ГЛАВА IV . ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОКРУЖНОСТИ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОКРУЖНОСТИ

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

204. Теорема. Если через точку а, взятую в плоскости круга,
провести произвольную секущую, пересекающую окружность
в точках М и N, то геометрическое место точек Р, гармонически
сопряжённых с точкой а относительно
точек М и N, есть
прямая линия (черт. 191).

Действительно, середина /
отрезка аР удовлетворяет
(п. 189) равенству
1а? = 1М • IN.
Эта точка I принадлежит,
таким образом, определённой
прямой—радикальной оси данной
окружности и точки а
(п. 136, примечание 1°). Черт. 191.
Точка Р опишет прямую,
гомотетичную этой прямой относительно точки а, причём коэффициент
подобия равен 2 .
Обратно, какая-либо точка Р прямой, таким образом определённой,
принадлежит рассматриваемому геометрическому месту, если луч
аР пересекает окружность (что всегда имеет место, если точка а
лежит внутри окружности).
Эта прямая — геометрическое место точек Р—называется полярой
точки а относительно окружности, а точка а — полюсом этой
прямой.
Следствие. Поляра точки а перпендикулярна к прямой, соединяющей
эту точку с центром О окружности, и пересекает эту
прямую в некоторой точке Н, которая лежит по ту же сторону от
центра, как и точка а, и определяется равенством
O a — O H = R \ v (5)
где R — радиус окружности.
Действительно, это равенство показывает, что точки а и Н делят
гармонически диаметр, лежащий на прямой Оа.
Из отрезков Оа и ОН один больше, а другой меньше радиуса,
таккак радиус является их средним пропорциональным; следовательно,
поляра пересекает окружность или не пересекает её, смотря по
тому, лежит ли полюс вне или внутри окружности.

193 ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОКРУЖНОСТИ. 

Определение поляры и её построение

Если точка а лежит вне окружности, то полярой этой точки
служит хорда, соединяющая точки прикосновения касательных,
проходящих через эту точку.
Действительно, рассуждения, которыми мы пользовались для обоснования
существования поляры, остаются верными, если секущая
aMN на чертеже 191 обращается в касательную, причём обе точки
М и N совпадут с точкой прикосновения Т этой касательной. Точка
Р будет в этом случае совпадать с точкой Т, и поляра должна проходить
через эту точку.
Если точка а лежит на окружности, то определение поляры
как геометрического места точек, собственно говоря, теряет свой
смысл1); но мы можем найти эту прямую с помощью доказанного выше
следствия: точка Н в данном случае совпадает с точкой а, и полярой
является касательная в этой точке.
Отрезок ОН, определённый равенством (5), бесконечно велик
только в том случае, когда точка а совпадает с точкой О; только
в этом случае соответствующее построение невозможно. Впрочем,
d priori очевидно, что поляра удаляется при этом в бесконечность, так
как точка О есть середина всех хорд, проходящих через эту точку.
То же самое равенство позволяет, обратно, найти полюс, если
известна поляра. Проводим из центра перпендикуляр ОН к данной
поляре и откладываем на прямой ОН отрезок Оа, определяемый равенством
(5). Это невозможно сделать, только если ОН равно нулю,
т. е. если данная прямая есть один из диаметров окружности:
при этом полюс удаляется в бесконечность в направлении, перпендикулярном
к диаметру.

194 ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОКРУЖНОСТИ. 

Определение поляры и её построение

205. Наиболее важным является следующее свойство поляры.
Теорема. Если точка а лежит на поляре точки Ь, то, обратноу
последняя лежит на поляре точки а.
Точки а и b называются в этом случае сопряжёнными относительно
окружности. Их поляры, т. е. две прямые, каждая из которых
проходит через полюс другой, точно также называются сопряжёнными.
Так как точка а (черт. 192) лежит на поляре точки b, то её
проекция на ОЬ есть такая точка К, что OK * Ob = R2. Пусть точка
Н—проекция точки b на Оа\ тогда четырёхугольник аНЬК можно
вписать в окружность (а именно в окружность, построенную на отрезке
ab как на диаметре), и мы имеем:
O H — O a = O K — O b = R \
Следовательно, прямая Н Ь — поляра точки а .
*) Одна из точек пересечения М и iV всё время совпадает с точкой я,
й, следовательно, точка Р также, вообще говоря, совпадает с точкой а ;
однако, если секущая обращается в касательную, то обе точки М и N совпадают
с точкой а, и положение . Точки Р на этой касательной неопреде-
лено.

194 Теорема о сопряжённых точках. 

П р и м е ч а н и е . Теорема очевидна, если прямая ab пересекает
окружность, так как в этом случае условие и заключение выражают
одно и то же, а именно, что окружность делит отрезок ab гармонически.
206. Предыдущая теорема позволяет переходить от свойств некоторой
фигуры (F) к свойствам другой фигуры (F’), которую мы
сейчас определим и которая называется фигурой взаимно-полярной
(или коррелятивной) данной.
Пусть F—фигура, состоящая из любого числа точек и прямых1).
Каждой точке а этой фигуры поставим в соответствие прямую А, а
именно—поляру точки а относительно некоторой окружности, выбранной
раз навсегда и называемой направляющей
окружностью. Каждой
прямой В фигуры (F) поставим
в соответствие точку Ьу а именно —
полюс этой прямой относительно направляющей
окружности. Прямые
А и точки b образуют фигуру ( F ) ,
взаимно-полярную фигуре (F ).
В силу предыдущей теоремы будем
иметь следующее предложение:
Если прямая В фигуры (F ) проходит
через точку а, то соответствующая
точка b фигуры ( F r ) лежит на Черт. 192.
прямой А, соответствующей точке а.
Следовательно, если прямая фигуры (F) вращается около неподвижной
точки, то соответствующая точка фигуры (Fr) описывает
прямую линию, и обратно.

Или иначе, если три прямые линии фигуры (F) проходят через
одну точку, то соответствующие им точки фигуры (.F) лежат
на одной прямой, и обратно.
207. Предположим, например, что фигура (.F) есть фигура п. 195
(черт. 186), образованная такими двумя треугольниками abc и arbrc\
что прямые аа\ ЬЪ\ ссг проходят через одну точку о. Поляры Л, В,
С, А\ В\ С точек а, b, с, а\ Ь\ с\ образуют два новых треугольника.
Прямым аа!, ЬЪ\ ссг соответствуют точки пересечения сторон
А, Аг; В, Вг\ С, С; так как первые три прямые проходят через
одну точку, то последние три точки лежат на одной прямой.
Обратно, каждую пару треугольников, стороны которых соответствуют
друг другу так, что точки пересечения соответственных
сторон лежат на одной прямой, можно рассматривать как фигуру,
взаимно-полярную паре треугольников, аналогичных треугольникам
abc и агЬТс’\
* ) Определение взаимно-полярных фигур распространяется с помощью
соображений, которые мы будем рассматривать в геометрии пространства
и на фигуры, содержащие кривые линии.

195 Теорема о сопряжённых точках 

Мы доказали (п. 195), что точки пересечения соответственных
сторон треугольников abc, a!brcr лежат на одной прямой; следовательно,
прямые, которые соответствуют этим точкам, т. е. прямые,
которые соединяют соответственные вершины треугольников, образованных
прямыми Л, В, С; Л’, В\ С’пересекаются в одной точке. Другими
словами, теорема, обратная теореме, доказанной в п. 195,
верна.

196 Теорема о сопряжённых точках

Определение поляры и её построение

208. Предположим теперь, что фигура (F) — шестиугольник, вписанный
в окружность; пусть Л, В, С, Ь, Е, F (черт. 193) — стороны
этого шестиугольника.
Примем окружность, описанную около шестиугольника, за направляющую
окружность; поляры вершин шестиугольника будут касательными
в этих точках и будут попарно пересекаться
в точках а, b, с, d, е, /—полюсах
сторон Л, В, С, Д Д F. Эти последние
точки будут вершинами шестиугольника, описанного
около окружности. Обратно, всякий
шестиугольник, описанный около окружности,
можно рассматривать как взаимно-полярный
некоторому вписанному шестиугольнику.
Но мы доказали, что во вписанном шестиугольнике
точки пересечения Л, D; В, Е\
Че т С, F лежат на одной прямой (п. 196).

Таким
образом, мы имеем теорему Б р и а н ш о н а :
Во всяком шестиугольнике abcdef, описанном около окружности,
диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются
в одной точке.
Точно так же предельный случай, относящийся к вписанному
треугольнику (п. 196, примечание), даёт:
Во всяком треугольнике, описанном около окружности, прямые,
соединяющие каждую вершину с точкой касания противоположной
стороны, пересекаются в одной точке.

196 Взаимно-полярные фигуры

209. Мы знаем, что соответствует в фигуре (F) трём лежащим
на одной прямой точкам или трём пересекающимся в одной точке
прямым фигуры (Z7); эти свойства (т. е. свойство трёх точек лежать
на одной прямой и свойство трёх прямых проходить через одну точку)
называются дескриптивными в отличие от тех, в которых фигурируют
значения тех или других величин и которые называются метрическими.
Мы рассмотрим теперь законы преобразования некоторых
из последних.
Прежде всего, если две прямые линии фигуры F параллельны,
то их полюсы лежат на одной прямой с центром О направляющей
окружности (на диаметре, перпендикулярном к направлению
параллельных прямых), и обратно.
Например, мы могли бы, таким образом, легко доказать теорему
п. 195, рассмотрев фигуру, взаимно-полярную данной относительно
направляющей окружности с центром в точке о (черт. 186).

196 Преобразование метрических свойств 

Точкам а, о!\ b> V\ с, с’ соответствовали бы прямые, попарно
параллельные, и, следовательно, образующие два гомотетичных треугольника,
так что прямые, соединяющие соответственные вершины
двух последних треугольников, пересекались бы в одной точке; отсюда,
возвращаясь к первоначальной фигуре, мы получили бы требуемое
заключение.
Вообще, угол между двумя прямыми равен углу, под которым
отрезок, соединяющий их полюсы, виден из центра О направляющей
окружности (или углу, ему пополнительному), так как эти
два угла имеют соответственно перпендикулярные стороны (черт. 192).
Преобразуем, например, теорему о высотах треугольника (п. 53).
Вершинам а, b, с какого-либо треугольника соответствуют стороны
Л, В, С нового треугольника. Высота, опущенная из точки а, даёт
в новой фигуре точку, лежащую, с одной стороны, на прямой Л и,
с другой стороны, на прямой, проходящей через центр направляющей
окружности О и перпендикулярной к прямой, которая проходит через
точку О и соответствующую вершину (точку пересечения сторон В и С)
нового треугольника.
Так как три высоты треугольника abc пересекаются в одной и
той же точке, мы имеем *) следующее предложение:
Если через какую-либо точку О, лежащую в плоскости треугольника,
провести прямые, перпендикулярные к прямым, которые
соединяют эту точку с тремя вершинами, то проведённые
прямые пересекают соответствующие стороны в трёх точках,
лежащих на одной прямой.
210, Сложное отношение четырёх прямых Dv D%, Z)3, Z) 4 пересекающихся
в точке а, равно сложному отношению их полюсов
du ^2, d3, d4, так как четвёрки прямых ( O d v Od%, Od%, Od4) и ( D l y
Z)2, D%, Z)4), где О — центр направляющей окружности, равны: они
получаются одна из другой, если переместить первую параллельно самой
себе из точки О в точку а и повернуть её затем на прямой
угол около этой точки. Следовательно, обе четвёрки имеют одно и
то же сложное отношение.
В частности, эта теорема позволяет преобразовать отношение расстояний
точки d s до точек dt и В самом деле, достаточно предположить,
что точка d4 находится в бесконечности. Прямая Z) 4 проходит
при этом через точку О; итак, отношение равниол асложному
отношению прямых Ds, аО

197 Преобразование метрических свойств 

211. Теорема. Если через точку а, взятую в плоскости данной

окружности, провести к окружности две секущие aMN и
aMrNr

(«черт. 194) и соединить попарно точки пересечения М, N,
Mr, N’ этих секущих с окружностью, то полученные прямые пе*)
Как и в предыдущих примерах, доказательство не будет полным, если
мы не убедимся, что надлежащим выбором точек а, £, с можно достичь
произвольного расположения точки О и прямых Л, В , С.

197 Новое определение поляры и её построение 

ресекаются в двух точках Н и К> геометрическое место которых
есть поляра точки а, если секущие вращаются около этой точки.
Действительно, пусть Н—точка пересечения прямых ММ! и AW’,
К—точка пересечения прямых MNr и NM’.
Прямая НК пересекает хорды MN и MrNr в точках Р и Р\ гармонически
сопряжённых с точкой а относительно концов этих хорд
(п. 2 0 2 ). Следовательно, она будет полярой точки а.
Эта теорема даёт простой способ построения поляры точки относительно
окружности. Если точка лежит вне окружности, то она позволяет,
следовательно, пост-
Н роить с помощью одной линейки
касательные к окружности,
выходящие из этой точки.
Если обе секущие сливаются
в одну, то предыдущее геометрическое
место обращается
в геометрическое место точек
пересечения касательных к окружности
в концах хорды MN.
Но это геометрическое место
мы уже знаем (п. 205), так как
точка пересечения двух касательных
есть полюс прямой MN.

198 Новое определение поляры и её построение

212. В, С, D — четыре точки одной
окружности, то сложное отношение четырёх прямых, полученных
соединением этих точек с какой-либо точкой М окружности, не
зависит от положения точки М на кривой.
Действительно, если М и Мг— две точки окружности, то две
четвёрки (.MA, MB, МС, MD) и (MrА, М’В, М’С, М D) равны, так как
прямые, их составляющие, можно всегда рассматривать (п. 82) как
образующие между собой одни и те же углы с одним и тем же направлением
вращения.
П р и м е ч а н и е . Ничто не мешает принять за точку М одну из
данных точек, например А. Прямая МА заменяется при этом касательной
в точке А и предыдущее рассуждение остаётся в силе.
Постоянное сложное отношение, о котором была речь, называется
сложным отношением четырёх точек А, В, С, D, лежащих
на окружности. Если оно равно — 1, то говорят, что четыре соответствующие
точки, лежащие на окружности, — гармонические.
Следствие. Четыре данные касательные к одной окружности
определяют на подвижной касательной к той же окружности
четыре точки, имеющие постоянное сложное отношение.
Действительно, фигура, образованная четырьмя точками пересечения
неподвижных касательных с перемещающейся касательной,
имеет в качестве взаимно-полярной фигуры относительно данной
окружности четвёрку лучей (MA, MB, МС, MD) предыдущей теоремы.

198 Сложное отношение точек, лежащих на окружности 

Сложным отношением четырёх касательных к одной окружности
называется сложное отношение четырёх точек пересечения этих
касательных с какой-либо подвижной касательной. Из нашего рассуждения
следует, что сложное отношение четырёх касательных равно
сложному отношению их точек касания.

213. Теорема.

Приложение к сопряжённым хордам.

Две хорды, сопряжённые
относительно окружности, делят эту
окружность гармонически.
Пусть АВ и CD (черт. 195) — две такие
хорды, что CD проходит через полюс Р хорды
АВ. Прямые АР, АВ, ЛС, AD образуют
гармонический пучок, так как они делят гармонически
секущую PCD.
Но сложное отношение этих прямых равно
сложному отношению точек Л, В, С, D окружности,
так как прямая АР касается окружности
в точке Л. Черт. 195.

Следствие. Четыре касательные, проведённые
к окружности через две сопряжённые точки, делят любую
касательную гармонически.
Теоремы, обратные двум последним теоремам, также справедливы.
Их доказательство мы предоставляем читателю.

УПРАЖНЕНИЯ.
237. Две точки Л и В сопряжены относительно окружности О . Доказать, что
1°. окружности, имеющие своими центрами точки А и В и ортогональные
к окружности О, ортогональны между собой;
2°. окружность, построенная на отрезке А В как на диаметре, пересекает
ортогонально окружность О.
Найти зависимость, существующую между тремя сторонами треугольника
О А В и радиусом R окружности.
238. Найти, пользуясь предыдущим упражнением, геометрическое место
точек, поляры которых относительно трёх данных окружностей пересекаются
в одной точке, и геометрическое место точек пересечения этих поляр.
239. Если провести в вершинах вписанного в окружность четырёхугольника
касательные к этой окружности так, чтобы получился описанный
четырёхугольник, то
1°. диагонали обоих четырёхугольников проходят через одну и ту же
точку и образуют гармоническую четвёрку;
2°. третьи диагонали соответствующих полных четырёхсторонников лежат
на одной и той же прямой и делят друг друга гармонически.
240. Через две точки прямой D проведены к окружности касательные.
Таким образом, получается полный четырёхсторонник, одной из диагоналей
которого служит сама прямая D . Доказать, что две другие диагонали проходят
через полюс прямой D .
241. Даны две окружности О и О’ и их предельные точки (упр. 152) Р
и Q ; доказать, что
1°. полярой каждой из предельных точек относительно той и другой
окружности будет одна и та же прямая, проходящая через другую предельную
точку;
2°. не существует других точек (на конечном расстоянии), которые имели
бы одну и ту же поляру относительно обеих окружностей;

198 Сложное отношение точек, лежащих на окружности 

3°. перпендикуляр к линии центров, проведённый через точку пересечения
внутренней общей касательной и внешней общей касательной, проходит
через одну из точек Р или Q (доказать, что этот перпендикуляр имеет
один и тот же полюс относительно обеих окружностей);
4°. прямая, которая соединяет между собой точки касания одной из
окружностей с внешней общей касательной и с внутренней общей касательной,
проходит через одну из точек Р или Q .

199 Приложение к сопряжённым хордам 

ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОКРУЖНОСТИ