Задачи (190—216) к третьей книге.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Задачи (190—216) к третьей книге.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР
Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
190. Даны две концентрические окружности; провести прямую, на
которой эти окружности отсекают две хорды, из которых одна вдвое
длиннее другой.
•191. На стороне АВ треугольника от точки В отложен отрезок BD,
а на продолжении стороны АС за точку С — равный ему отрезок СЕ.
Отрезок DE делится стороной ВС внутренним образом в отношении, обратном
отношению сторон АВ и АС (доказать).
192. Пусть А и А’ — точки касания общей касательной к двум окружностям;
М и М’—две точки пересечения этих окружностей соответственно
с некоторой прямой, параллельной АЛ1. Найти геометрическое место
точек пересечения прямых AM и AM!.
193. Стороны многоугольника остаются соответственно параллельными
определённым направлениям, в то время как все вершины, кроме одной,
скользят по заданным прямым. Найти геометрическое место последней
вершины (упр. 124).
194. Вписать в данный многоугольник другой многоугольник, стороны
которого параллельны данным прямым. Может ли эта задача быть неопределённой?
195. Высоты треугольника разделены в данных отношениях и через
каждую точку деления проведена прямая, параллельная соответствующей
стороне. Найти коэффициент подобия треугольника, построенного таким
образом, и первоначального треугольника.
196. Пусть а, Ъ, с — точки, симметричные с какой-либо одной и той
же точкой О плоскости относительно середин сторон ВС, СА и АВ треугольника
ABC. Прямые Аау ВЬ и Сс пересекаются в одной точке Р. Когда
точка О перемещается, описывая какую-либо фигуру, точка Р описывает
фигуру, гомотетичную первой (доказать).
197. Через три вершины треугольника проведены три прямые, проходящие
через одну точку О; затем построены прямые, симметричные с каждой
из них относительно биссектрисы того угла треугольника, из вершины
которого данная прямая выходит. Доказать, что эти три новые прямые
также проходят через некоторую точку О’.
Доказать, что теорема сохраняет силу, если первоначальные прямые,
вместо того чтобы проходить через одну точку, будут параллельны и что
в этом случае точка О’ лежит на окружности, описанной около треугольника.
Вывести из этой теоремы, что три высоты треугольника пересекаются
в одной точке.
198. ABCD — ромб, описанный около окружности; доказать, что произвольная
касательная MN отсекает на смежных сторонах АВ и ВС отрезки
AM и CN, произведение которых постоянно.
199. Если через точку А, взятую в плоскости круга, провести к кругу
произвольную секущую АМ!М, то прямые, соединяющие точки М и М’
с одним из концов диаметра, проходящего через А, отсекают на прямой,
перпендикулярной к этому диаметру и проходящей через точку А, два
отрезка, произведение которых постоянно (доказать).
200. Внутренняя общая касательная двух окружностей делит внешнюю
общую касательную (а последняя делит внешним образом первую) на два
отрезка, произведение которых равно произведению радиусов (доказать).
Отрезок, отсечённый общими внутренними касательными на общей
внешней касательной, имеет ту же середину, что и эта общая внешняя
касательная, и ту же длину, что и общая внутренняя касательная (доказать).
201. Прямоугольный треугольник имеет вершиной прямого угла определённую
точку Л, в то время как две другие вершины В и С остаются
постоянно на определённой окружности О. Найти:
176 Задачи (190—216) к третьей книге.
2°. геометрическое место проекций точки А на сторону ВС.
202. Построить треугольник, зная одну сторону, соответствующую ей
высоту и произведение двух других сторон.
203. Построить треугольник, зная две его медианы и высоту (два
случая).
204. Вписать в данную окружность равнобедренный треугольник, зная
сумму или разность основания и высоты.
205. Вычислить диагонали трапеции, зная четыре её стороны.
206. Даны окружность и две точки А и В; провести хорду, параллельную
АВ} так, чтобы прямые, соединяющие её концы соответственно
с точками А и В, пересеклись на окружности.
207. Через концы А и В диаметра круга проведены две хорды АС и
BD, которые пересекаются в точке Р внутри круга. Доказать, что:
АВ2 = АС- AP+BD-BP.
208. Через две данные точки А и В проведена произвольная окружность
и через данную точку С, лежащую на одной прямой с точками А
и В, — касательные к этой окружности. Найти геометрическое место середин
отрезков, соединяющих точки касания.
209. Построить три попарно ортогональные окружности, имеющие своими
центрами три данные точки.
210. Даны: окружность и на ней две точки А и В; далее дана произвольная
прямая и на ней точка С. Найти на окружности точку М, обладающую
тем свойством, что расстояние между точками пересечения прямых
МА и MB с данной прямой делится точкой С в заданном отношении.
211. На сторонах АВ, АС и ВС треугольника ABC, как на основаниях,
построены три равнобедренных подобных треугольника АВРУ ACQ и BCR;
два первых расположены вне данного треугольника, третий, напротив, по
ту же сторону от ВС> как и данный треугольник (или обратно). Доказать,
что APRQ — параллелограмм.
212. Фигура, оставаясь сама себе подобной, изменяется так, что три
прямые, принадлежащие этой фигуре и не проходящие через одну точку,
проходят каждая через неподвижную точку. Доказать: 1) что всякая
другая прямая той же фигуры точно так же проходит через
некоторую неподвижную точку; 2) что любая точка фигуры описывает
окружность.
213. Построить четырёхугольник, подобный данному четырёхугольнику,
так, чтобы его стороны проходили через четыре данные точки.
Может ли задача быть неопределённой? Найти в этом случае геометрическое
место точек пересечения диагоналей различных четырёхугольников,
отвечающих условию задачи.
214. Фигура, оставаясь постоянно себе подобной, изменяется так, что
три точки этой фигуры описывают каждая прямую линию. Доказать, что
некоторая точка этой фигуры остаётся неподвижной. Вывести отсюда,
что любая другая точка описывает прямую.
215. Даны две подобные фигуры, имеющие одинаковое направление
вращения; найти геометрическое место таких точек, чтобы, если их рассматривать
как принадлежащие первой фигуре, то прямая, которая соединяет
их с гомотетичными им точками второй фигуры, проходила через
данную точку.
216. Провести через данную точку О секущую MON, которая отсекает
на двух данных прямых, считая от двух данных точек А и В этих
прямых, два отрезка AM и BN, имеющих данное отношение.
177 Задачи (190—216) к третьей книге.
Околоadmin
