Теорема Паскаля

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Теорема Паскаля

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве

194. Этой теоремой пользуются,
когда требуется доказать, что
три точки лежат на одной прямой.
Пример 1. Середины трёх диагоналей
полного четырёхсторонника
лежат на одной прямой.
Пусть ABCDEF (черт. 185) —
полный четырёхсторонник, диагонали
которого АВ, CD, EF имеют
своими серединами точки L, М, N.
Рассмотрим треугольник АСЕ,
образованный тремя сторонами
четырёхсторонника, и пусть а, с,
е — середины сторон СЕ, ЕА, АС. Прямая се параллельна СЕ и проходит
через точку L; прямая еа параллельна АЕ и проходит через
точку М; прямая ас параллельна АС и проходит через точку N. Чтобы
доказать, что точки L, М, N лежат на одной прямой, нам достаточно
доказать соотношение:
Черт. 185.

Lc Me Na
Le ’ Ma * Nc = 1.
Но параллельные прямые Lee и ВСЕ дают
Lc
Le’
BE
» ВС’
и точно так же имеем:
Ш_ЭА
Ma DE И Nc FA ’
Но произведение трёх правых частей
££ DA FC
ВС’ DE’ FA

184 Теорема Паскаля. 

равно 1, поскольку точки В, D, F, взятые на сторонах треугольника
АСЕ, лежат на одной прямой

195. Пример И . Если вершины двух треугольников abc, a!bfcr
соответствуют друг другу таким образом, что прямые аа!, bbr, ссг,
которые соединяют соответствующие вершины, пересекаются в одной
точке о, то точки пересечения соответствующих сторон лежат на
одной прямой.
Пусть / (черт. 186) — точка пересечения прямых Ьс и Ьтст\
m — точка пересечения са и сгаг\ п — точка пересечения ab и и’Ьг.
Требуется доказать, что
точки I, т, п лежат на
одной прямой, другими
словами, что имеет место
равенство:
lb me па j
lc та nb
Действительно, треугольник
obc, пересечённый
трансверсалью lbrcf,
даёт
lb с’с Ь’о 1
1с ’ с’о Ь’Ь
Точно так же треугольники
оса и oab, пересечённые
соответственно
трансверсалями тсТаг и
narbr, дают
тс а1 а с’о ^
та а’о с1 с 9
па Ь’Ь а^о> ^
nb * Ь’о а1 а
При почленном перемножении трёх последних равенств и сокращении
на множителей а!а, Ь’Ь, с’с, а!о, Ьго, с’о получается требуемое
соотношение.
Два треугольника таких, что прямые, соединяющие их соответственные
вершины, проходят через одну точку, называются гомологическими.

196. Пример III (теорема П а с к а л я ) . Во всяком шестиугольникеу
вписанном в окружность, точки пересечения противоположных
сторон лежат на одной прямой.
Пусть ABCDEF (черт. 187) — шестиугольник, противоположные
стороны которого АВ и DE пересекаются в точке L, стороны ВС и
EF—в Му стороны CD и FA — в N. Рассмотрим треугольник IJK,
образованный сторонами АВ, CD, EF, другими словами, сторонами
данного шестиугольника, взятыми через одну.
Точки L, М, N расположены соответственно на сторонах JK, KI,
IJ этого треугольника. Эти точки лежат на одной прямой, если имеет

185  Теорема Паскаля. 

место соотношение:
LJ_ МК N[ ,
LK’ Ml ‘ NJ • }
Но, если мы пересечём последовательно треугольник IJK каждой
из оставшихся сторон DE, ВС, FА шестиугольника, мы получим
соотношения:
LJ ЕК Ш_
LK ‘ El DJ ?
МК Cl ‘BJ _
Ml * CJ * в к ’
Ш AJ FK_ 1
NJ’ АК’ FI ‘
Перемножив почленно эти три равенства, мы можем написать
группируя надлежащим образом множители числителя и знаменателя
LJ МК N1 С1 • DI AJ • BJ ЕК • FK______________
LK * Ml ‘ NJ ‘ EI • FI ‘ С J — DJ ‘ АК • В К

Но каждая из трёх последних дробей, которые входят в левую
часть, равна 1 . Например, произведения С/ • DI и EI • FI равны как
произведения отрезков, отсечённых окружностью на секущих, выходящих
из точки I. Таким образом, получается соотношение (3), и
теорема доказана.
П р и м е ч а н и е . Предыдущее доказательство остаётся в силе,
если точки А и В, С и D, Е и F попарно совпадают и стороны
треугольника IJK являются касательными к кругу.
При этом теорема принимает следующую форму: Касательные,
проведённые через вершины треугольника, вписанного в круг, пере-

186  Теорема Паскаля. 

с екают соответствующие стороны в трёх точках, лежащих на
одной прямой.
197. Теорема. Если через вершины треугольника ABC
(черт. 188) провести прямые Аа, ВЬ, Сс, пересекающиеся в одной
и той же точке О, то эти прямые пересекают стороны ВС
САУ АВ соответственно в трёх точках а, д
by с таких у что имеет место соотношение:
аВ ЬС с А 1
^ С ‘ Ь А ‘ ^ ~ ~ W
Действительно, треугольник АаС, пересечённый
трансверсалью ВЬ, даёт
^ . 9Л— 1 Черт. 188.
ВС ЬА Оа
Треугольник АаВ, пересечённый трансверсалью Сс, даёт:
Са сВ О А 1
СВ ‘ сЛ ’ Оя ~ •
При почленном делении двух последних равенств и сокращении
на щО мЛы получаем:
аВ ЬС сА СВ . в
аС’ ЪА% сВ ‘ВС— ;
это равенство равносильно равенству (4), так как
СВ = — ВС.

187  Теорема Паскаля. 

Околоadmin