ГЛАВА VI . ЗАДАЧИ О КАСАНИИ ОКРУЖНОСТЕЙ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ЗАДАЧИ О КАСАНИИ ОКРУЖНОСТЕЙ

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

229. Задана. Построить окружность, проходящую через две
данные точки и касающуюся данной прямой или данной окружности.
Мы уже решили эту задачу (п. 159). Однако инверсия позволяет
дать другое решение. Действительно, если мы преобразуем фигуру

209 ЗАДАЧИ О КАСАНИИ ОКРУЖНОСТЕЙ.

с помощью обратных радиусов-векторов, приняв за полюс одну из
данных точек, то искомая окружность преобразуется в прямую, которая
должна пройти через известную точку (обратную второй из данных точек)
и касаться известной окружности (обратной данной окружности).
230. Задача. Построить окружностьукоторая проходит через
данную точку и касается двух данных прямых (или окружностей).
С п о с о б п е р в ы й . Искомая окружность сама себе соответствует
в одной из двух инверсий (или симметрий), которые преобразуют
данные линии одну в другую. Таким образом, известна, кроме данной
точки, вторая точка искомой окружности, а именно та, в которую
преобразуется данная точка с помощью рассматриваемой инверсии
или симметрии, и задача сводится к предыдущей. Здесь возможны
четыре решения, так как предыдущая задача имеет два решения.

С п о с о б в т о р о й . Возьмём фигуру, обратную рассматриваемой
фигуре, принимая за полюс данную точку. Мы приходим тогда
к задаче об общих касательных к двум окружностям.
231. Задача. Построить окружность, касающуюся трёх данных
окружностей.
Эта задача сводится к предыдущей. Действительно, пусть С, С’,
С» (черт. 2 0 2 ) — данные окружности, радиусы которых соответственно
равны г, г’, г», и О — искомая окружность радиуса R, которая
касается всех трёх данных окружностей, предположим, внешним
образом. Окружность радиуса R -f- г» с центром в точке О пройдёт
через центр окружности С» и будет касательной к окружностям, которые
концентричны окружностям С и С’, причём радиусы этих новых
окружностей соответственно равны разностям радиусов г и г», f и г1Г.
Совершенно так же можно рассмотреть случай, когда не все
данные окружности имеют внешнее касание с окружностью О; при

210 ЗАДАЧИ О КАСАНИИ ОКРУЖНОСТЕЙ.

этом придётся только заменить некоторые из разностей радиусов
суммами тех же радиусов, и обратно.

232—236. Решение Жергонна

232. Рассмотрим решение той же задачи способом, совершенно
отличным от предыдущего (метод Ж е р г о н н а).
Пусть Л, В, С — данные окружности. Найдём сперва окружность
£ (черт. 203), которая касается в точках а, b, с данных

окружностей одинаковым образом, т. е. либо всех трёх внешним
образом, либо всех трёх внутренним образом.
Если такая окружность существует, то необходимо существует ещё
вторая такая же окружность 27. Действительно, радикальный центр I
данных трёх окружностей имеет одну и ту же степень относительно
этих трёх окружностей: если принять эту степень за степень инверсии-
и точку I за полюс инверсии, то инверсия не изменит данные
окружности и преобразует окружность Е в некоторую окруж

211 ЗАДАЧИ О КАСАНИИ ОКРУЖНОСТЕЙ.

ность Ег, которая будет касаться окружностей А, В, С в точках а\
Ъг, с\ обратных точкам а, Ьу с. Окружность 27 будет касаться всех
окружностей одинаковым образом; при этом характер касания
окружностей £ и Е’ с данными окружностями будет одним и тем
же, если точка I служит внешним центром подобия окружностей Е
и Е’, и не будет одним и тем же, если точка / служит внутренним
центром подобия окружностей Е и Е’.
Докажем, что радикальная ось ХУ двух искомых окружностей
является внешней осью подобия (п. 145) трёх данных окружностей.
Для этого проведём прямые ab и a’bг; пусть они пересекутся в точке
Точка 5 лежит на радикальной оси окружностей Е и Е’, так как
точки а и а!, b и Ъ1 попарно взаимно обратны относительно точки /
(п. 224). Но точка 5 есть внешний центр подобия данных окружностей
А и В (п. 227). Так же убеждаемся, что радикальная ось XУ проходит
через другие два внешних центра подобия данных окружностей.
Доказав это, проводим общие касательные в точках касания а и а’
окружности А с окружностями Е и Е’. Точка а, в которой пересекаются
эти касательные, лежит на прямой ХУ, так как точки а и аг
взаимно обратны относительно точки /. Эта точка а служит полюсом
аа! относительно окружности А.
Следовательно, хорда aaf проходит через точку р, которая служит
полюсом относительно окружности А внешней оси подобия ХУ.
Таким образом, мы пришли к следующему построению: Находим
радикальный центр I и внешнюю ось подобия ХУ данных окружностей.
Соединяем точку I с полюсами р, q, г прямой ХУ относительно
данных окружностей. Прямые, построенные таким
образом, соответственно пересекают данные окружности в искомых
точках касания а и а’, b и bf, с и сг.
233. Остаётся показать, что это построение действительно даёт
окружности, удовлетворяющие требуемым условиям.
Для этого мы покажем, что точки а, #, с, а’, Ь\ с’, полученные указанным
построением, являются попарно антигомологичными точками
данных окружностей. Действительно, найдём хорду окружности В,
антигомологичную хорде аа! окружности А. Эта хорда определяется
(п. 224) следующими двумя условиями: 1) обе хорды пересекаются
на радикальной оси двух окружностей А и В; 2) обе хорды пересекают
поляры точки 5 относительно соответствующих окружностей
в двух соответственных точках. С другой стороны: 1 ) точка пересечения
/ прямых аа! и bbr принадлежит радикальной оси окружностей А
и В, 2 ) точки р и q, полюсы прямой ХУ относительно окружностей
А и В, лежат на полярах точки 5 относительно этих окружностей,
и эти точки — соответственные точки, так как в гомотетии, имеющей
своим центром точку 5 и преобразующей окружность А в окружность В,
прямая ХУ сама себе соответствует, и, следовательно, её полюсы соответствуют
друг другу. Следовательно, хордой, антигомологичной
хорде аа!, является хорда bbr. Так же будут антигомологичными хорды
сс’ и аа! в окружностях С и Л и хорды с с’ и bbr в окружностях С и В.

212 ЗАДАЧИ О КАСАНИИ ОКРУЖНОСТЕЙ.

Мы обозначим через b и с две точки, антигомологичные точке а
(этим самым ещё не доказано, что эти две точки антигомологичны
друг другу); при этом точки V и сг будут точками, антигомологичными
точке а!. Через точки ау b, с проводим окружность Е, и через
точки а\ b\ cf — окружность £’.
Эти две окружности взаимно обратны относительно точки I,
так как точки а, а!\ b, Ь’\ с, сТ попарно взаимно обратны относительно
точки /; таким образом, окружностью, обратной окружности
abc, будет окружность a’brcr.
Радикальной осью этих окружностей является прямая XY,
так как эта радикальная ось, с одной стороны, должна пройти
через точки пересечения прямых ab и агЬ\ с другой стороны, через
точки пересечения прямых ас и а’с\
Пусть теперь 0 4 — точка пересечения касательных в точках а и аг
к окружности А. Эта точка лежит на прямой XY, так как прямая
аа! проходит через точку р; она также лежит на перпендикуляре,
проведённом через середину отрезка аа!.
Но точка а, в которой пересекаются касательные, проведённые
в точках а и а! соответственно к окружностям Е и Е’, также лежит
на прямой ХУу так как эта прямая является радикальной осью
окружностей Е и Е’; следовательно, она лежит также на перпендикуляре
в середине отрезка аа!, так как касательные а а и а а\
проведённые соответственно к окружностям Е и Е’, равны. Итак,
точки а и 0 4 совпадают, а окружности Е и Е’ касаются окружности
А в точках а и а!. Следовательно, они касаются также окружностей
В и С в точках b и Ь\ с и сг (п. 227).
234. Мы отыскивали окружность Е, касающуюся окружностей А,
В и С одинаковым образом. Окружности, которые касаются окружностей
А, В и С не одинаковым образом, можно найти, заменяя
в предыдущих рассуждениях внешнюю ось подобия последовательно
каждой из внутренних осей подобия.
Так как существуют четыре оси подобия, то задача о касании
окружностей может иметь восемь решений. Однако все или часть этих
решений могут не существовать: это имеет место, если, например,
прямая 1р не пересекает окружности А. Мы видим, что если степень
точки / относительно трёх данных окружностей отрицательна и точка /,
следовательно, лежит внутри всех окружностей, то существуют все
восемь решений. Все восемь решений существуют также, если данные
окружности являются внешними относительно друг друга, как в этом
легко убедиться, исследуя решение задачи методом, указанным в п. 231.
235. Решение Жергонна применимо также, если одну или две
из данных окружностей заменить точками или прямыми, как в этом
можно убедиться, повторяя при этих новых условиях рассуждения
п. 232. Однако построение применимо только к отысканию точек
касания искомых окружностей с окружностями. В частности, это
построение не приводит ни к какому результату, если заменить все
данные окружности точками или прямыми.

213 ЗАДАЧИ О КАСАНИИ ОКРУЖНОСТЕЙ.

236. Метод предложенный Жергонном, неприменим в отдельных
частных случаях. Действительно, если центры данных окружностей
лежат на одной прямой, то радикальный центр и три полюса каждой
оси подобия лежат в бесконечности в направлении, перпендикулярном
к данной прямой. Можно избежать этого частного расположения,
подвергнув фигуру инверсии.
Обратно, три окружности вообще могут быть преобразованы
одной и той же инверсией в три окружности, центры которых лежат
на одной прямой. Для этого достаточно, чтобы общая степень
радикального центра относительно данных окружностей была положительна
и чтобы, следовательно, существовала окружность, которая
пересекала бы все три окружности под прямым углом. Если
принять за полюс инверсии какую-либо точку этой окружности, то
данные окружности преобразуются в три другие окружности, которые
пересекаются с одной и той же прямой под прямым углом,
т. е. центры которых лежат на этой прямой.
Следовательно, затруднение, которое мы отметили, исчезло бы,
если бы мы сумели сделать так, чтобы в предыдущее решение входили
только свойства, не изменяющиеся при инверсии, как-то: касание
двух окружностей, угол между двумя окружностями и т. д. Решение
Жергонна, действительно, можно видоизменить в этом направлении 1).

УПРАЖНЕНИЯ.

258. Провести через две точки окружность, которая пересекает данную

окружность под данным углом.
259. Построить окружность, ортогональную к двум данным окружностям
и касающуюся третьей данной окружности.
Более общая задача: построить окружность, ортогональную к двум данным
окружностям и пересекающую третью данную окружность под данным
углом.
260. Через точки А и В проведены две окружности, касающиеся одной
и той же окружности С, и третья окружность, которая пересекает С под
прямым углом. Показать, что эта последняя окружность делит на две равные
части угол между двумя первыми и что её центр есть один из центров
подобия.
261. Через точку А проведены две окружности, касающиеся (одинаковым
образом) двух данных окружностей, и третья, которая пересекает эти окружности
ортогонально. Показать, что эта последняя окружность проходит через
вторую точку В, общую двум первым окружностям, и обладает свойствами,
указанными в предыдущем упражнении.
262. Через точку А проведены две окружности, касающиеся двух данных
окружностей (как в предыдущем упражнении). Пусть Р и Q — точки их
касания с первой данной окружностью, точки Р1 и Qr — их точки касания
со второй.
1°. Окружности APQ и AP’Q’ касаются друг друга; они пересекают
третью окружность, о которой говорится в предыдущем упражнении, ортогонально
(доказать).
2°. Окружности APQ и BPQ (где В, как и в предыдущем упражнении; —
вторая общая точка окружностей АРР’ и AQQ’) взаимно обратны относи*)
См. Прибавление С в конце книги.

214 ЗАДАЧИ О КАСАНИИ ОКРУЖНОСТЕЙ.

тельно первой данной окружности; окружности AP’Q’ и BP’Q’ взаимно обратны
относительно второй окружности (доказать).
3°. Как изменятся эти предложения, если заменить данные окружности
прямыми линиями? Показать, что в этом случае четыре окружности APQ,
АР Q\ BPQ и BP’Q1 равны между собой.
263. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся
двух данных прямых; для этого построить произвольную окружность С,
касающуюся обеих прямых, и принять во внимание, что искомая окружность
должна быть гомотетична окружности С относительно точки пересечения
Р данных прямых.
264. Построить аналогичным способом (упр. 263) окружность, касающуюся
двух прямых и данной окружности. (Прямая, которая соединяет точку Р
с точкой касания, пересекает окружность С и данную окружность под одним
и тем же углом.)
265. Решить ту же задачу при условии, что прямые заменены двумя
концентрическими окружностями.
266. Две окружности, касающиеся друг друга, касаются каждая двух
данных окружностей. Найти геометрическое место точек, в которых они
касаются друг друга (первый способ п. 230 даёт условие, при котором общие
точки двух окружностей, касающихся каждая двух данных окружностей,
могут сливаться в одну).
267. Центры восьми окружностей, касающихся трёх данных окружностей,
лежат попарно на перпендикулярах, проведённых из радикального центра
к четырём осям подобия (доказать).
268. Через точку, лежащую внутри угла, провести секущую, образующую
со сторонами этого угла (не продолженными за вершину) треугольник,
имеющий наименьший периметр. (Использовать косвенный метод упр. 174
и упр. 90.)

215 ЗАДАЧИ О КАСАНИИ ОКРУЖНОСТЕЙ.

237—238. Теорема Птоломея. Случай точек, лежащих на одной прямой.

237. Теорема Птоломея. Произведение диагоналей вписанного
в круг четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных
сторон.
Пусть ABCD (черт. 204) — вписанный в круг четырёхугольник.
Преобразуем его путём инверсии, приняв точку А за полюс. Окружность
ABCD преобразуется в прямую, которая проходит через
точки В\ С, D\ обратные точкам В, С, D. Если точка С — вершина
данного четырёхугольника, противоположная вершине Л, то
точки В и D, а, следовательно, и точки Вг и Dr лежат по разные
стороны прямой АС; таким образом, точка Сг лежит между точками Вг
и /У, а потому (по абсолютной величине)
BrDr = B’Cr-f C f D \
Но если k — степень инверсии, то имеем (п. 218):
™ k

215 СВОЙСТВА ВПИСАННОГО ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА. ИНВЕРСОР ПОСЕЛЬЕ.

Подставляя эти значения в предыдущее равенство, умножая на
А В • А С • A D и деля на k y получим:
А С • B D = A D • В С + А В • C D .

237а. Предыдущее свойство характерно для вписанного четырёхугольника.
Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема. В четырёхугольнике, который не может быть
вписан в круг, произведение диагоналей меньше суммы произведений
противоположных его сторон (и больше их разности).
Пусть ABCD (черт. 205) — четырёхугольник, который не может
быть вписан в круг. Если мы повторим для этого четырёхугольника
предыдущее построение, то точки В\ С\ Df не будут лежать на
одной прямой и образуют треугольник.
Но найденные в предыдущем пункте значения для B f D \ ВТС\ CrDr
пропорциональны произведениям BD • АС, ВС • AD, CD • АВ\ таким
образом, каждое из этих произведений меньше суммы двух остальных.
A BCD D’ С’______________ В*
Черт. 206.

238. Равенство, выражаемое теоремой Птоломея, также справедливо
и доказывается таким же образом^ если четыре точки А,
В, С, Dy вместо того чтобы лежать на одной окружности, лежат на
одной прямой и следуют друг за другом в порядке: Л, В, С, D
(черт. 206). Итак, если четыре угочки лежат на одной прямой,
то произведение отрезков, которые частично заходят друг на
друга, равно сумме произведений отрезков, которые расположены
один вне другого и один внутри другого

216 СВОЙСТВА ВПИСАННОГО ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА. ИНВЕРСОР ПОСЕЛЬЕ. 

Принимая во внимание знаки, имеем, каков бы ни был порядок
четырёх точек на одной прямой/ соотношение:
AB-CD 4- АС • DB -f- AD • ВС = 0.
Это можно доказать, повторяя рассуждения п. 237; в самом деле
соотношения, которыми мы пользовались при доказательстве, верны,
как по абсолютной величине, так и по знаку (п. 218, примечание).

217 СВОЙСТВА ВПИСАННОГО ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА. ИНВЕРСОР ПОСЕЛЬЕ.

239. Вычисление хорды дуги а ± b по заданным хордам дуг

Задача. Зная хорды двух дуг круга радиуса R, найти
хорду дуги, равной сумме этих дуг или их разности.
Эту задачу нам пришлось решать в и. 174, чтобы вычислить
стороны различных правильных пятнадцатиугольников.

Черт. 207. Черт. 208.
1 °. Пусть дуги АВ и АС отложены в противоположных направлениях,
так что дуга ВАС служит их суммой (черт. 207). Проводим
диаметр А А’; получим:
AA’=2R; А ‘ В = / 4 R * — A B * ) А’С= /4tf2 — ЛС2.
Но вписанный четырёхугольник ABAC даёт:
ВС • А А = АВ • АТС + АС • А’В\
в этом равенстве всё известно, кроме ВС, а потому
_ ЛВ • ]АЯ2 — АС2 + АС • V4R2 — АВ2
ВС— 2 R
2°. Пусть дуги АВ и ЛСХ отложены в одном и том же направлении,
так что дуга ВСг является их разностью (черт. 207).
В данном случае вписанный четырёхугольник АВС\А’ даёт:
А!В • АСХ = АВ . А’Сг + ААГ • ВСи
откуда получаем:
_ л’в ’ АСг — АВ • АС1 _ ACi V4R* — АВ2 — АВ 1/4ДЯ — АС\
— АА — 2 R

240—240а. Отношение диагоналей вписанного четырёхугольника; вычисление
этих диагоналей и радиуса описанной окружности

240. Теорема. Диагонали вписанного в круг четырёхугольника
относятся между собой как суммы произведений сторон, ф
сходящихся в концах диагоналей.

217 Вычисление хорды дуги. 

Пусть ABCD (черт. 208) — вписанный четырёхугольник, диагонали
которого пересекаются в точке О.
Треугольники ОАО и ОВС подобны (п. 131) и дают:
О А AD QD
ОВ ВС ОС ’
что можно записать так:
ОА ОВ ОС OD
АВ • AD АВ — ВС ’ ВС • CD AD • CD *
Точно так же подобные треугольники ОАВ и ODC дают:
-О—А— -А—В— —— — ИЛИ —————О—А— — —-: ——O—D——-
OD CD АВ • AD AD • CD *
Это показывает, что четыре отношения:
ОА ОВ ОС OD
АВ • AD’ АВ — ВС’ ВС • CD’ AD • CD
равны.
Составляя отношение суммы предыдущих членов первого и
третьего отношений к сумме их последующих и поступая так же
со вторым и четвёртым отношениями, получаем:
AC BD
АВ • AD + BC • CD ‘ АВ • BC + AD • CD *
Д р у г о е д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть АВ = а, ВС = b, CD=c,
DA = d — четыре стороны четырёхугольника. Если изменять всевозможными
способами порядок сторон, то получим ещё четырёхугольники,
вписанные в тот же круг, так как сумма дуг, которым
соответствуют хорды а, b, с, d, каждый раз составляет полную окружность.
Ясно, что за первую сторону можно всегда принять сторону а,
так что имеем следующие перестановки:
abed,
acdb, abdc,
adbc, acbd.
Но две перестановки, стоящие в одной строке, дают тот же четырёхугольник:
например, в четырёхугольнике ABCD (черт. 209) порядок
сторон будет а, b, с, если читать их в порядке, указанном стрелкой,
и a, d, с, b, если читать в обратном направлении. Таким образом,
остаются три сочетания: abed, acdb, adbc, которым соответствуют
три четырёхугольника ABCD, ABEF, ABGH. Дуги ЯР и ЛС равны
как суммы равных дуг; точно так же равны дуги ВН и ЛЯ, дуги ШЗ
и ЛО; три четырёхугольника имеют только три различные диагонали:
_ AC=BF=x, BD=AG=y, A E — B H — z ; применяя теорему Птоло-
мея к четырёхугольникам ABEF и ABQH, имеем хг = ad -f- be;

218 Вычисление хорды дуги. 

yz = ab-\-cd\ отсюда, разделив одно равенство на другое, получаем
искомое отношение.

240а. Задана. Вычислить диагонали х и у вписанного четырёхугольника,
стороны которого равны а, b, с, d.
Известно произведение диагоналей:
ху = ас-1- bd
и их отношение:
х ad-\-bc
у ab-\- cd *
Перемножая почленно эти два равенства, имеем:
2 (аС + Щ (ad + Ьс)
» ab + cd
и аналогично получаем у2.

Задача. Зная стороны а, с, d вписанного четырёхугольника, вши-
слить радиус описанного круга.
В треугольнике (черт. 209, первый) радиус описанного круга
определяется (пп. 130, 130а) по формуле
__ аЧ* • BD2
* ”~[(я + </)2 — ££>2] [££>2 — (а — tf)2]’
Заменяя BD найденным значением, получим:
( а 4- d f — B D 2 = (а + — («Д + b d ) { a b + c d ) _
‘ ‘ ‘ ad-\-bc
_ a d [ ( a + d ) 2 — ( b — c Y ] _ a d ( а + d + Ъ — с ) ( а + d + с — Ь )
ad-\-bc ad-\-bc 9
(а d)2 — а(* (b с -{- а — d) (b с -f- d — а)
1 ‘ ad-\-bc
Таким образом,
_ (ас -(- bd) (ab -f- cd) (ad -f- be)
H “ (b + c + d — a ) { c + d + a — b ) ( d + b + a — c ) ( b + a + c — d ) ’
это выражение не зависит от порядка сторон в соответствии с замечаниями,
сделанными выше (п. 240).

219 Вычисление хорды дуги. 

Обозначая через р полупериметр (2р = а -|- Ъ -}- с -f- d), можно записать
это выражение ещё так:
_ (ас -f- bd) (ab -f- cd) (ad -f be)
16 (p — a)( p — b) (p — c) (p — d)’

220  Вычисление хорды дуги. 

241. Инверсор Поселье. Теорема.

Пусть MPM’Q — ромб; О —
точка, для которой OP—OQ (черт. 210). Предположим, что ромб
шарнирный (п. 46а) и что (равные) длины ОР и OQ постоянны,
а точка О остаётся неподвижной. Если соблюдаются эти условия,
то точки М и МТ описывают две взаимно обратные фигуры.
Действительно, точки М, Мг, О, находящиеся на равных расстояниях
от точек Р и Q, лежат прежде всего на одной прямой — на перпендикуляре
к отрезку PQ, проходящем

через его середину. Опишем теперь,
приняв точку Р за центр, окружность,
которая пройдёт через точки М
и М!. Произведение ОМ-ОМ1 будет
равно степени точки О относительно
этой окружности, т. е равно ОР2 —
— Р^М\ следовательно, оно постоянно.
Таким образом теорема доказана.
Эта теорема позволяет решить
вопрос, который представляет собой
некоторый теоретический, если
не практический, интерес.
Из самого определения инструмента, служащего для проведения
окружностей — циркуля, следует, что этот прибор будет точным, если
оба острия остаются на постоянном расстоянии друг от друга, т. е.
если имеется достаточное трение в его головке.
В противоположность этому линейка будет точной только в том
случае, если её край — прямая линия: это осуществляется только
приближённо с большей или меньшей точностью, в зависимости от
тщательности её изготовления.
Возможно ли построить прямую линию, не имея в своём распоряжении
такой линейки и опираясь лишь на свойства неизменяемых *)
фигур? Это-то построение и позволяет осуществить следующий прибор,
принадлежащий П о с е л ь е . В самом деле, предположим, что OP, OQ,
PM, PMr, QM, QMr — шесть твёрдых стержней2), соединённых друг
с другом с помощью шарниров, и что точка О неподвижна. При этом
точки М и М! необходимо будут взаимно обратны относительно точки О.
Заставим точку М описывать окружность, соединив ее седьмым твёрдым
стержнем с неподвижной точкой S (черт. 210). Если эта окруж*)
Причём неизменяемыми фигурами (в смысле, указанном в п. 3) будут
отдельные части описываемого далее инструмента. Прим. ред. перевода.
2) Мы изобразили на чертеже 210 стержни OP, OQ и т. д. прямыми линиями;
однако вовсе не обязательно, чтобы они были прямолинейными.
Требуется только, чтобы, например, точки Р и Q так или иначе оставались
на постоянном расстоянии одна от другой.

220  Инверсор Поселье. 

ность проходит через точку О (т. е. если S7kT = SO), то точка М’
описывает прямую линию (п. 2 2 0 ).

241а. Инверсор Гарта. Теорема.

Пусть ABCD (черт. 211) —
антипараллелограмм (п. 46а, примечание 2°), образованный непараллельными
сторонами и диагоналями равнобедренной трапеции; О,
М, М!— точки, в которых стороны АВ, AD, ВС пересекаются
с одной и той же прямой, параллельной основаниям трапеции. Если
этот антипараллелограмм—
шарнирный, причём
общая длина а сторон
А В и CD и также
общая длина b сторон ВС
и AD остаются постоянными,
и точки О, М, М!
неизменно связаны с этими
сторонами (т. е. длины
АО, AM, ВМГ также
остаются постоянными по
величине и по знаку);
если, наконец, точка О
неподвижна, то точки М
иМ! описывают фигуры, взаимно обратные относительно точки О.
Мы знаем (п. 46а), что данный четырёхугольник останется антипараллелограммом.
С другой стороны, прямые ОМ и ОМ’, параллельные по условию
основаниям трапеции в первоначальном положении фигуры, будут всё
время оставаться им параллельными. Действительно, параллельность
этих прямых выражается соответственно следующими пропорциями:
AM
AD
АОи ВМ’ ВО
АВ В С АВ ’
эти пропорции останутся неизменными по условию.
В частности, мы видим, что точки О, М, М’ остаются на одной
прямой.
Доказав это, предположим предварительно, что не только точка О,
но и вся сторона А В неподвижна. Точки М и Мг опишут окружности
соответственно с центрами А и В и радиусами AM и ВМ! — MD.
Так как отношение этих радиусов равно отношению О А к ОВ, то
гочкаОбудетцентром подобия обеих окружностей. Поскольку радиусы
обеих окружностей, проведённые в точки М и Мг, не параллельны
между собой, эти две точки (п. 223), антигомологичны и, следовательно,
взаимно обратны. Таким образом, произведение ОМ • ОМ’
остаётся постоянным, если деформировать антипараллелограмм, сохраняя
неподвижными точки А к В.
Так как это произведение не изменяется также при вращении всей
фигуры около точки О, то теорема доказана.

221 Инверсор Поселье. 

Следствие. Если соединить точку М с некоторой неподвижной
точкой S твёрдым стержнем, длина которого равна SO, то точка
М! опишет прямую линию.
П р и м е ч а н и е . Произведение оснований АС и BD трапеции
остаётся постоянным при деформации: в самом деле, основание BD
сохраняет постоянное отношение —1 А=В к отрезку ОМ, а основание
АС — постоянное отношение 1 В А к отрезку ОМ\

УПРАЖНЕНИЯ.

269. Доказать теорему, обратную теореме, приведённой в упражнении 99:
если в плоскости равностороннего треугольника ABC выбрана такая точка М,
что МА = MB -f- МС, то эта точка лежит на описанном круге. В противном
случае имеем: МА<.МВ -\~ МС.
270. Если повторить доказательство пп. 237 и 237а, начав не с вершины
А четырёхугольника ABCD, а с другой вершины, то получится другой
треугольник, аналогичный треугольнику B’C’D\
1°. Доказать, что все такие треугольники подобны.
2°. Вычислить углы какого-либо одного из этих треугольников, если
известны углы, которые образуют между собой стороны и диагонали данного
четырёхугольника.
3°. Доказать, что можно получить треугольники, подобные предыдущим,
опуская из одной из вершин А, В, С, D перпендикуляры на стороны треугольника,
образованного тремя другими, или иначе, соединяя точки В и D
между собой и с третьей вершиной Е треугольника AED, подобного треугольнику
ABC и имеющего с ним одинаковое направление вращения,
в котором стороной, соответствующей стороне АС, будет отрезок AD.
4°. Доказать, что форма предыдущих треугольников не изменяется, за
исключением направления вращения, если подвергнуть четыре точки А, В,
С, D одной и той же произвольной инверсии, другими словами, доказать,
что если повторить для преобразованных точек то же построение, как и
для точек А, В, С, D, то получились бы треугольники, подобные первоначальным.
5°. Обратно, если два четырёхугольника ABCD и А^В^Сф^ таковы, что
треугольники, образованные в каждом из них с помощью построений, указанных
выше, между собой подобны, то существует (за исключением того
случая, когда четырёхугольники ABCD и AiB^C^D^ подобны) инверсия, которая
преобразует точки А, В, С, D в другие четыре точки, образующие
четырёхугольник, равный четырёхугольнику A1B1C1D1 (доказать). Определить
эту инверсию.
270а. Найти инверсию, которая преобразует три данные точки в другие
три точки, которые образуют треугольник, равный данному треугольнику.
271. Прибор Поселье также достигал бы своей цели, если бы шарнирный
четырёхугольник MPM’Q не был ромбом и имел бы попарно равные
между собой стороны МР = М’Р и M Q ~ M ‘ Q и если, кроме того,
О Р 2 — O Q 2 = М Р 2 — M Q 2 (доказать).
271а. В инверсоре Гарта вычислить степень получаемой инверсии, зная
стороны а и b антипараллелограмма, а также отношения h и h ‘ = 1 — h . Вычислить
произведение оснований трапеции, зная а и Ъ .

222 Инверсор Поселье. 

ЗАДАЧИ К ДОПОЛНЕНИЯМ К ТРЕТЬЕЙ КНИГЕ.

272. Радикальная ось и центр подобия делят отрезок, соединяющий две
какие-либо антигомологические точки, в постоянном сложном отношении
(доказать).
273. Сложное отношение четырёх точек окружности равно сложному
отношению точек, им обратных, лежащих на окружности (или прямой),
обратной первой (доказать).
274. Сложное отношение четырёх точек окружности можно получить,
разделив друг на друга произведения противоположных сторон четырёхугольника,
образованного этими точками, или одно из этих произведений на
произведение диагоналей (доказать).
275. Найти инверсии, преобразующие две данные окружности в две
равные окружности.
Преобразовать три данные окружности в три равные окружности с помощью
одной и той же инверсии.
276. Даны три окружности. Если провести для данных окружностей,
взятых попарно, три окружности Г (п. 228), т. е. три окружности, инверсии
относительно которых преобразуют данные окружности, взятые попарно,
одну в другую, выбрав эти три окружности так, чтобы их центры лежали
на одной прямой, то эти три окружности имеют одну и ту же радикальную
ось (доказать).
277. Найти геометрическое место полюсов инверсий, с помощью которых
можно преобразовать две данные окружности в две другие так, что
первая разделит вторую на две равные части, или общее так, что первая
из преобразованных окружностей отсекает на второй окружности дугу,
соответствующую центральному углу данной величины.
278. Доказать, что отрезки, образованные двумя окружностями на некоторой
прямой, видны из одной из их предельных точек (упр. 152) под
углами, имеющими одну и ту же биссектрису (или взаимно перпендикулярные
биссектрисы). Рассмотреть случай, когда прямая касается одной из
окружностей.
279. Доказать теорему Паскаля (п. 196), построив три окружности, которые,
взятые попарно, имеют своими центрами подобия точки пересечения
противоположных сторон шестиугольника (каждая из этих окружностей
проходит через две противолежащие вершины).
280. Построить окружности, касающиеся трёх данных окружностей,
используя упражнение 253.
281. Вокруг точки, лежащей в плоскости круга, вращается прямой угол;
в точках, в которых стороны этого угла пересекают окружность, проведены
к окружности касательные. Найти геометрическое место вершин образованного,
таким образом, четырёхугольника (линия, обратная геометрическому
месту, полученному в задаче 201).
282. Четырёхугольник ABCD описан около окружности о и вписан
в окружность О. Пусть а, Ъ, с, d — точки касания его четырёх сторон с окружностью
о. Доказать, что:
1°. точка Р, в которой пересекаются диагонали четырёхугольника ABCD
и в то же время (упр. 239) четырёхугольника abed, является предельной
точкой окружностей о и О (упр. 241, 2°).
2°. диагонали четырёхугольника abed служат биссектрисами углов, образованных
диагоналями четырёхугольника ABCD (задача 278).
3°. окружность О совпадает с окружностью, которую мы получили бы
в предыдущей задаче (задача 281), если бы мы исходили из окружности о
и точки Р.
4°. заключить отсюда, что если даны две окружности, то в общем случае
нельзя вписать в одну из них четырёхугольник, описанный около другой.
Чтобы эта задача была возможна, необходимо, чтобы имело место
определённое соотношение между расстояниями центров данных окруж*

223 Инверсор Поселье. 

ностей и их радиусами. Но если это соотношение выполнено, то существует
бесконечное множество четырёхугольников, удовлетворяющих условию
задачи.
283. Если треугольник тупоугольный, то существует окружность
(и только одна), относительно которой каждая вершина этого треугольника
является полюсом противолежащей стороны; центром этой окружности
служит точка пересечения высот треугольника (доказать). Эта окружность
и треугольник называются сопряжёнными друг с другом.
284. Чтобы существовал треугольник, вписанный в данную окружность
и сопряжённый с другой данной окружностью, необходимо, чтобы квадрат
радиуса второй окружности был равен половине степени её центра относительно
первой окружности. Если это условие выполнено для двух пересекающихся
окружностей, то существует не один, а бесконечное множество
треугольников, обладающих одновременно обоими требуемыми свойствами
(доказать, использовав упр. 70).
285. Даны три окружности, которые попарно пересекаются; рассмотреть
криволинейный треугольник, сторонами которого служат соответственно три
дуги этих трёх окружностей, а вершинами — точки пересечения этих окружностей,
взятых попарно, причём этот треугольник выбран так, что на его
контуре не имеется других точек пересечения. Доказать, что сумма внутренних
углов этого треугольника меньше или больше двух прямых (2d), в зависимости
от того, существует или не существует окружность, пересекающая
данные три окружности под прямым углом *).
286. Чтобы какой-либо четырёхугольник был вписанным, необходимо и
достаточно, чтобы точки В\ С’, D1 (п. 237), обратные трём вершинам Ву С, D
относительно четвёртой вершины А, лежали на одной прямой; из этого
последнего условия можно вывести все свойства вписанного четырёхугольника.
Вывести, в частности, теорему об отношении диагоналей (применение
теоремы Стюарта, п. 127).
*) См. Прибавление А, п. 290.

224 Инверсор Поселье. 

ЗАДАЧИ О КАСАНИИ ОКРУЖНОСТЕЙ