Отрезки

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Отрезки

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

197. Теорема. Если через вершины треугольника ABC
(черт. 188) провести прямые Аа, ВЬ, Сс, пересекающиеся в одной
и той же точке О, то эти прямые пересекают стороны ВС
САУ АВ соответственно в трёх точках а, д
by с таких у что имеет место соотношение:
аВ ЬС с А 1
^ С ‘ Ь А ‘ ^ ~ ~ W
Действительно, треугольник АаС, пересечённый
трансверсалью ВЬ, даёт
^ . 9Л— 1 Черт. 188.

ВС ЬА Оа
Треугольник АаВ, пересечённый трансверсалью Сс, даёт:
Са сВ О А 1
СВ ‘ сЛ ’ Оя ~ •
При почленном делении двух последних равенств и сокращении
на щО мЛы получаем:
аВ ЬС сА СВ . в
аС’ ЪА% сВ ‘ВС— ;
это равенство равносильно равенству (4), так как
СВ = — ВС.

198. Обратная теорема (теорема Ч е в ы ) . Если на сторонах
треугольника ABC взяты три точки а, Ь, с так, что имеет
место равенство
аВ ЬС с А ________ .<
аС * ЬА ‘ сВ~~ ’
то прямые Аа, ВЬ, Сс проходят через одну точку.
Действительно, пусть О — точка пересечения прямых Аа и ВЬ.
Прямая СО пересекает сторону АВ в некоторой точке cf так, что
аВ ЬС с\А _________.
~аС ‘ ТА’ Vb ~
х) Рассуждение сохраняет силу, если точка О удаляется в бесконечность,
т. е. если прямые Аа, ВЬ и Сс параллельны. В самом деле, мы видели, что
теорема п. 192 сохраняет силу для трансверсали, параллельной одной из
Сторон треугольника,

187   Отрезки, отсекаемые на сторонах треугольника прямыми, выходящими
из вершин треугольника и проходящими через. 

Это равенство при сравнении его с тем, которое дано в условии
теоремы, даёт:
с А с’А
св~~7в-
Следовательно, точки с и сг совпадают, и теорема доказана.
Если бы прямые Аа и ВЬ были параллельны, то прямая Сс была
бы параллельна этим двум прямым, и три прямые следовало бы рассматривать
как пересекающиеся в одной и той же точке в бесконечности.
Этой теоремой пользуются, когда требуется доказать, что три
прямые проходят через одну точку.
П р и м е р . Медианы треугольника проходят через одну точку.
Так как а, Ь, с — середины сторон треугольника, то каждое из отно-
„ аВ ЬС сА 1
шений ЗС” ЬА> ТВ Р3™0-1-
Аналогичным образом можно доказать, что биссектрисы углов
треугольника проходят через одну точку; и т, д,

УПРАЖНЕНИЯ.

223. Вывести теорему Менелая для случая, когда все точки деления
являются внешними, пользуясь тремя окружностями, аналогичными тем,
которыми приходится пользоваться в упражнении 127, и ограничиваясь случаем,
когда эти окружности пересекаются.
224. Прямая пересекает стороны треугольника ABC в трёх точках а,
Ъ, с. Для каждой из трёх этих точек строим точку, ей симметричную относительно
середины стороны, на которой она лежит. Доказать, что новые
точки о\ Ь\ с\ полученные таким образом, лежат на одной прямой.
Если точки а, Ь, с служат проекциями на стороны треугольника некоторой
точки, лежащей на описанной окружности (упр. 72), то то же самое
имеет место и для точек а\ Ъ’, с\
225. Сторона ОАВ некоторого угла неподвижна, как и точки А \ГВ,
взятые на этой стороне, в то время как сторона ОА’В* вращается вокруг
вершины О вместе с точками А- и В\ взятыми на этой стороне на постоянном
расстоянии от О. Найти геометрическое место точек пересечения
прямых А А* и ВВ\
226. Даны угол и три точки А, В, С, лежащие на одной прямой. Произвольная
прямая, проведённая через А, пересекает стороны угла в точках
М и N. Найти геометрическое место точек пересечения прямых ВМ и
CN.
227. Три прямые, выходящие из вершин треугольника ABC и проходящие
через одну точку, пересекают противоположные стороны в точках
а, b, с. Строим точки а\ Ъ\ с\ симметричные с этими точками относительно
середин сторон, на которых они лежат. Доказать, что прямые Аа\
ВЬ’, Сс* также проходят через одну точку.
228. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания
противоположных сторон со вписанной окружностью, проходят через одну
точку (доказать).
229. Пусть AfBfCf — треугольник, полученный из треугольника ABC
путём проведения (как в п. 53) через каждую его вершину прямой, параллельной
противоположной стороне; а, Ъ, с — точки, взятые соответственно
на сторонах ВС, СА} АВ.

Если прямые Аа, ВЬ, Сс проходят через одну точку, то прямые А’а,
В’Ь, С’с также проходят через одну точку (доказать).
230. Если прямые Аа, ВЬ, Сс проходят через одну точку и на сторонах
ВС, СЛ, Л£ треугольника Л5С взяты точки, гармонически сопряжённые
с точками а, Ъ, с относительно вершин треугольника, то эти гармонически
сопряжённые точки лежат на одной прямой (доказать).
Применить к биссектрисам Аа, ВЬ, Сс треугольника.
231. Если прямые Аа, ВЬ, Сс, где точки а, с лежат соответственно
на сторонах 5С, СЛ, Л£ треугольника Л£С, проходят через одну точку и
окружность аЬс пересекает стороны второй раз в точках а\ Ь\ с’, то прямые
Аа\ ВЬ’, Сс’ также проходят через одну точку (доказать).

188   Отрезки, отсекаемые на сторонах треугольника прямыми, выходящими
из вершин треугольника и проходящими через. 

Околоadmin