность между суммой двух других сторон и этой стороной).
300. Обратная величина радиуса круга, вписанного в треугольник,
равняется сумме обратных величин радиусов вневписанных кругов (доказать).
301. Если х, у, z обозначают соответственно расстояния точки, лежащей
внутри треугольника от трёх его сторон, и Л, k, /^—соответствующие
высоты треугольника, то имеет место равенство: х , У , z л t -у = 1 (доказать).
Как изменится это предложение, если точка будет лежать вне
треугольника?
233 Измерение площадей.
Околоadmin
