ГЛАВА V . ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ФИГУРЫ.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ФИГУРЫ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
214. Определение.
Если выбраны точка О — полюс инверсии
(черт. 196 и 196а) и число k — степень инверсии, то точка М!
прямой ОМ называется обратной (или преобразованной обратными
радиусами-векторами) точке М при условии, что
OM-OM!=k.
X ОМ! = к, О М ‘ О М \ — къ разделив одно на другое, получим:
ом; _kt
ОМ! ~~ k’
что и доказывает теорему.
Мы видим, что выбор степени инверсии не влияет на форму
полученных фигур. Эта форма изменяется только при изменении
полюса инверсии.
216. Если степень инверсии k положительна,
то можно описать
окружность с центром в полюсе и радиусом, равным j/ k (черт. 196).
Эта окружность, задание которой, очевидно, достаточно для определения
преобразования, называется окружностью инверсии (или
кругом инверсии); она представляет собой геометрическое место
точек, которые совпадают с точками, им обратными.
Две взаимно обратные точки сопряжены относительно окружности
инверсии и лежат на прямой, проходящей через центр этой окружности.
Всякая окружность, проходящая через две взаимно обратные
точки, пересекает окружность инверсии под прямым углом
(п. 135). Обратно, если две точки М и МТ таковы, что всякая
окружность, проходящая через эти две точки, пересекает под
прямым углом данную окружность, то эти точки взаимно об-
ратны относительно последней.
Если две точки симметричны относительно прямой, то всякая
окружность, проходящая через эти две точки, пересекает эту прямую
под прямым углом, так как она является q
диаметром. Это позволяет нам рассматривать
симметрию относительно прямой,
как предельный случай инверсии, если окружность
инверсии — прямая линия и полюс,
следовательно, лежит в бесконечности 1).
217. Две какие-либо точки А и В (черт.
197) и точки А! и Вг, им обратные, лежат
всегда на одной и той же окружности
(п. 131а).
Отсюда следует (п. 82), что угол, Черт. 197.
образуемый хордой АВ с радиусом-вектором
ОАА\ равен углу, образуемому хордой АТВГ с радиусом-
вектором ОВВг (черт. 197), но имеет противоположное направление.
х) Обратно, так как симметрия относительно прямой называется также
отражением от этой прямой, то в более общем смысле и инверсия относительно
окружности часто также называется отражением; взаимно обратные
точки М и М’ называются симметричными относительно окружности.
201 ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ФИГУРЫ.
Это свойство позволяет найти направление хорды А’В’} если
известны направления хорды АВ и радиусов-векторов.
Это направление АТВТ называется антипараллельным направлению
АВ относительно угла АОВ\ оно параллельно направлению, симметричному
с АВ относительно биссектрисы угла АОВ, так как в этой симметрии
прямой О А соответствует прямая ОВ и угол АОВ преобразуется
в равный ему угол, имеющий противоположное, направление.
218. Задача, Зная расстояние между двумя точками А и В и
их радиусы-векторы, найти расстояние между обратными им
точками АТ и В’.
Подобные треугольники ОАВ и ОВгАт (черт. 197) дают:
А’В’ ВА
О А ОВ •
Определив отсюда А’В’ и заменив О А! через
А’В’ = ВА
А
О A ’ получим:
О А • ОВ
П р и м е ч а н и е . Предыдущее рассуждение не применимо в том
случае, если точки А и В лежат на одной прямой с полюсом, но
результат сохраняет силу и будет верным не только по величине,
но и по знаку (если на их общем радиусе-векторе выбрано положительное
направление). В этом можно убедиться, заменяя ATBf
и В А соответственно через ОВ’• O A -m-<7 A “ O A — O B —
202 ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ФИГУРЫ.
219. Теорема. Касательные в соответственных точках двух
взаимно обратных кривых образуют с общим радиусом-вектором
точек касания углы, равные между собой, но
имеющие противоположные направления.
Пусть А (черт. 198) — точка кривой С, Л’ —
соответственная точка обратной кривой С’. Пусть
М— точка кривой С, близкая к точке А, М!—
точка, ей обратная. Проводим к окружности,
проходящей через точки Л, А\ М, Мг (п. 217),
касательные АХ и А’Х’. Если точка М неограниченно
приближается к точке Л (и, следовательно,
точка М! к точке Л’), то углы АА’М и
А!AM’ стремятся к нулю, и то же самое будет
с равными им углами МАХ и М’А’Х’.
Поэтому, если прямая AM стремится занять
предельное положение АТ, то и АХ стремится
к тому же предельному положению. Вследствие
этого прямая А’Х’ займёт предельное положение
А’Т’, образующее с радиусом-вектором ОАА’
угол такой же величины, как и прямая АТ, но противоположного
направления; наконец, так как угол М’А’Х’ стремится к нулю, то
и прямая А’М’ тоже стремится к А’Т’.
202 Касательные.
Следствие. Касательные в соответственных точках двух взаимно
обратных кривых симметричны относительно прямой, перпендикулярной
к отрезку, соединяющему точки касания, и проходящей
через его середину.
П р и м е ч а н и е . Всё предыдущее, очевидно, остаётся справедливым,
если инверсия обращается в симметрию относительно
прямой.
Теорема. Две кривые пересекаются под тем же углом, как
и обратные (или симметричные) им кривые, если не учитывать
направления углов.
Действительно, угол, образованный касательными к двум кривым
в их общей точке Л, и угол, образованный касательными к обратным
кривым в соответствующей точке Л’, симметричны относительно
перпендикуляра, восставленного в середине отрезка АА!.
Следствие. Если две кривые касаются, то то же самое имеет
место для кривых, им обратных.
220. Фигура, обратная прямой линии.
220. Теорема. Фигура, обратная прямой линии, есть окружность,
проходящая через полюс инверсии.
Пусть XY (черт. 199) — данная прямая, для которой мы ищем
обратную фигуру, и точка О — полюс инверсии. Возьмём какую-либо
определённую точку Л, обратная которой — точка Аг. Пусть теперь
М — произвольная точка прямой ХУ,
и точка М!— точка, ей обратная.
Угол между прямыми РА!А! и ОМ!
равен углу между AM и О А, но противоположного
направления; следовательно,
этот угол остаётся постоянным,
если точка М перемещается по прямой,
и геометрическое место точек Мг
есть окружность, проходящая через
точки О и Л’, что и требовалось доказать.
В частности, мы можем принять Черт. 199.
за точку Л точку Н, проекцию точки
О на прямую ХУ) обозначим через Нг точку, ей обратную.
Угол ОМгНг будет в этом случае прямой, и мы видим, что касательная
в точке О к окружности, обратной данной прямой,
параллельна этой прямой, причём диаметр окружности равен —,
где k — степень инверсии и Ь — расстояние ОН полюса инверсии
до прямой.
П р и м е ч а н и е . Предыдущее рассуждение предполагает, что
прямая не проходит через полюс инверсии; в противном случае она
сама себе соответствует.
Следствие. Фигура, обратная окружности, проходящей через
полюс инверсии, есть прямая. Эта прямая перпендикулярна к диаметру,
проходящему через полюс инверсии, и проходит через точку,
203 Касательные.
обратную той точке окружности, которая диаметрально противоположна
полюсу.
221. Фигура, обратная произвольной окружности.
221. Теорема. Фигура, обратная окружности, не проходящей
через полюс инверсии, есть также окружность.
1°. Если степень инверсии k равна степени р полюса инверсии
относительно данной окружности, то последняя сама себе соответствует,
и точки пересечения её с какой-либо секущей, выходящей
из полюса, будут, очевидно, попарно взаимно обратны.
2°. Если степень инверсии k произвольна (черт. 200), то обратной
фигурой будет окружность, гомотетичная данной (п. 215); центром
подобия будет полюс инверсии, а коэффициентом подобия —
величина —k .
222. Взаимно обратные окружности.
222. Обратно, две произвольные окружности С и С’ (черт. 200)
можно рассматривать как взаимно обратные друг другу и притом
двумя различными способами, поскольку их можно рассматривать
как гомотетичные двумя различными способами. Полюс инверсии
будет при этом центром подобия, а степень инверсии равна
степени полюса относительно одной из данных окружностей, умноженной
на соответственный коэффициент подобия
Эти две инверсии — единственные, которые преобразуют данные
две окружности одна в другую. Действительно, если эти окружности
взаимно обратны относительно некоторого полюса S, то они
гомотетичны относительно точки 5, так как одна из них обратна
самой себе относительно этого полюса.
204 Касательные.
223. Пусть некоторая секущая, выходящая из центра подобия S,
пересекает окружность С в точках М и N и окружность С’ —
в точках Мг и N’ (черт. 200), так что точка Мг есть точка, соответственная
точке М, и точка Nr— точке N, если рассматривать
окружности как гомотетичные фигуры. При этом в силу предыдущего
рассуждения взаимно обратными точками будут, с одной стороны,
М и Nr, с другой,—№ и N. Эти точки называются также
антиго мо логичны ми точками.
Единственными точками, одновременно соответственными и анти-
гомологичными, являются точки прикосновения общих касательных,
выходящих из точки 5.
Общие точки двух окружностей, если такие точки существуют,
сами себе антигомологичны.
Хорда, антигомологичная хорде одной окружности, есть хорда
другой окружности, соединяющая точки, соответственно антигомо-
логичные концам первой хорды.
224. Две пары антиго мо логичных точек
Лежат на одной окружности
(п. 217) и, следовательно, две антиго мо логичные хорды
пересекаются на радикальной оси (п. 139).
Кроме того, две антиго мо логичные хорды двух окружностей
пересекают поляры центра подобия относительно обеих окружностей
в двух соответственных точках. Действительно, хорда NrP\
антигомологичная хорде MQ (черт. 2 0 0 ), будет соответственной
хорде NP, которая пересекает хорду MQ в некоторой точке /,
лежащей на поляре точки S относительно окружности С (п. 2 1 1 ),
и соответственная ей точка /’ есть точка пересечения хорды N r P f
с полярой точки 5 относительно окружности С.
Эти два свойства позволяют построить хорду, антигомологичную
данной хорде, не строя концов этих хорд.
Эти два свойства применимы, конечно, к касательным в антиго-
мологичных точках, так как эти касательные представляют собой
предельный случай указанных хорд.
П р и м е ч а н и е . Если обе окружности сливаются в одну (случай
1 °, п. 2 2 1 ), то хорды M Q и NP, соединяющие — одна какие-либо
две точки, другая — точки, им обратные, пересекаются на поляре полюса
инверсии S. Следовательно, с этой точки зрения поляра точки S
играет роль радикальной оси двух слившихся окружностей, если
их рассматривать как взаимно обратные относительно полюса 5.
225. Если две окружности равны,
то внешний центр подобия
лежит в бесконечности и соответствующая гомотетия обращается
в поступательное перемещение, а соответствующая инверсия —
в симметрию; однако свойства антигомологичных точек остаются
при этом теми же, что и в общем случае.
226. Прямую и окружность
можно рассматривать как две взаимно
обратные фигуры и притом двумя различными способами.
Полюсами инверсии (п. 220) будут концы диаметра, перпендикулярного
к этой прямой. Свойства антигомологичных точек позво
205 Антигомологические точки и хорды.
ляют, следовательно, рассматривать концы этого диаметра как центры
подобия окружности и прямой. Одной из двух антигомологичных
хорд будет данная прямая; следовательно, и в этом случае можно
сказать, что эти две хорды пересекаются на радикальной оси в силу
п. 158 (построение 12, примечание).
Наконец, две прямые симметричны друг с другом двумя различными
способами, причём осями симметрии служат биссектрисы углов,
образованных этими прямыми. Антигомологичными хордами будут
тогда эти самые прямые и они пересекаются в одной и той же точке.
Окружности, пересекающие две данные окружности под
одним и тем же углом
227. Если даны две взаимно обратные окружности, то всякая
окружность Е, проходящая через две антигомологичные точки,
обратна самой себе, так как степень полюса инверсии относительно
этой окружности равна степени инверсии.
Эта окружность пересекает, следовательно, две данные окружности
под одним и тем же углом, и если она касается одной
окружности, то она касается и другой.
Обратно, всякая окружность Е, которая пересекает две
окружности С и СТ (черт. 201) под одним и тем же углом, пересекает
их в четырёх попарно антигомологичных точках.
Действительно, пусть А и В, Лг и Вг — четыре точки пересечения,
выбранные таким образом, что равные (по условию) углы, образуемые
окружностями С и Е в точке А, с одной стороны, и окружностями
С и £ в точке А\ с другой стороны, имеют противоположное направление;
то же самое относительно точек В и В\ Если точка 5 —
точка пересечения АА! и ВВГ и k — степень этой точки относительно
окружности Е, то инверсия с полюсом 5 и степенью k не
изменяет Е; она преобразует А в А!, В в ВТ\ следовательно, она
преобразует окружность С в некоторую окружность, которая проходит
через точки Ат и Вт и касается окружности С’ в точке Аг
(по условию и в силу п. 219), т. е. в окружность, совпадающую
с окружностью С’ (п. 90, построение 13).
Это заключение остаётся в силе, когда окружность £ касается
окружностей С и С\ Чтобы убедиться в этом, достаточно повторить
предыдущее рассуждение, принимая за точку 5 — точку пересе
206 Антигомологические точки и хорды.
чения прямых ААГ и ВВ\ где точки А и Аг — точки касания, В и
Вг — соответственно вторые точки пересечения окружностей С и С’
с какой-либо окружностью, проходящей через точки А и Аг (черт. 201).
В последнем случае, впрочем, предыдущее положение вытекает из
теоремы п. 144; действительно, точки касания служат центрами подобия:
одна для окружностей Е и С, другая для окружностей Е
и С’; следовательно, они лежат на одной прямой с центром подобия
5 окружностей С и С’, Таким образом, мы убеждаемся, кроме
того, что 5 будет внешним центром подобия, если окружность Е
касается обеих окружностей одинаковым образом1), и внутренним—
в противном случае.
Конечно, приведённые выше рассуждения остаются в силе, если
одна из окружностей С или С’, или они обе, или окружность Е
заменяются прямыми линиями.
227а. Если бы окружность Е пересекала окружности С и С’
под прямым углом, то можно было бы произвольно рассматривать
точки пересечения как попарно антигомологичные друг другу, так
как прямые углы можно всегда рассматривать как равные и имеющие
противоположное направление (если в случае надобности заменить
одну из сторон её продолжением). Итак, окружность, которая
пересекает окружности С и С’ под прямым углом, соответствует
сама себе как в одной, так и в другой инверсии, преобразующей
окружность С в окружность С’.
228. Если инверсия, которая имеет полюсом точку 5
и преобразует
окружности С и С’ одну в другую, имеет окружность инверсии,
то эта окружность инверсии Г пересекает окружность Е под
прямым углом, так как степень точки 5 относительно Е равна степени
инверсии.
Это свойство соответствует свойству биссектрис углов между
двумя прямыми. Действительно, эти последние образуют геометрическое
место центров окружностей, касающихся двух прямых; это сводится
к тому, что какая-либо одна из этих окружностей пересекает
ту или другую из биссектрис под прямым углом. Здесь мы убеждаемся,
что любая окружность Е, касательная к окружности С и
к окружности С, или, общее, любая окружность Е, которая пересекает
окружности С и С’под одним и тем же углом, пересекает под
прямым углом окружность Г или аналогичную окружность, имеющую
своимцентром второй центр подобия (если эти окружности существуют).
Окружность Г существует всегда, если окружности Си С’ пересекаются:
в этом случае она проходит через точки их пересечения.
В общем случае, если она существует, она имеет с окружностями
С и С’ одну и ту же радикальную ось, так как эти три окружности
имеют (см. предыдущий пункт) один и тот же ряд ортогональных
окружностей.
*) Т. е. обеих окружностей внутренним образом или обеих внешним
образом.
207 Антигомологические точки и хорды.
УПРАЖНЕНИЯ — ЗАДАЧИ О КАСАНИИ ОКРУЖНОСТЕЙ.
242. Если две точки взаимно обратны относительно окружности, то их
расстояния до какой-либо точки этой окружности находятся в постоянном
отношении (доказать).
243. Показать, что в том случае, когда данная окружность пересекает
данную прямую в некоторой точке /, можно привести упражнение 68 к упражнению
65, пользуясь инверсией с полюсом в точке /.
244. Через общую точку А двух окружностей проведены две секущие
АММ1 и ANN’, которые пересекают первую окружность в точках М и N
и вторую — в точках М1 и NK Окружности AMNг и ANMr пересекаются
в точке Лив некоторой второй точке; найти геометрическое место этой
второй точки при условии, что обе секущие принимают независимо друг
от друга всевозможные положения, вращаясь около точки А.
245. Окружности, обратные окружностям, имеющим общую радикальную
ось, имеют также общую радикальную ось (доказать).
246. Преобразовать путём инверсии определение окружности (п. 7).
Таким образом, получается теорема п. 116.
247. Построена окружность, обратная данной окружности относительно
данного полюса инверсии. Найти точку, обратную центру новой окружности.
248. Преобразовать две данные окружности (не имеющие общей точки)
в две концентрические окружности путём одной и той же инверсии.
249. Даны три точки на одной прямой; найти на той же прямой четвёртую
точку — такую, что инверсия относительно этой точки преобразует три
данные точки в три точки, одна из которых делит пополам отрезок, образованный
двумя другими.
250. Две фигуры преобразованы одна в другую с помощью инверсии 5.
Обе эти фигуры подвергают одной и той же инверсии Т. Показать, что
новые фигуры, таким образом полученные, — также фигуры взаимно обратные,
и найти новый полюс инверсии. В частности, исследовать случай, когда
степень инверсии 5 положительна (в этом случае новая окружность инверсии
получается из окружности инверсии 5 с помощью инверсии Т).
251. К данной фигуре А применяют инверсию S, которая преобразует
её в фигуру В, затем применяют к последней инверсию Sf, которая преобразует
её в фигуру А1. Ограничимся случаем, когда степени инверсий 5 и
Sr положительны.
1°. Показать, что можно с помощью инверсии Г, надлежащим образом
выбранной, преобразовать фигуры А и А1 или в две гомотетичные, или в две
равные; при этом эти две возможности взаимно исключают друг друга *).
2°. Показать, что можно найти бесчисленным числом способов пару
инверсий Si и S/, равносильных паре 5 и S’, т. е. таких, что инверсии Si и
Sif, выполненные одна после другой над фигурой А (подобно тому как
раньше были выполнены инверсии 5 и S’), приводят к той же окончательной
фигуре Аг. В частности, всегда можно заменить две данные инверсии
инверсией, которой предшествует или за которой следует симметрия, за
исключением только одного случая (а именно, когда фигуры А и А1 подобны).
3°. Выяснить, в каком случае фигуры, полученные из А и А’ с помощью
инверсии Ту определённой в 1°, получаются одна из другой путём поступательного
перемещения.
4°. Выяснить, что произойдёт, если выполнить несколько раз подряд
последовательно операции S и Sr (т. е. если преобразовать фигуру А1 с по*)
За исключением случая, указанного в 3°, который можно рассматривать
как предельный случай для обеих возможностей, так как поступательное
перемещение можно рассматривать как предельный случай гомотетии.
208 Антигомологические точки и хорды
мощью инверсии 5 в фигуру В1, последнюю с помощью инверсии Sr в фи-
гуру Л», эту с помощью инверсии 5 в фигуру Вгг> затем преобразовать последнюю
с помощью S’ в А'» и т. д.). Может ли случиться, что в конечном
счёте получится снова первоначальная фигура Л?
252. Выполнены последовательно (как в предыдущем упражнении) некоторые
инверсии Su S2, Ss и т. д. Показать (ограничиваясь случаем, когда
степени инверсий положительны), что эту последовательность операций
можно заменить одной инверсией, которой предшествует или за которой
следует одна, две или три симметрии, если только первоначальная и окончательная
фигуры не будут подобными (упр. 251, 2° и упр. 95).
253. Предположим, что число инверсий 5Ь S2, S3, … (предыдущее упражнение)—
число нечётное. Найти точку, которая возвращается в первоначальное
положение с помощью этих операций, выполненных в последовательном
порядке.
253а. Вписать в круг многоугольник, стороны которого проходят соответственно
через данные точки или параллельны данным прямым.
254. На данной касательной к некоторой окружности откладывают от
точки касания Т два переменных отрезка ТМ и ГАГ, произведение которых,
однако, постоянно. Пусть Г’ — точка данной окружности, диаметрально противоположная
точке Т.
1°. Показать, что если соединить между собой точки пересечения прямых
ТГМ и TrN с данной окружностью, то полученная, таким образом,
прямая проходит через определённую неподвижную точку.
2°. Решить ту же задачу для прямой, которая соединяет между собой
точки прикосновения вторых касательных, проведённых к данной окружности
через точки М и N (приводится к предыдущему).
3°. Найти геометрическое место точек пересечения этих вторых касательных.
255. Через точку О, взятую в плоскости некоторой окружности, проведена
секущая, которая пересекает окружность в точках М и N. Окружности,
диаметрами которых служат соответственно отрезки ОМ и ON, пересекают
второй раз данную окружность в точках Мг и N’. Найти геометрическое
место точек пересечения прямых MN и M’N’, если секущая вращается
около точки О.
256. Все окружности, пересекающие две данные окружности А и В под
данными углами, образуют два таких семейства, что какая-либо окружность
С, имеющая с А и В общую радикальную ось, пересекает все окружности
одного и того же семейства под одним и тем же углом (доказать).
257. На данных двух отрезках АВ и CD одной и той же прямой построены
дуги, вмещающие один и тот же угол. Если изменяется этот угол,
найти:
1°. геометрическое место середин общих хорд тех окружностей, к которым
принадлежат эти дуги;
2°. геометрическое место точек пересечения тех же окружностей, иначе
говоря, геометрическое место точек, из которых отрезки прямой АВ и CD
видны под равными углами или под пополнительными углами.
209 Антигомологические точки и хорды.
Околоadmin
