СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТВЁРКИ ПРЯМЫХ.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТВЁРКИ ПРЯМЫХ.

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

199. Определение. Пусть Л, В, С, Z) — четыре точки, лежащие
на одной прямой. Сложным (или ангармоническим) отношением
этих четырёх точек, которое обозначается символом (ABCD), называется
частное от деления отношения расстояний точки С до точек
А и В на отношение расстояний точки D до тех же точек, а именно:
OA.DA
СВ *DB*
СА — DB Эго выражение может быть также записано в виде: —£4 «»
следовательно, это есть частное двух из тех произведений, которые
можно составить из отрезков, соединяющих попарно данные точки
и не имеющих общих концов.
Сложное отношение зависит от того порядка, в котором мы расположим
четыре точки; однако без труда можно убедиться, что оно
не меняется, если переставить между собой две из точек, лишь
бы только одновременно были переставлены и две другие.
Если точка D удаляется в бесконечность, то отношение ^^стремится
к 1 . Следовательно, сложное отношение точек А, В, С и оо j)
СЛ равно ртн.
СЛ DA Если данные четыре точки гармонические, то отношения ^ и
равны по абсолютной величине, но имеют противоположные знаки и
сложное отношение равно — 1. Очевидно, что и, обратно, последнее
условие влечёт за собой первое.

Основная теорема

200. Основная теорема. Четыре прямые, проходящие через
одну точку, пересекают любую секущую в четырёх точках, с лож-
ное отношение которых не зависит от положения секущей.
х) Знак оо обозначает, как и в алгебре, бесконечность.

189   СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТВЁРКИ
ПРЯМЫХ. 

Пусть ОЛА\ ОВВг, OCCT, ODD’ (черт. 189) — четыре прямые.
Если эти четыре прямые пересечены двумя секущими ABCD и A BrCD\
то я утверждаю, что
СА.РА_С’А’ ,Р’А’
СВ * DB С’В’ * D’B’ *
Чтобы это доказать, проводим через точки В и Вг прямые Bed и
Brcrdr, параллельные О А; при этом пусть первая прямая пересечёт ОС
в точке с и OD в точке d, а вторая пересечёт ОС в точке ст и OD
в точке d\
Имеем:
С А _ О А DA ОА.
СВ~~ сВ И DB~~ dB ’
откуда почленным делением получаем
C A , D A _ d B
С В ‘ Р В ~ сВ’
Также получаем:
С’А’. _ d’B’
С’В’* D’B’ с’В»
Искомое соотношение, таким образом,
доказано, так как отношения
очевидно, равны, потому что секущие Bed и BTcTdr
параллельны.

Постоянное сложное отношение, определяемое точками пересечения
четырёх лучей с произвольной секущей, называется сложным
отношением четырёх лучей.
Операция, которая состоит в переходе от точек Л, В, С, D к точкам
А\ В\ С, D\ принадлежит к категории операций, называемых
перспективой, или центральной проекцией А).
Длина отрезка, например отрезка АВ, изменяется при этой операции;
отношения отрезков также изменяются, но мы видим, что сложное
отношение не изменяется при произвольном проектировании; это
свойство выражают в следующих словах: сложное отношение про-
ективно

190   СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТВЁРКИ
ПРЯМЫХ.

201. В частности, если точки С и D гармонически делят отрезок
АВ, то, соединив четыре точки А, В, С, D с какой-либо одной и той
же точкой О, мы получим четвёрку лучей, которая в пересечении
с любой прямой даёт четыре гармонические точки.
Такая четвёрка называется гармонической четвёркой] два луча ОС
и OD называются гармонически сопряжёнными относительно лучей
О А и ОВ, и обратно,
О
t
1) Эти операции будут н?ши определены в геометрии пространства,

190   СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ.  Гармонические четвёрки прямых. 

Теорема. Чтобы четвёрка лучей была гармонической, необходимо
и достаточно, чтобы на какой-либо прямой, параллельной
одному из лучей четвёрки, три других её луча отсекали два равных
отрезка.
Действительно, из чертежа 189 мы видим, что сложное отношение
С A DA dD
CB:’DB Равн0 отношению , которое может быть равно — 1 в том
и только в том случае, если точка В есть середина отрезка cd.
Следствия. I. Две прямые ОМх и ОЖ2 (черт. 167, п. 157), которые
служат геометрическим местом точек, отношение расстояний
которых до двух прямых D и Dr имеет данное значение,
образуют вместе с последними гармоническую четвёрку.
Действительно, на чертеже 167 отрезок М1М2 разделён на две
равные части прямой D.
Обратно, если два луча ОС и OD гармонически сопряжены
относительно двух других ОА и ОВ, то отношение расстояний
какой-либо точки прямой ОС до прямых О А и ОВ равно отношению
расстояний какой-либо точки прямой OD до тех же прямых*).
II. Биссектрисы углов, образованных двумя прямыми, определяют
вместе с ними гармонический пучок (п. 115).
Обратно, если в гармонической четвёрке лучей два сопряжённых
луча образуют прямой угол, то они являются биссектрисами
углов между двумя другими лучами.
Действительно, если прямые ОА, ОВ, ОС и OD образуют гармоническую
четвёрку, то отрезок Bed, параллельный лучу О А, делится
на две равные части в точке В. Следовательно, если О А и ОВ взаимно
перпендикулярны, то луч ОВ есть перпендикуляр в середине
отрезка cd и делит угол cOd пополам.

191 СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ.  Гармонические четвёрки прямых. 

202. Теорема. Каждая диагональ полного четырёхсторонника
делится гармонически двумя другими его диагоналями.
В полном четырёхстороннике ABCDEF (черт. 190) диагонали CD
и EF пересекаются в точке Н\ пусть К — точка, гармонически сопряжённая
с точкой Я, относительно отрезка EF. Прямые АЕ, AF, АН,
АК образуют гармоническую четвёрку, а следовательно, точка L, в которой
прямая АК пересекает диагональ CD, гармонически, сопряжена
с точкой Н относительно отрезка CD. Но прямые BE, BF, ВН, ВК
также образуют гармоническую четвёрку, и точка Z/, в которой ВК
пересекает CD, также гармонически сопряжена с точкой Н относительно
отрезка CD; следовательно, она совпадает с точкой L, а
прямая KL — с прямой АВ.

203.  Поляра точки относительно угла.

Если через некоторую точку, лежащую в плоскости данного
угла, провести произвольную секущую, то геометрическим местом
точек, гармонически сопряжённых с этой точкой относительно точек
*) Это заключение должно быть видоизменено, если принять во внимание
знаки отрезков (выбрав положительные направления на прямых, перпендикулярных
к ОА, и на прямых, перпендикулярных к ОВ): при этом оба
отношения будут иметь различные знаки»

191 СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ.  Свойство полного четырёхсторонника. 

пересечения секущей со сторонами угла, будет, очевидно, прямая
линия: а именно, этим геометрическим местом будет служить прямая,
гармонически сопряжённая относительно сторон данного угла с прямой,
соединяющей вершину угла с данной точкой.
Эта прямая называется полярой точки относительно угла.

Черт. 190.
Теорема. Если через точку А, взятую в плоскости угла CBD
(черт. 190), провести секущие ADE и AFC и соединить попарно
точки пересечения С и D, Е и F этих секущих со сторонами
угла, то геометрическое место точек Н, в которых пересекаются
прямые CD и EF, есть поляра точки А относительно угла.
Действительно, прямые ВС, BD, BA, ВН образуют гармоническую
четвёрку, так как они делят гармонически отрезок EF.
Эта теорема даёт весьма простой способ построения поляры
точки относительно угла.

192 СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ.  Свойство полного четырёхсторонника. 

УПРАЖНЕНИЯ.
232. Если две четвёрки прямых, проходящих соответственно через
точки О и 0\ имеют одно и то же сложное отношение и соответственно
общий луч (прямую 00′), то точки пересечения других соответственных
лучей лежат на одной прямой (доказать).
233. Если на двух прямых ОХ и ОК, пересекающихся в точке О, взять
на одной три точки А, В, С и на другой три точки А’, В\ С’ так, чтобы
сложные отношения {ОABC) и (ОА’В’С’) были равны, то прямые АА’, ВВ’, СС’
проходят через одну и ту же точку (доказать).
234. Найти необходимое и достаточное условие возможности построения
параллелограмма, стороны и диагонали которого были бы соответственно
параллельны четырём данным прямым.
235. Даны: прямая XY и две точки А и В вне этой прямой. Соединим
произвольную точку М плоскости с точками А и В. Пусть Р и Q — точки
пересечения прямых МА и MB с прямой ХУ. Найти геометрическое место
точки пересечения М’ прямых РВ и QA, если точками описывает данную прямую.
Рассмотреть случай, когда прямые АР и BQ, вместо того чтобы пересечься
в какой-либо точке М, лежащей на данной прямой, параллельны.

192 СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ.  УПРАЖНЕНИЯ. 

236. Если через две точки, делящие гармонически диаметр окружности,
провести перпендикуляры к этому диаметру, то эти прямые пересекаются
с любой касательной в двух точках, отношение расстояний которых до центра
есть величина постоянная (доказать).

193 СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ.  УПРАЖНЕНИЯ. 

СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТВЁРКИ ПРЯМЫХ.